一道中考填空題引發(fā)的教學反思

朱偉英

【摘 要】每年中考結束，筆者總喜歡看看自己本市的數(shù)學中考題，以便把握自己以后數(shù)學教學方向及研究內容。去年（2014年）寧波市初中畢業(yè)生學業(yè)數(shù)學試卷中的第18題引起了筆者對自己數(shù)學教學的深思。

【關鍵詞】中考題;引發(fā);教學反思;類比;基本套路

1.題目及解答過程

題目：如圖1，半徑為6cm的⊙O中，C、D為直徑AB上的三等分點，點E、F分別在AB兩側的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連接AE、BF，則圖中兩個陰影部分的面積為______cm2。

解：如圖2作△DBF的軸對稱圖形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的軸對稱圖形△HAG，由于C、D為直徑AB的三等分點，則H與點C重合。

∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三點共線，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴ = = 。在Rt△ONC中，∠OCN=60°，

∴ON=OCsin∠OCN= .OC，∵OC= OA=2，∴ON= ，∴AM=2 。∵ON⊥GE，

∴NE=GN= GE。連接OE，在Rt△ONE中，NE= = = ，

∴GE=2NE=2 ，∴S△AGE= GE·AM= ×2 ×2 =6 ，∴圖中兩個陰影部分的面積為6 ，故答案為：6 。

2.題目考點剖析

本題設計新穎，頗具創(chuàng)意。以三角形和圓作為基本圖形，在簡單圖形中設計了極富內涵的數(shù)學問題。靈活運用了圓的軸對稱性，通過翻折使兩塊三角形面積合二為一。讓靜止的圖形運動起來，是解決此題的突破口。然后把求三角形的底轉化為求弦問題，考查了圓中重要的垂徑定理。數(shù)學的轉化思想立竿見影。除此之外，本題還考查了全等三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形及勾股定理。本題綜合性強，突出考查考生靈活運用基礎知識分析問題、解決問題的能力。

3.教學反思

3.1注重幾何問題的“基本套路”的教學

數(shù)學教育的作用主要體現(xiàn)在開發(fā)學生的智力，鍛煉學生的邏輯思維，使學生學會認識問題和解決問題的基本方法，從而提高推理能力，培養(yǎng)理性精神和創(chuàng)造力。要實現(xiàn)這個目標的基本途徑就是使學生在認識數(shù)學的基本方法的同時，學會數(shù)學地思考和解決問題。而要達到這一點，必須把握數(shù)學地認識和解決問題的“基本套路”。解決幾何問題的一個“基本套路”就是：首先要認真分析條件，而分析條件就是將條件與相關的“基本圖形”結合起來，利用這個“基本圖形”的性質，獲得相應的結論。有時圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”，這時還需聯(lián)想相關知識作輔助線構造出相關的“基本圖形”，再利用這個“基本圖形”的性質，獲得相應的結論，從而達到解決問題的目的。本題充分體現(xiàn)了數(shù)學地認識和解決幾何問題的一個“基本套路”：雖然沒有一目了然的“基本圖形”，但只要利用圓的軸對稱性，馬上可以轉化為平時常見的一個“基本圖形”，接著就是探究圓中的弦及三角形的有關性質，問題進行了很合理化的遷移。因此平時教學中注重“套路”，構造出“問題遷移”的“基本圖形”，能培養(yǎng)學生對數(shù)學整體認識及研究數(shù)學問題的方法和形成解決問題的一些基本策略的能力。

3.2注重幾何習題的類比、變式和拓展

許多幾何圖形都有相同的性質，經過適當?shù)念惐龋谀承﹫D形上可得相同的結論。通過對幾何圖形的變形，能進一步加深對基本圖形的理解，還可以了解這些圖形之間的相互關系，從而找出其本質規(guī)律。變式教學是指教師在引導學生解答數(shù)學問題時，變更概念非本質的特征，變更問題的條件或結論;轉換問題的形式或內容;創(chuàng)設實際應用的各種環(huán)境，是概念或本質不變的一種教學方式。數(shù)學變式的研究能幫助學生養(yǎng)成良好的質疑、多思的學習習慣，提高類比推理的思維能力和數(shù)學學習的能力。比如教師在分析這道中考題時，可以先鋪設這樣一道題：

1.如圖，P為直徑AB上的一點，點M和N在⊙O上，且∠APM=∠NPB=30°。若OP=2cm，AB=16cm，則PN+PM=_______cm。

分析：利用圓的軸對稱性，找出M點的對稱點M1，可得M1，P，N三點共線，然后求PN+PM轉化為求弦M1N，于是用垂徑定理，在半弦、半徑、弦心距構成的直角三角形中解決此題。

接著安排一道變式：

2.如圖，已知⊙O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點，M、N為弧AB上兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=_____。

分析：利用圓的中心對稱性，可延長ME交⊙O于點M1，則M1E=FN，于是求EM+FN轉化為求弦M1M。接下來解法同上題。

最后再搬出這道中考題。由于上兩題的變式教學，讓學生已潛移默化地掌握了這類題型的內在規(guī)律。就是先利用圓的對稱性，把所求問題轉化為與條件匹配的“基本圖形”，然后利用“基本圖形”的有關性質解決。有了上兩題的鋪墊，學生在處理這道綜合性較強的題目時，也會得心應手。利用變式教學，通過對數(shù)學問題多角度，多方位、多層次的討論和思考，能幫助學生打通關節(jié)，展示數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程，有意識、有目的地引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，使所有知識點融會貫通，使思維在所學知識中游刃有余、順暢飛翔。因此，平時注重幾何習題的類比、變式和拓展，不僅能使學生輕而易舉地掌握各種各樣的題型，而且能擺脫思維的僵化、刻板、呆滯，克服思維定勢的消極影響，使學生思維敏捷，思路開闊，想象豐富，從而提高教與學的效率，更重要的是為學生今后成為創(chuàng)造性人才奠定了良好的基礎。

（作者單位：浙江省寧波市春曉中學）