解析函數的物理意義及其應用

瑛 瑛

（呼倫貝爾學院 數學統計學院，內蒙古 海拉爾 021008）

解析函數是復變函數論研究的主要對象，因此，復變函數論又稱為解析函數論.解析函數不僅具有多種性質，也有著廣泛的應用.但很多教材中，尤其物理、電信等專業的《復變函數與積分變換》教材中很少涉及到解析函數的物理意義及應用.本文簡明地介紹了解析函數的物理意義，并例舉了典型的應用例子，從而使解析函數的概念從抽象到具體，更容易讓學生理解.

1 復變函數的物理意義

物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，可用一個復變函數表示.

例1 平面向量場的復變函數表示.

分析：如果一個向量場E為平面場，則E上所有的向量都平行與某一個平面S.這樣，向量場E就可以用平面S上的向量場來表示.在平面S上采用向量的復數記法，那么向量場E就唯一地確定一個復變函數

這里，Ex，Ey分別表示向量場E在x軸和y軸上的兩個分量.反之，已知某一個復變函數w=u(x,y)+iv(x,y)，由此也可以作出一個對應的平面向量場

2 解析函數的物理意義

一個無源無旋的平面向量場可用一個解析函數表示，則這個解析函數是該平面向量場的復勢函數.

例2 平面靜電場用解析函數表示.

分析：選取一個有代表性的平面作為z平面，設D是電場中的一個單連通區域，如果D內每一點電場強度f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由場論知識，有

由式（1）可知，-vdx+udy是某一個二元函數ψ(x,y)的全微分，即有

ψ(x,y)稱為電場的力函數，其等值線ψ(x,y)=c稱為電力線.

由（2）可知，存在函數 φ(x,y)，使得

φ(x,y)稱為電場的勢函數，其等值線φ(x,y)=c稱為等勢線.

由（2）和（3）得到偏微分方程組

以上方程是C-R方程，因此得到一個解析函數

該函數稱為靜電場的復勢函數.顯然，f的復勢不是唯一確定的，可以相差一個常數.

類似地，對任一既無源又無旋的平面向量場總可以構造一個解析函數，即復勢與之對應.流體力學中無旋流動的研究中也經常用到解析函數，利用復勢來刻畫流動比用復速度方便，因為由復勢求復速度只用到求導數，反之則要用積分.另一方面，由復勢容易求流線和勢線，這樣可以了解流動的情況.

例3 已知平面流速場的復勢f(z)為(z+i)2，求流動的速度以及流線和等勢線方程.

故該流體流動的水平及垂直分速分別為2x,2(y+1).

綜上所述，解析函數具有明確的物理意義和廣泛的應用背景.在復變函數論的課堂教學中，把解析函數及其他的一些概念和定理等的物理意義及應用作以介紹，對提高學生的學習興趣及培養他們理論聯系實際的能力有很大的幫助.

〔1〕鐘玉泉.復變函數論[M].高等教育出版社,2004.

〔2〕華中科技大學數學系,復變函數與積分變換(第三版)[M].高等教育出版社，2008.

〔3〕余家榮.復變函數[M].高等教育出版社,2005.

〔4〕張金鋒,等.解析函數在平面靜電場中的應用性研究[J].吉林師范大學學報 2013（2）：84-86.