重復使用液體火箭發動機可用度的數字仿真

劉士杰，梁國柱

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

重復使用液體火箭發動機(RLRE)可以降低航天發射成本，是未來航天運載器的發展方向之一［1］.可用度是可靠性理論的一部分，它也是重復使用系統重要的評價指標，但重復使用液體火箭發動機的復雜性、部件壽命模型的差異等因素使得它的可用度評估工作十分困難，這就使得對重復使用液體火箭發動機可用度的研究工作很少見到.航天飛機主發動機(SSME)作為世界唯一曾可重復使用的液體火箭發動機，對它的研究工作比較多.文獻［2］指出SSME 的表現并沒有預期的那樣卓越，對其缺陷進行了分析，并提出增加系統可靠性的措施.Pauschke［3］在系統級、組件級及部件級對它的可靠性進行分析，并給出了部件設計指標和SSME 失效故障樹.對大型復雜系統的可靠性指標(如可用度)計算，往往假設部件的壽命分布服從指數分布，即部件故障率為常數.同時假定系統部件的修復率也為常數，在此基礎上借助故障樹分析技術(FTA)進行可靠性指標的計算［4］，但這種假設在現實中往往很難成立.因此，為開展液體火箭發動機可重復使用性研究，在理論上尋找具有普遍意義的重復使用液體火箭發動機可用度指標計算方法顯得很有必要.

蒙特卡羅(Monte Carlo)數字仿真方法早期在原子核理論的研究中得到了應用，現在它已經被用于包括核工業在內的航空航天、工農醫、服務等領域.由于該方法抽樣產生的壽命數據具有隨機性，使得它可以解決服從任意概率分布的壽命預估問題［5］.文獻［6］以某液壓泵為例利用Monte Carlo 方法對復雜可維修系統在完全維修和基本維修下的可用度進行了數字仿真研究，并給出了基本維修條件下系統的最佳預防維修周期.文獻［7］對某型自行火炮樣車底盤壽命數據進行非參數假設檢驗，建立了各部件壽命模型，對部件故障優先級進行分類，對自行火炮底盤可靠性、維修性指標進行了仿真計算，該文獻中的樣車底盤可靠性(廣義可靠性)分析思路值得系統可重復使用性研究者借鑒.

本文以SSME 高壓液氫渦輪泵(HPFTP)為例，結合已有故障統計資料，提出符合威布爾(Weibull)壽命分布要求的HPFTP 工作時間數據，并進行非參數Kolmogorov-Simirnov(K-S)檢驗.利用Monte Carlo 仿真對HPFTP 的預防維修周期內的可用度進行了計算分析.

1 重復使用系統可用度計算模型

1.1 可用度與可靠性、維修性的關系

與可靠度表征系統在規定的時間和規定的條件下完成任務的概率［4］有所不同，可用度表征的是系統完成任務的可用程度，是一種綜合可靠性和維修性的量.顯然可用度的定性定量研究對于可重復使用系統而言顯得更加重要.可用度A 與可靠性和維修性的關系公式為

式中:Mean Up Time(MUT)為系統的累計可工作時間(包括系統實際開機運行時間和正常停機等待時間)，是與可靠性相關的時間量;Mean Down Time(MDT)為因故障導致的系統累計不能工作時間(包括故障檢測時間、維修等待時間和維修時間等)，是與系統維修性相關的時間量.

可以看出，可用度是系統可工作時間占總壽命時間(MUT+MDT)的百分比，是對系統的可用程度的定量表述.它比可靠性指標更能反映系統可重復使用的特征.可用度最大說明系統得到了最大程度的利用，為此，將系統最佳可用度定義為系統可用度最大時的取值.

1.2 預防維修周期內系統狀態的定性描述

可重復使用系統不同于一次性使用系統，如美國的航天飛機作為可重復使用航天運載器側重的是系統的廣義可靠度，即不僅考慮航天飛機完成一次任務的可靠性，而且重視其維修性和完成多次任務的可靠性;而一次性使用的系統則更加關心系統完成一次任務的可靠性.與一次性使用系統相比，可重復使用系統存在著“使用—維修—再使用—再維修—…—報廢”這樣一個過程和預防維修周期、系統隨機故障時間、故障排除時間等的不同概念.預防維修周期T 是規定系統累計工作T 時間后不論系統發生故障與否都要對系統進行檢查維修的時間周期.

圖1 為第i 次預防維修周期內可維修液體火箭發動機故障發生與修復的情形.圖1 中，tj為系統第i 次預防維修周期內系統第j－1 次修復后到第j 次故障發生前的工作時間;Mctj為系統第j 次故障發生后的事后維修時間(為方便表述，這里將故障檢測和維修等待等時間均作為維修時間的組成部分，即從發動機發生故障到修復這段不能工作時間都視作維修時間);Mpti為第i 次預防維修周期對應的預防維修時間(達到預防維修周期后對系統進行預防維修的時間);K 為系統第i 次預防維修周期內發生故障的總次數;t'為最后一次故障(第K 次)修復后，系統重新開始工作至預防維修周期的時間(t' ＞0).

令t 為在第i 次預防維修周期中系統的累計工作時間，則有如下情形:

1)若在一個預防維修周期內，系統無故障發生，則在t=T 時，進行預防維修.

2)若在一個預防維修周期內，如圖1 所示發生K 次故障，每次故障后進行事后維修，則存在:

圖1 預防維修周期內可維修液體火箭發動機系統的狀態Fig.1 States of reusable liquid rocket engine system within preventive maintenance time

本小節是對修理型事后維修系統的描述.工程中更加關心的問題是在給定的預防維修周期內，如何獲得系統的穩態可用度，以及系統是否存在一個最佳的預防維修周期(可用度最大時的預防維修周期).

1.3 基本修復數學模型的建立

為了求解第1.2 節所描述狀態下液體火箭發動機的可用度和最佳預防維修周期，本節參考文獻［6］建立液體火箭發動機在基本修復下可用度計算的數學模型.

當液體火箭發動機發生故障后，對其進行維修之后是不可能完好如初的.對于重復使用的發動機，其實際情況更加復雜，本文依據基本修復(即不完全修復)模型來進行分析，即認為修理后的故障率(任意時刻尚未發生故障的液體火箭發動機單位時間內故障發生的概率)與修理前相同.假設第1 次發生故障前發動機系統的工作時間為t1(t1=t1)，在基本修復條件下按如下方法可以獲得第2 次故障前系統的總工作時間t2.

式中:ξ 為新坐標系下發動機工作時間.

由可靠性理論知，故障率λ(t)與可靠度函數R(t)之間的關系為

同樣，第1 次故障后的故障率與可靠度函數間也存在類似關系:

式中:C 為積分常數，由初始條件確定.

又因發動機在ξ=0 時剛剛修復，因此其可靠度應為1，即有，式(6)可以改寫成:

又由可靠度函數與失效分布函數的關系R(t)=1 －F(t)，可得

式中:Z 為基本修復之后ξ 時刻對應的發動機在新坐標系下的失效概率值.

設第1 次故障發生時刻失效概率值為Z0，第2 次發生故障對應的失效概率值為Z1，則t1=F－1(Z0)，結合式(9)可以得到:

式中:F－1為分布函數F 的逆函數，即發動機故障前的工作時間.

依次類推可以求出基本修復條件下的故障發生時間:

式中與發生故障的工作時間t1，t2，…，tj，…，tK對應的失效概率值和新坐標系示于圖2 中，如圖2所示隨著故障的發生依次建立其他坐標系Oj(j=1，2，…，K+1)，Oj為在Oj－1坐標系下發生第j 次故障時建立的新坐標系，來計算發生第j +1 次故障時刻，以此類推直至發動機累積故障時間大于預防維修周期T，且記發動機故障發生總次數為K.圖2 中Z0為發動機發生第1 次故障時工作時間對應的概率值;K 為發動機發生故障總次數;建立OK+1坐標系是為了判斷故障發生總次數.

圖2 基本修復下失效分布函數F(t)隨時間的變化Fig.2 Changes of failure distribution function F(t)over time under incomplete maintenance

壽命概率分布模型以對數指數分布和威布爾分布最為常見.本文假設液體火箭發動機的失效分布，即故障前的工作時間概率分布模型服從兩參數的威布爾分布，該模型數學表達式為

式中:α 為尺度參數;β 為形狀參數.

式(11)和式(12)便組成了在基本修復條件下重復使用液體火箭發動機持續工作時間的數學模型，據此可以對液體火箭發動機的工作時間進行數字模擬.注意tj表示系統第j 次故障前總的工作時間，tj與tj關系為tj=tj－tj－1(j =2，3，…，K).

下面將通過非參數的K-S 假設檢驗說明威布爾分布對液體火箭發動機的適用性，并給出分布參數的預估值.

1.4 液體火箭發動機失效分布的非參數檢驗

重復使用液體火箭發動機所積累的時間數據往往是地面試車試驗中發動機持續工作時間的數據，這些數據與重復使用液體火箭發動機任務時間(如SSME 單次任務時間大約500 s)和壽命(如SSME 設計要求工作55 次)是有區別的.但鑒于液體火箭發動機安全性要求很高，而且實際的飛行時間數據又很難獲得，本文研究提出如下理由可以認為充分利用地面試驗數據來確定重復使用液體火箭發動機預防維修周期是可行的:

1)地面試驗數據是持續工作時間數據，它們往往大于重復使用液體火箭發動機的單次任務時間，這一點通過表1 也可看出，這就表明利用這些數據確定預防維修周期是理論可行的.

2)地面試驗中出現的故障數據在發動機實際工作中是不允許出現的，即發動機在到達這些時間數據時應不可以有故障發生，否則很可能造成機毀人亡，所以在這些數據前應采取預防維修措施，這就表明利用這些數據確定預防維修周期是合理的.

3)地面試車后，發動機經簡單維修后可以繼續工作或故障后不可修，這表明利用這些地面試車數據確定預防維修周期是保守的和安全的.

通過以上分析可知:①地面試車數據與壽命數據具有近似的性質，是一種特殊的壽命數據，它應服從壽命概率分布模型;②利用這些數據確定液體火箭發動機預防維修周期是合理的、保守安全的，這對于合理安排維修資源、提前排除故障是可行的.

不失一般性，本文以SSME HPFTP 的持續工作時間數據為例，對其所服從的概率分布模型進行分析，步驟為:

1)假設HFPTP 故障發生前的總工作時間服從式(12)所表達的兩參數威布爾分布.

2)根據總結的HPFTP 持續工作時間數據對威布爾分布參數進行預估.

3)利用非參數K-S 檢驗對所得的持續工作時間模型進行檢驗.

根據已有數據:HPFTP 的FMOF/Phase II、BLOCK I 和BLOCK IIA 三個技術升級階段共發生42 次故障［8］;HPFTP BLOCK II 驗證階段試車故障數據參見文獻［9］.本文依據現有資料摘錄或假設或計算得到其故障前的工作時間概率分布如表1 所示，且認為每次故障都可修(能修和值得修).

表1 HPFTP 工作時間概率分布Table 1 Probability distribution of HPFTP work time

現根據假設的HPFTP 持續工作時間服從的威布爾分布，對表1 中數據進行非參數的K-S 假設檢驗.首先采用最小二乘法利用式(13)和式(14)對威布爾分布的參數進行估算［10］:

式中:F(tj)可以用Benard 公式估算［11］:

由式(13)～式(17)可以算得HPFTP 故障前工作時間所服從的威布爾分布參數:=13 449，=1.864.

在得知故障前工作時間分布的情況下，采用K-S 檢驗法對假設的模型進行了非參數檢驗，K-S檢驗結果:理論結果與經驗值的最大距離d_max=0.081 8，在置信度ε=0.05 下D(42，0.05)=0.209 9，又由于所采用的威布爾分布參數是用最小二乘法估算得到的，所以臨界值應取4 ×D(42，0.20)=0.660 4.顯然d_max ＜D(42，0.20)，也就是說表1 中HPFTP 的數據的確服從威布爾分布.

1.5 基本修復條件下系統預防維修時間內工作時間的數字仿真抽樣算法

利用Monte Carlo 隨機抽樣方法，根據基本修復條件下系統故障發生時間的關系式(11)，得出基本修復條件下重復使用液體火箭發動機在給定預防維修周期內工作時間的數字仿真抽樣算法，其步驟為:

1)生成隨機數.平均分布隨機數采用乘同余法產生，其公式為

式中:M' =231－1;γ =75;x［0］=123 457 為隨機數種子;根據問題情況給出一個合理的m 值(m 不小于最大的故障發生次數K).利用平均分布隨機數生成符合概率分布F(t)的隨機數Z0，Z1，…，ZK(對威布爾分布隨機數即為

2)統計系統試驗或實際工作中故障發生的時間，按照從小到大的順序制成系統工作時間概率分布表，以便通過式(11)抽取系統累積工作時間.

3)給定系統預防維修周期T(由經驗或其他計算方法得來)，由式(11)中Z0與第1 次發生故障的工作時間的關系，利用步驟2)中的系統工作時間概率分布表抽取與Z0對應的系統工作時間t1，若t1≥T 則停止該次抽樣，計系統工作時間為t1;若t1＜T，則將Z0記為η1繼續進行步驟4).

4)第j 次的系統工作時間的代表隨機數為

式中:ηj－1為第K 次故障前工作時間的代表隨機數;Zj－1為步驟1)產生的隨機數.

5)根據步驟2)產生的系統工作時間概率分布表和式(11)(即在系統表1 中查找與ηj對應的工作時間，也即由式(11)所表達的概率分布求逆計算工作時間)抽取ηj所在概率區間(即代表隨機數，如表1 中凡落在區間［0.072，－0.095)中所有的隨機數的集合即為工作時間等于4 000 s 的代表隨機數)的tj+1(j =1，2，…，K)，重復步驟4)直到tj+1大于預防維修周期T，停止抽樣.

6)系統每次故障間隔時間為

1.6 重復使用系統可用度計算

按照第1.5 節的方法，根據系統的試驗、使用資料，在最小故障時間和最大故障時間之間選取N 個時間點進行仿真，在每個時間點進行M 次運行，在第i 次運行時，只要滿足不等式tK+1≥T，則第i 次運行結束.在預防維修周期［0，T］內，可求出:

在第i 次運行中，預防維修時間等于Mpti.

最后，可用度為

這樣就得到預防維修周期T 內系統的平均可用度，當運行完所有時間點時就得到了系統在不同預防維修周期內的平均可用度.

2 重復使用HPFTP 可用度仿真實例

HPFTP 是SSME 壽命最短的組件，文獻［12］指出其能滿足11 次(5 500 s)飛行要求，文獻［13］指出其能滿足34 次(17 000 s)飛行要求(HPFTP一直不斷升級更新，不同時期的飛行次數有所差異)，故本節以HPFTP 為例進行實例分析.需要指出的是，由文獻［13］知SSME 的壽命(55 次飛行任務)是以大修(更換或維修主要零部件)前的時間來定義的，而又通過文獻［14］得知HPFTP 的壽命也是用大修前的時間定義的，故HPFTP 的壽命是大修前的工作時間，這是它與一般產品相區別的典型特點.而HPFTP 的壽命則是由多個預防維修周期組成的.大多數文獻資料是對SSME 或HPFTP 的壽命進行研究，而針對HPFTP 壽命相關的故障、維修信息進行數字仿真研究的文獻還未見到.由第1.4 節的分析可知，研究HPFTP 的預防維修周期，對于合理分配維修資源，降低風險是有參考價值的.本節用上文提到的數字仿真技術對HPFTP 預防維修周期進行實例研究.結合HPFTP 一定的試驗和使用數據計算其最大可用度，確定對應該可用度的最佳預防維修周期，并結合HPFTP 實際工作次數來說明計算方法的合理性.HPFTP 持續工作時間數據資料已在表1 中給出，HPFTP 維修時間的資料比較有限，結合文獻［15］，給出假設的預防維修時間概率分布如表2和事后維修時間概率分布如表3(表2 和表3 中第1 列數據根據文獻［15］SSME 維修時間估算得來).

表2 HPFTP 預防維修時間概率分布Table 2 Probability distribution of HPFTP preventive maintenance time

表2 和表3 是在航天飛機使用歷史數據的基礎上推斷計算而來的，因很難給出與實際情況完全一致的概率分布類型，故本文假設其任意維修類型都是隨機發生的(因為故障發生類型隨機性很大，所以對應的維修類型也有很大隨機性)，通過后文的計算結果可以看出數據與假設是較合理的.

表3 HPFTP 事后維修時間概率分布Table 3 Probability distribution of HPFTP corrective maintenance time

對HPFTP 進行26 個預防維修周期的仿真(預防維修周期區間個數的劃分根據所研究問題來確定.比如HPFTP 每次工作大約500 s，預防維修周期通常取其整數倍，以在發生故障前排除安全隱患)，分別取預防維修周期為1 500 s，2 000 s，2 600 s，3 400 s，…，10 000 s，11 500 s，12 700 s，…，21 400 s和22 000 s(理論上預防維修周期可任意選取，文中為了說明方法的任意性取了如2 600 s之類的非500 s 整數倍數據，不影響結果的分析說明).每個預防維修周期進行40 次運行(即求和指標中M=40)，然后計算平均可用度(由統計學知運行次數越多越接近真實值).現僅列出T=10 000 s 時的運行仿真計算結果，如表4 所示.

由表4 可以看出，當T=10 000 s 時:

總的工作時間MT=400 000 s

表4 HPFTP 預防維修時間為10 000 s 的仿真計算結果Table 4 HPFTP simulation results when preventive maintenance time is 10 000 s

利用式(20)計算得到HPFTP 在預防維修周期10 000 s 時的可用度為0.22.同樣可以計算得到其它預防維修周期內HPFTP 的可用度，以此做出HPFTP 的可用度-預防維修周期關系圖，如圖3所示.

通過圖3 可以看出:①在基本修復條件下，HPFTP 的可用度首先隨著預防維修周期的增大而增大，但當預防維修周期超過5 800 s 時，其可用度開始下降.這主要是由于預防維修時間太長渦輪泵部件的“老化”而引起故障頻發，增加了渦輪泵事后維修時間引起的，所以HPFTP 存在最佳預防維修周期.其可用度的最大值是0.247，此時對應的預防維修周期是5 800 s，即HPFTP 的最佳預防維修周期為5 800 s;②HPFTP 的可用度比較低，這主要是因為作為航天用的渦輪泵，其嚴格的工作要求、安全性和經濟性等因素使得它工作時間短、停機時間長引起的;③圖3 中的點a，b 和c的可用度相差不大，在實際的工程應用中不能肯定a 而否定b 和c，應根據實際需要選擇適合自己的最佳預防維修周期.需要指出的是:如第1.2 節所述文中最佳可用度是指最大可用度，這一最佳可用度對應的預防維修周期為最佳預防維修周期.但實際的最佳預防維修周期并不一定取在可用度最大的位置，真正的最佳預防維修周期是需要利用多學科優化、協調分配來確定的，故本文所采用的最佳預防維修周期的概念需要引起注意.

圖4 為4 次HPFTP 可用度數字仿真結果的規律分布圖.由圖4 可以看出，4 次運行中HPFTP的最佳可用度在0.253 ～0.301，對應的最佳預防維修周期在5 900 ～7 100 s，這是由于仿真的隨機性引起的，符合現實規律.應當多次計算求得平均最佳可用度和平均最佳預防維修周期，但計算次數的選取不是任意的，計算次數與預防維修周期存在一定的關系，如圖5 所示.

圖3 HPFTP 可用度-預防維修周期關系Fig.3 HPFTP availability-preventive maintenance time relationship

由圖5 可以看出，當仿真次數(圖中括號內逗號前的數字)大于4 時計算結果大致落在區域S 內(圖5 中仿真次數較少的p 點也落在S 區域，可能是由抽樣隨機性引起的).且由圖4 和圖5 的比較也可以發現，隨著計算次數的增加，結果區間更加收緊，即平均最佳預防維修周期減弱了最大和最小預防維修周期數據對最終結果的影響.S 區域內系統可用度變化范圍(0.275 ～0.298)，預防維修周期變化范圍(6 000 ～6 620).可用度變化幅度為0.023，占到最低可用度8%左右.預防維修周期變化幅度為620，占到最低預防維修周期的10%，也就是仿真結果最差可能會使HPFTP丟失一次使用次數，鑒于安全性考慮，這樣的結果可以接受.而且圖中的S 區域比較保守(因為S區域可以給得更小)，所以計算次數大于5 的結果已具有參考價值.文中計算進行了20 次，求得平均最佳可用度為0.285，平均最佳預防維修周期是6 340 s，即HPFTP預防維修前可重復使用12 次.HPFTP 一直在不斷地升級更新，其相應年份的重復使用驗證次數如表5 所示.

圖4 HPFTP 可用度-預防維修周期規律分布Fig.4 HPFTP availability-preventive maintenance time distribution

圖5 可用度、預防維修周期計算與仿真次數關系Fig.5 Relationship of availability，preventive maintenance time and simulation numbers

表5 HPFTP 重復使用驗證過程Table 5 HPFTP reusability verification process

本文計算的HPFTP 預防維修前可重復使用12 次(包括可能出現故障并修復可用)，HPFTP壽命期內的重復使用次數為

式中:N 為HPFTP 重復使用次數;Nm≥1 為預防維修次數;Nm=1 表示HPFTP 在第1 個預防維修周期達到之后即不再修，如Nm=1 對應1989 年HPFTP 可重復使用11 次，即HPFTP 預防維修時已經不可修或不值得修，這是較為保守的情況;Nm=3 近似表示2002 年HPFTP 可重復使用情況，即HPFTP 壽命期內大約進行3 次預防維修之后即不再修，與1989 年的情況相比表明隨著技術的進步，預防維修的次數可以適當增多;但1985 年HPFTP 重復使用僅6 次，表明本文選取的數據對于確定1985 年HPFTP 的預防維修周期是不適合，另由文獻［14］可知，起初(大約1981 ～1985 年間)HPFTP 每飛行2 次便到大修期，表明當時其可用度很低，故1985 年的HPFTP 可能不存在預防維修，需要注意的是這一結論未曾由文獻證實.上述結論與HPFTP 升級更新過程是相符的，也是技術進步對HPFTP 可重復使用性提高的體現.本文的分析是是后驗性的，即在使用數據的基礎上對先前使用情況進行分析，以便指導類似的設計.而研究預防維修次數Nm與大修期的關系是一種先驗問題，即通過分析確定合理的設計指標，具體方法可參見文獻［17］，本文不再贅述.需要再次強調的是不能完全按照可用度來獲得渦輪泵的最佳預防維修周期，還應結合經濟性、安全性等因素來最終決定適合實際需要的預防維修周期，但可用度指標給出了重要的理論參考.

3 結 論

1)可重復使用液體火箭發動機可用度的數字仿真方法可行，只要有其試驗或/和使用數據，便可以仿真獲得發動機或部件可用度指標的理論統計值，為確定系統或部件的最佳預防維修周期起到重要的理論支持.

2)基本維修條件下，航天飛機主發動機高壓液氫渦輪泵存在最佳的預防維修周期，平均最佳預防維修周期是6 340 s，理論上預防維修前可以重復使用12 次.

3)由于液體火箭發動機或其部件具有特殊的工作環境和嚴格的工作要求，其可用度比較低.計算表明，航天飛機主發動機高壓液氫渦輪泵的平均最佳可用度僅為0.285.

4)本文結果表明，在重復使用液體火箭發動機的研究中，如果一開始就從經濟性和安全性等方面深入分析并確定平均最佳預防維修周期，則有助于避免系統研發初期可能出現因頻繁維修或更換而導致的系統極低可用度和高成本的問題.

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