小概率原理在實(shí)際生活中的應(yīng)用

趙彥玲

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451100）

隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，社會(huì)生活在經(jīng)濟(jì)、氣象、交通、醫(yī)學(xué)等不同領(lǐng)域已經(jīng)越來(lái)越廣泛地使用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)原理來(lái)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題.而小概率原理作為概論中一個(gè)基本而又重要的原理，也在生活的方方面面被廣泛應(yīng)用.通過(guò)研究小概率原理來(lái)發(fā)現(xiàn)小概率事件的基本規(guī)律，進(jìn)而掌握避免或促使小概率事件發(fā)生的方法，將會(huì)給人們的生活帶來(lái)更多的便利.

1 小概率原理

伯努利大數(shù)定理的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定事件A發(fā)生的概率為P(A)=p，那么在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率為fn(A)，剛試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到無(wú)窮多次時(shí)，概率向著事件A的概率p收斂，這對(duì)于任何一個(gè)正數(shù)ε，都有：

從伯努利定律可知，事情會(huì)發(fā)生的頻率fn（A）向著事件A發(fā)生的概率p收斂.換句話說(shuō)，當(dāng)為n接近無(wú)窮大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與其發(fā)生的概率之間的偏差越來(lái)越小.那么如果事件A本身發(fā)生的頻率就很小，當(dāng)P（A）=0.001時(shí)，也就是說(shuō)試驗(yàn)1000次，事情A發(fā)生的次數(shù)才是1次.因此，如果今天試驗(yàn)1次的話，小概率事件A發(fā)生的可能性是非常小的.在概率論中，這種事情被稱為實(shí)際不可能事件.在1次試驗(yàn)中，這種實(shí)際不可能事件發(fā)生的可能性非常小，這即為小概率原理，又叫做小概率事件的實(shí)際不可能性原理.小概率原理是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活實(shí)踐中總結(jié)和歸納出來(lái)的一條具有較強(qiáng)實(shí)用性的原理，它同樣是用來(lái)統(tǒng)計(jì)接受假設(shè)還是假設(shè)檢驗(yàn)決定推翻的重要依據(jù).

2 小概率事件的定義

概率是一個(gè)用來(lái)形容某一事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo).在概率論中如果某一個(gè)事件發(fā)生的概率接近于0，那么我們就稱這個(gè)事件為小概率事件.比如說(shuō)買彩票中大獎(jiǎng)是小概率事件汽車，拋錨是小概率事件，吃魚被魚刺卡到、所乘坐的飛機(jī)出現(xiàn)故障燈都是小概率事件.一般來(lái)說(shuō)，如果某一個(gè)事件發(fā)生的概率小于0.05，那么我們就可以把這個(gè)事件成為小概率事件.而在一些特殊的場(chǎng)合或?qū)嶒?yàn)中，如果某一事件產(chǎn)生的后果非常的嚴(yán)重，如沉船或飛機(jī)失事等事故，一般會(huì)采用0.01或0.005這兩小概率標(biāo)準(zhǔn)對(duì)事件進(jìn)行衡量，如果事件發(fā)生的概率小于0.005或0.01，也可以把這種會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重后果的事件被稱為小概率事件.

例如說(shuō)關(guān)于某地近百年來(lái)水文資料的數(shù)據(jù)表明，此地僅發(fā)生過(guò)一、二次洪峰，然而在建設(shè)普通人行便橋時(shí)，如果發(fā)生極大洪峰的事件，即使此時(shí)發(fā)生的概率不超過(guò)0.02，它也是小概率事件.但是針對(duì)發(fā)射宇宙飛船的事件，因?yàn)榘l(fā)射100次就會(huì)有一、二次失敗，所以即便發(fā)射失敗的概率小于0.02，發(fā)生宇宙飛船發(fā)射失敗也不是小概率事件.總之，小概率事件就是發(fā)生概率非常小的事件，但并不代表它是永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生的事件.因?yàn)闊o(wú)論某一個(gè)事件發(fā)生的概率有多小，都說(shuō)明它存在發(fā)生的可能性.因此，小概率事件發(fā)生概率小于或等于0的情況是永遠(yuǎn)不會(huì)存在的.

3 小概率事件與不可能事件之間的區(qū)別

小概率事件由于其發(fā)生的概率非常小，因此經(jīng)常被人們將其與不可能事件發(fā)生混淆.然而就二者的本質(zhì)來(lái)說(shuō)，它們之間是存在區(qū)別的.小概率事件雖然發(fā)生的可能性非常小，但是在長(zhǎng)期的試驗(yàn)中，它也是有機(jī)會(huì)發(fā)生的，小概率事件發(fā)生的概率是中大于0.然而不可能事件是指從頭到尾都不可能發(fā)生的事件，它發(fā)生的概率為零.比如說(shuō)某個(gè)人同時(shí)在甲地又在乙地，這是自相矛盾的，是一個(gè)不可能事件.唐山?jīng)]有發(fā)生過(guò)大地震是對(duì)歷史上發(fā)生事件的否定，也是對(duì)必然事件的否定，那么這個(gè)事件發(fā)生的概率自然為零.

然而對(duì)小概率事件而言，不管只概率有多小，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)達(dá)到無(wú)窮多次時(shí)，小概率事件中終究會(huì)發(fā)生，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，其發(fā)生的次數(shù)也會(huì)增加.而不可能事件是指無(wú)論試驗(yàn)次數(shù)有多少，事件終究不會(huì)發(fā)生.這就是小概率事件和不可能事件在本質(zhì)上的區(qū)別.

4 小概率原理在實(shí)際生活中的應(yīng)用

在實(shí)際生活中，由于人們?cè)谛睦硪蛩睾途C合素質(zhì)等方面存在的差異，導(dǎo)致對(duì)小概率事件通常持有不同的反應(yīng)和態(tài)度：有的人認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，如果發(fā)生了就不可能是必然現(xiàn)象，而是因?yàn)楸厝挥心承┡既灰蛩氐拇嬖?這就在一定程度上解釋了，為什么人們明明知道飛機(jī)可能失事，仍然選擇乘坐飛機(jī)出行的原因.還有一部分人堅(jiān)信小概率事件是會(huì)發(fā)生的，如人們雖然知道買彩票中獎(jiǎng)的概率幾乎為零，但是人們?nèi)匀槐３种^高的購(gòu)買熱情.這一方面可以理解成一部分人愿意為體育和福利事業(yè)做出貢獻(xiàn)，但絕大部分人還是希望中獎(jiǎng)這個(gè)小概率事件可以在盡可能少的試驗(yàn)中發(fā)生.

在實(shí)際生活中有很多事情發(fā)生的可能性非常小，然而正是因?yàn)槠漭^低的發(fā)生概率，常常得不到人們的足夠重視.在小概率事件中有兩個(gè)重要的結(jié)論可以用于指導(dǎo)人們的實(shí)際生活.第一個(gè)是實(shí)際推斷原理，就是說(shuō)在一次實(shí)驗(yàn)中小概率事件發(fā)生的可能性是非常小的，或者說(shuō)是幾乎不可能發(fā)生的.如果發(fā)生概率非常小的事件在僅有一次的試驗(yàn)中發(fā)生了，那么我們就可以對(duì)假設(shè)前提的正確性提出質(zhì)疑.例如，某加工廠加工產(chǎn)品的次品率低于0.5%，在一次抽查中，如果在產(chǎn)品中任意抽出200件產(chǎn)品就發(fā)現(xiàn)了5件次品，依據(jù)貝努利大數(shù)定理可以計(jì)算出在任意抽取的這200件產(chǎn)品中有5件次品發(fā)生的概率為：

按理來(lái)說(shuō)，發(fā)生概率如此小的事件在一次抽查中應(yīng)該不會(huì)發(fā)生的，但它確實(shí)發(fā)生了，根據(jù)實(shí)際推理原理，我們就有理由對(duì)該廠稱自己的產(chǎn)品次品率小于0.5%進(jìn)行質(zhì)疑，而認(rèn)為其次品率應(yīng)該是大于0.5%.

對(duì)于小概率事件在實(shí)際生活中應(yīng)用的另一個(gè)結(jié)論是，無(wú)限次數(shù)的重復(fù)某一種試驗(yàn)，小概率事件早晚會(huì)發(fā)生.例如，我們假設(shè)某一項(xiàng)試驗(yàn)A發(fā)生的概率大于0，則在n次試驗(yàn)中小概率事件發(fā)生的概率為：

P(Ak)=ε當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) n達(dá)到 ∞ 時(shí)，事件A的概率越來(lái)越趨向于1，而成為一件必然事件.這就說(shuō)明不管是發(fā)生概率多么小的事件，在多次試驗(yàn)中必然會(huì)發(fā)生.也就是說(shuō)，在實(shí)際生活中我們一定要對(duì)小概率事件引起足夠的重視.一件事看起來(lái)發(fā)生概率很小，幾乎不可能在實(shí)際生活中發(fā)生，但在大量的重復(fù)之后其發(fā)生的可能性會(huì)越來(lái)越大，這就需要我們?cè)趯?shí)際生活和工作中一定要具備對(duì)具有危害性小概率事件發(fā)生的警惕心理并隨時(shí)準(zhǔn)備采取必要措施.在工作過(guò)程中，特別是從事具有一定風(fēng)險(xiǎn)的工作，無(wú)論他們的工作技能多么嫻熟，時(shí)間久了以后也有可能會(huì)出現(xiàn)試過(guò).俗話所說(shuō)，“常在河邊走，哪有不失鞋”、“天有不測(cè)風(fēng)云，人有旦夕禍福”、“天網(wǎng)恢恢，疏而不漏”這些諺語(yǔ)都說(shuō)明了概率再小的小概率事件在長(zhǎng)期的重復(fù)中都有可能或必然會(huì)發(fā)生.

下面，筆者將通過(guò)幾個(gè)生活中的典型案例，來(lái)進(jìn)一步分析小概率原理在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用：

例1 現(xiàn)在很多人出行選擇乘坐飛機(jī)，有關(guān)部門調(diào)查表明乘坐飛機(jī)是事故發(fā)生率最小的出行方式.人們之所以認(rèn)為乘坐飛機(jī)是非常放心安全的，是因?yàn)椤帮w機(jī)失事”這個(gè)事件發(fā)生的概率是非常小的，可以說(shuō)飛機(jī)失事是一個(gè)小概率事件，飛機(jī)在一次飛行過(guò)程中，幾乎不會(huì)發(fā)生失事事故.但在長(zhǎng)期的飛行的前提下，飛機(jī)發(fā)生不發(fā)生失事事故時(shí)概率為0，一旦發(fā)生了事故概率就是1，并且飛機(jī)一旦發(fā)生事故，幾乎所有的人都會(huì)遭遇罹難.如果飛機(jī)在使用過(guò)程中沒有定期進(jìn)行檢查修和維修，其發(fā)生事故的概率會(huì)逐漸增大.因此，為了將“飛機(jī)失事”這個(gè)小概率事件發(fā)生的可能性降到最低或排除其發(fā)生的條件，國(guó)家有關(guān)部門要求飛機(jī)必須定期進(jìn)行檢修并且要求具備雷達(dá)全程監(jiān)控系統(tǒng)，以盡可能將“飛機(jī)失事”這個(gè)小概率事件控制在不發(fā)生的范圍之內(nèi).在我們的生活中，具有很多這種具備危害性小概率事件的例子.它們發(fā)生的概率小之甚小，只要我們能夠采取措施排除其發(fā)生的條件，就可以充分的利用小概率原理，避免小概率事件在長(zhǎng)期試驗(yàn)的過(guò)程中發(fā)生.

例2 在實(shí)際生活中經(jīng)常存在“會(huì)面問題”，如甲乙兩人約定在下午三點(diǎn)到四點(diǎn)之間在城市廣場(chǎng)見面，兩個(gè)人可以分別在這一個(gè)小時(shí)之內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)指定地點(diǎn)，這個(gè)事件A“甲、乙兩人在同一時(shí)刻到達(dá)”的概率有多大？

這是一個(gè)典型的用概率問題來(lái)解決實(shí)際生活中問題的例子.我們可以先假設(shè)甲乙兩人到達(dá)城市廣場(chǎng)的時(shí)刻分別為X 、Y，則根據(jù)集合概型中求概率的方法可以得知，事件A的度量|A|=0，即P（A）=0，也就是說(shuō)事件A還是有可能發(fā)生的，所以說(shuō)甲、乙兩人在同一時(shí)刻到達(dá)城市廣場(chǎng)并不是一件不可能事件，而應(yīng)該叫做實(shí)際不可能事件.

總而言之，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，概率論越來(lái)越多的在企業(yè)管理、經(jīng)濟(jì)、金融、醫(yī)學(xué)、氣象、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用并發(fā)揮重要作用.小概率事件原理在人們的實(shí)踐生活中應(yīng)用也非常廣泛的.我們既要認(rèn)識(shí)到小概率事件在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事實(shí)，又重視小概率事件在無(wú)數(shù)次實(shí)驗(yàn)中有可能發(fā)生的存在.要合理的運(yùn)用小概率原理，做好準(zhǔn)備、采取措施，將具有危害性的小概率事件發(fā)生的可能性降到最低，以減少其帶來(lái)的負(fù)面影響.

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