[H_∞]魯棒方法和極點配置的飛艇縱向控制器

摘 要： 飛艇體積龐大，易受風干擾，對飛艇設計控制器時除了要滿足動態性能指標，還要求具有一定的擾動抑制作用，因此單一的控制方法難以滿足要求。充分利用極點配置和[H∞]魯棒控制方法的優點，將二者綜合起來對飛艇進行縱向控制器的設計，內回路通過極點配置使系統達到期望的動態指標，外回路通過設計[H∞]控制器抑制外部擾動，仿真結果表明該綜合方法設計的控制器具有良好的動態和魯棒特性。

關鍵詞： 飛艇；[H∞]魯棒控制； 極點配置； 外部擾動

中圖分類號： TN967?34； V249.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）13?0021?03

Abstract： Since the airship with huge volume can be easily disturbed by the wind， the dynamic performance should be satisfied and the ability of disturbance suppression should be considered in the airship controller design. Therefore， the single control method is hard to meet the requirements. The airship longitudinal controller is designed by making full use of the advantages of pole assignment and [H∞]robust method. In inner loop the expected dynamic indicator is reached by pole assignment， in outer loop the external disturbance is restrained by [H∞] controller. Simulation results show that the new controller designed by the comprehensive methods has good dynamic characteristic and robust characteristic.

Keywords： airship； H∞ robust control； pole assignment； external disturbance

0 引 言

飛艇作為一種特殊的飛行器，不論在空中飛行還是懸停，都很容易受外部大氣擾動的影響。常規的控制器設計方法要么注重閉環系統的動態性能，要么注重控制器的自適應特性或者控制器參數的魯棒特性，很難同時兼顧復雜系統的多方面要求。為了給飛艇設計一種良好的控制器，考慮使用一種綜合的控制器設計方法。

閉環系統的極點決定了系統的穩定性和響應速度，極點配置可以使閉環系統具有指定的或期望的動態性能。通常情況下，極點配置是通過狀態反饋的形式來實現的，在系統完全可觀時，直接對狀態進行反饋；在某些狀態不可觀測時，首先設計狀態觀測器，然后對估計得到的狀態進行反饋。[H∞]魯棒控制是通過對系統的加權評價指標的無窮范數進行優化得到的一種控制器，這種控制器具備對擾動的抑制作用，可以實現漸進的指令跟蹤。在控制器設計時，只需要給出模型不確定性或外部干擾的上界，[H∞]控制器就可以將這種不確定性和干擾對系統的影響限制在一個較小的、可以接受的范圍內。

本文充分利用極點配置和[H∞]魯棒控制的優點，將二者結合起來，得到了一種能同時滿足動態性能指標和擾動抑制的控制器，該控制器以狀態反饋形式的極點配置作為內回路，實現系統對動態特性的要求。以[H∞]作為外回路，實現閉環系統對外部擾動的抑制和對輸入指令的跟蹤。最后將設計的控制器應用到飛艇縱向進行仿真驗證。

1 全狀態反饋的極點配置[1]

設有線性時不變系統：

[x=Ax+Buy=Cx] （1）

式中：[x∈Rn]為狀態變量；[u∈Rm]為輸入變量；[y∈Rp]為輸出變量，并且[rank（B）=m，][rank（C）=p。]

定理1 受控系統（1）要通過狀態反饋的方法，使閉環系統的極點位于預先規定的位置上，其充分必要條件是系統完全可控。

將原系統通過化為Luenberger能控規范型來進行極點配置，可以使配置后的系統具有良好的動態響應。具體步驟為：

（1） 把能控性矩陣[{A B}]化為Luenberger規范型[{A B}]；

（2） 把給定的期望閉環特征值[{λ1，λ2，…，λm}]按照Luenberger規范型[A]的對角線塊數作相應計算，構造出希望的閉環狀態陣[A*-B*K*；]

（3） 由[（A-BK）]和[（A*-B*K*）]相比較確定[K；]

（4） 計算化為Luenberger能控規范型的變換矩陣[S-1，]進而得到反饋增益矩陣[K=KS-1。]

通過以上步驟，就可以將系統的極點以狀態反饋的形式配置到期望的位置。

2 [H∞]控制理論

標準[H∞]控制問題是在標稱參數下的擾動抑制問題，將系統描述為如圖1所示的廣義系統。

其中[G（s）]為廣義被控對象，狀態空間表達形式如下：

[x=Ax+B1w+B2uz=C1x+D11w+D12uy=C2x+D21w+D22u] （2）

式中：[x]是狀態向量；[w∈Rq]是外部擾動輸入；[u]為控制輸入；[z∈Rr]是被控輸出信號，也稱評價信號；[y]是測量輸出信號；[A，][B1，][B2，][C1，][C2，][D11，][D12，][D21，][D22]均為適當維數的定常矩陣；[K（s）]為待設計的控制器。[K（s）]反饋控制器的設計原理要用到[w]到[z]傳遞函數的無窮范數值[fs=Twz（s）∞，]根據[fs]的值有以下不同的定義：

定義1：[H∞]最優控制問題：求解正則實有理函數[K（s），]使得閉環系統內部達到穩定，同時使傳遞函數[Hwz（s）]的無窮范數達到最小 [2]，即[min（fs）=λ0。]

定義2：[H∞]次優控制問題：對于給定的[λ][（λ>λ0），]求解正則實有理函數[K（s），]使得閉環系統內部達到穩定，同時使[fs<λ。]

定義3：[H∞]標準控制問題：對于給定的[λ][（λ>λ0），]增廣被控對象[G（s），]判斷是否存在反饋控制器[K（s），]使得閉環系統內部達到穩定，同時使[fs<1，]如果存在則求之。

定理2 系統（2）存在一個狀態反饋控制器使得閉環系統漸近穩定，且滿足[fs<γ，]當且僅當存在一個對稱正定陣[X]和矩陣[Y，]使得下面不等式成立[2]：

[AX+B2W+（AX+B2W）TB1（C1+D12W）TBT-IDT11C1X+D12WD11-γ2I<0] （3）

如果式（3）的矩陣不等式存在一個可行解[X]和[W，]則[K=W*X-1]是系統（2）的一個狀態反饋形式的[H∞]魯棒控制器。

3 控制器設計

極點配置可以準確地掌握系統的動態性能，[H∞]魯棒控制能較好地抑制外部擾動，提高對輸入信號的跟蹤能力。在采用極點配置方法設計內回路的基礎上，采用[H∞]魯棒控制作為外回路控制器。在參考輸入指令[yref]下，有一個干擾向量[w（t）]作用在被控系統上，除了漸近跟蹤要求外，一般還要求[w（t）]對系統輸出所產生的影響[yw（t），]當[t→∞]時也趨于零。綜合控制器的原理框圖如圖2所示。

設被控對象描述為如下的狀態空間形式：

[x=Ax+B1w+B2uy=C2x] （4）

式中[A=A-B2K]為極點配置模塊。

對偏差信號積分，然后與受控對象串聯，數學描述為：

[η（t）=0te（τ）dτ=0t[yref（τ）-y（τ）]dτ] （5）

對式（5）求導得：

[η（t）=e（t）=yref（t）-CX（t）] （6）

把[η]作為附加的狀態向量對系統進行增廣，得到增廣后的系統為：

[xη=A0-C0xη+B20u+B100Iwyrefy=[C 0]xη] （7）

不失一般性，式（7）就可以改寫為標準[H∞]魯棒控制問題，如下：

[x=Ax+B1w+B2uz=C1x+D12uy=C2x] （8）

式中：[A=A0-C0，][B2=B20，][B1=B100I，][C2=C0，][x=xη，][w=wyref]。

根據圖2所示結構圖，可以看出控制輸入與狀態之間滿足下面關系：

[u=L1L2xxc] （9）

所以系統如果能滿足定理的要求，就能通過把實際的系統轉化為標準[H∞]魯棒控制問題而求出狀態反饋陣[L=L1L2]。

4 仿真結果與分析

某飛艇縱向運動線性方程為（在[V=30 ]m/s，[h=3 000 ]m的平飛狀態下線性化得到）：

[x=Ax+Buy=Cx] （10）

其中，狀態向量[x=[Vαqθ]，]分別表示速度、迎角、俯仰角速度、俯仰角，控制量為[u=δz]（升降舵）。舵回路采用一階慣性環節[20（s+20）]來近似。首先對內環采用狀態反饋進行極點配置，求得[K]為：

[K=[-0.200 60.707 714.138 19.175 6 ]]

考慮到風干擾的作用機理，假設風擾動是通過下列變量加入飛機縱向運動方程中的：

[v=v+vwq=q+qwα=α+αw] （11）

給出俯仰角跟蹤指令[θg]，求得跟蹤誤差為[e=θ-θg]，從而可得到飛機的干擾增廣模型，如式（8）所示，其中：[x=[Vαqθθes]；][w=[vwqwαw]]。

性能指標為：

[z=[c1V c2α c3q c4θ c5θes c6δz]T] （12）

為了更好地跟蹤俯仰角，在性能指標中對應于狀態變量[θe]的系數選取相對大一些，取[c1=0.001，][c2=0.002，][c3=0.002，][c4=0.001，][c5=0.01，][c6=0.001。]求得外環增廣控制系統的魯棒狀態反饋陣為：

[L=[-0.940 91.570 319.607 542.859 1-33.857 8 ]]

為了驗證本文設計的控制器的有效性，將本文設計的綜合控制器與常規極點配置得到的控制器進行對比。對飛機在有風干擾和無風干擾兩種情況下進行仿真分析，給定俯仰角跟蹤指令：[θg=10°，]得到不同控制器對應系統的跟蹤響應如圖3所示。

通過圖3可以看出，常規的極點配置方法設計的控制器在無擾動條件下，效果較好，但當存在風干擾時，效果變差，無法達到漸進跟蹤給定指令的目的。本文設計的控制器能夠很好地跟蹤給定的俯仰角，并且沒有超調和穩態誤差，調節時間也在可以接受的范圍之內，在外部有風干擾時，仍然保持了較好的動態性能和跟蹤能力，具有良好的魯棒性。

5 結 語

本文討論了[H∞]魯棒方法和極點配置在飛艇縱向控制系統設計中的應用，該設計方案以狀態反饋形式的極點配置作為內回路來實現系統對動態性能的要求，以[H∞]魯棒控制器作為外回路來實現對外部干擾的抑制，在有外部風干擾的情況下，該控制器可以有效改善系統的動態性和魯棒性。

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