一種新的十六位置慣性平臺自標定方法*

袁愛紅,孟衛鋒

(航天時代電子公司第16研究所,西安 710100)

一種新的十六位置慣性平臺自標定方法*

袁愛紅,孟衛鋒

(航天時代電子公司第16研究所,西安 710100)

針對目前慣性平臺標定誤差系數較少的現狀,文中探索出一種新的十六位置自標定方法。首先通過分析平臺結構和相關安裝誤差,推導出包含54項誤差系數的誤差模型;在此的基礎上,首次分析了框架軸旋轉順序對系統可觀測性的影響;結合平臺實際和誤差模型,給出了一種新的十六位置自標定方案,并分析了該十六位置相比工程中常用的十六位置的優越性。仿真結果顯示該方案可較高精度標定出全部的誤差系數。文中提出的標定方案具有易于工程應用的優點。

慣性平臺;自標定;誤差模型;最小二乘

0 引言

制導工具誤差和方法誤差是影響導彈命中精度的主要因素,前者占主要成分。而慣性儀表的精度在很大程度上決定了慣性平臺系統的使用精度,因此在使用時必須進行補償,對于高精度慣性平臺,對誤差進行標定并進行補償就顯得更為重要[1]。目前,對慣性平臺系統誤差模型的研究,多數停留在對陀螺儀和加速度計誤差系數的模型上,而對加速度計和陀螺儀的安裝誤差考慮的較少。而這些安裝誤差如果得不到補償,將會對高精度慣性平臺系統的精度產生較大影響[2]。文獻[3]討論了一種可以標定較多誤差系數的多位置自標定方法,但未涉及加速度計和陀螺儀的安裝誤差,標定精度不夠;文獻[2]、文獻[4-8]雖然給出了陀螺儀和加速度計安裝誤差的標定方案,但未能標定陀螺儀全部的二次項誤差系數和加速度計的二次、三次誤差系數,也就是標定的誤差系數不夠多,影響標定精度。

同時,位置的選擇是慣性平臺多位置自標定的決定性因素,因為位置組合的選擇影響誤差系數標定的個數和精度[9]。文獻[2-8]所給出的位置組合所能估計的誤差系數個數非常有限,其本質原因就是這些文章中的位置組合不能使所有的誤差系數得到較充分的激勵,因此,更好位置組合顯得尤為迫切。

文中首先從慣性平臺的結構出發,推導出完整的慣性平臺系統誤差模型;首次分析了框架軸翻轉順序的選擇對系統可觀測性的影響;在此基礎上給出十六位置自標定方案;根據此方案進行仿真驗證,并對仿真結果進行必要的分析。

1 慣性平臺誤差模型

在推導慣性平臺誤差模型之前,先對慣性平臺結構進行簡要的說明。文中研究的慣性平臺由3個單自由度液浮陀螺儀、3個撓性擺式加速度計組成,3個陀螺和3個加速度計的敏感軸正交安裝,分別沿X、Y、Z方向;陀螺儀、加速度計在平臺上的安裝示意圖如圖1所示。

圖1 平臺組成圖

設陀螺儀I軸繞其O、S軸的安裝誤差為ΔOI、ΔSI,加速度計I軸繞其P、O軸的安裝誤差為θPI、θOI,I=x,y,z。假定這六個安裝誤差均為小角度。陀螺儀和加速度計的安裝誤差分別如圖2和圖3所示。

圖2 陀螺儀安裝誤差

圖3 加速度計安裝誤差

結合圖1和圖2可得平臺坐標系到陀螺儀坐標系的變換矩陣為:

(1)

(2)

(3)

同理,平臺坐標系到加速度計坐標系的變換矩陣為:

(4)

(5)

(6)

在翻滾實驗中,假定先繞臺體軸旋轉α,再繞外環軸旋轉γ,則地理坐標系n到平臺坐標系p的轉換矩陣為(假設地理坐標系n為東北天坐標系):

(7)

地球自轉角速度在地理坐標系的投影為:

(8)

地球重力加速度在地理坐標系的投影為:

(9)

其中:L0和g0分別表示當地緯度和重力加速度的大小;ωie為地球自轉角速度的大小。文中L0取值為34°10′36″,g0取值為9.794 m/s2,ωie取值為7.292×10-5rad/s。

陀螺靜態誤差模型[10]:

(10)

在靜基座條件下,陀螺漂移誤差模型為[11]:

(11)

加速度計輸出誤差模型[10]:

(12)

將式(1)～式(3)以及式(7)～式(9)代入式(10)和式(11)得陀螺儀輸出誤差模型為:

(13)

(14)

(15)

同理,將式(4)～式(6)和式(9)代入式(12)得加速度計輸出誤差模型為:

(16)

(17)

(18)

上述誤差模型中一共有54個待估計參數,其中,kg0i(i=x,y,z)是陀螺儀對比力不敏感的靜態漂移誤差系數,kg1ij(i=1,2,3,j=x,y,z)是陀螺儀對比力一次方敏感的靜態漂移誤差系數,kg2ij(i=1,2,3,4,j=x,y,z)是陀螺儀對比力二次方敏感的靜態漂移誤差系數;ka0i(i=x,y,z)為加速度計零偏,ka11i(i=x,y,z)為加速度計標度因數誤差系數,ka2ij(i=1,2,3,j=x,y,z)為加速度計二階非線性誤差系數,ka3i(i=x,y,z)為加速度計三階非線性誤差系數。由于待估計參數較多,需要更多的位置才有可能得到較高的估計精度,而同時希望標定時間越短越好,綜合考慮這兩方面因素,選用十六位置自標定方案。在下一節將探討慣性平臺十六位置自標定方案。

2 十六位置自標定方案設計

在上一節中詳細推導了慣性平臺系統誤差模型,為本節提出標定方案打下基礎。在推導誤差方程過程中,發現框架軸翻滾順序對誤差模型有一定的影響,而這種影響還沒有學者進行深入分析,因此,在本節將首先分析框架軸翻滾順序對自標定的影響,然后給出十六位置自標定方案。

2.1 翻滾順序選擇

在第一節中給出的陀螺儀和加速度計的誤差模型,是假設在多位置翻滾實驗中先繞臺體軸翻轉,再繞框架外環軸旋轉。其實框架軸翻轉順序也會對自標定產生一定的影響,因為旋轉不同,轉換矩陣就會有差異,推導的誤差模型也會隨之不同,因此分析框架軸的旋轉順序對標定的影響也是很有必要的。假定先繞框架外環軸翻轉,再繞臺體軸旋轉,以x軸陀螺儀為例,由于篇幅限制,不加推導的給出其誤差模型為:

(19)

從式(19)可以看出,kg13x和ΔOx的系數成比例,使得這兩個參數必有一個不可觀或者說在估計時最多能估計出這二者的線性組合。同樣對于y、z陀螺儀,均有類似情況出現,這就必然導致可估計參數個數迅速減少;而從式(13)～式(18)可以看出在翻滾實驗中先繞臺體軸旋轉再繞外環軸就可避免參數系數相同或者成比例的情況,也就是說這種翻滾順序可以提高系統的觀測性。

綜上分析,可以得出:在多位置翻滾試驗中先繞臺體軸旋轉再繞外環軸旋轉可以提高系統的可觀測度。

2.2 十六位置方案

分析了旋轉順序是遠遠不夠的,更重要的是位置選擇,經驗位置無法標定這么多誤差系數。研究位置選擇實際上是研究系統的可觀測性和可觀測度。而文中參數估計問題實際上是一個最小二乘估計問題,其數學模型為[12]:

(20)

其中M為系統的信息矩陣,其定義式為[12]:

M=HTH

(21)

由最小二乘估計的形式可以看出,當M滿秩,也就是可逆時,此時狀態變量X的所有分量才能得到估計,也就是系統完全可觀測;同時根據最小二乘估計理論知道,對于最小二乘問題(如式(20)),當信息矩陣M某一特征值較小時,信息矩陣的條件數很大,此時最小二乘估計精度很差。矩陣的條件數定義為[13]:

(22)

上式中λ1、λn分別表示量測矩陣H的最大和最小奇異值。也就是說式(22)的值越小,系統的可觀測性越好,標定精度越高,標定時間越短,這就為位置選擇提供了理論基礎,也為實驗方案優化設計提供了理論基礎。

以x軸陀螺儀為例,若采用十六位置,H的具體形式為:

(23)

將式(23)代入式(21)得M的具體形式為:

(24)

其中:

(25)

綜合分析誤差模型和實際中某些條件的限制,設計了一種十六位置組合如表1。

表1 16位置方案

為顯示文中選取的十六位置優越性,下面將和工程中其他常用的十六位置進行比較,見表2。

表2 不同位置組合對估計的影響

標定位置的選取對于誤差系數的觀測性影響很大,只有信息矩陣M為滿秩矩陣時,所有系數才可觀測;在M為滿秩矩陣時,H的條件數越小,誤差系數的估計精度越高。從上表可以看出,在上述6組位置中,第三、五、六組的信息矩陣M為滿秩方陣,但第六組的觀測矩陣H的條件數最小,因此,第六組位置的估計精度最高。實際上,由最小二乘估計理論可知:當條件數的數量級大于105時,即使可以得到估計,但估計誤差已非常大,甚至大到無法接受的程度,同時標定時間也會更長,這是慣性平臺自標定所不愿看到的。在三、五、六組中,僅第六組條件數在105數量級以內,因此僅第六組位置組合得到的參數估計才是可靠的。第一、二、四的信息矩陣M為奇異矩陣,因此有不可觀測狀態,也就是說這幾組位置組合無法估計出所有的參數,同時由于待估參數有不可觀測狀態,因此會導致可估計的狀態估計精度也很低。

從表2中的數據以及仿真得出最優位置的過程中可以得出如下選擇位置的原則:1)外框架軸和臺體軸應該避免選擇π/2整數倍的位置,因為在這些位置,正弦和余弦以及正余弦的積為零,而觀測矩陣H是由正余弦組成的,所以會導致觀測矩陣H的很多元素為零,進而信息矩陣M為稀疏矩陣,當要估計的誤差系數很多時,信息矩陣M的維數就很高,奇異的概率就更大,主要嚴重影響二階誤差系數kg2ij(i=1,2,3,4,j=x,y,z)、ka2ij(i=1,2,3,j=x,y,z)的可觀測性,這也解釋了為什么工程常用的十六位置估計的誤差系數少于35個;2)應避免外框架軸和臺體軸選擇相同的角度,因為相同的角度會使sinαcosγ=cosαsinγ,而這種交叉積在H的同一行中多有出現,這樣導致H的列線性相關,進而導致M奇異(因為M=HTH,M的秩等于H的列秩),因此就會導致部分二階誤差系數kg2ij(i=2,3,4,j=x,y,z)、ka2ij(i=2,3,j=x,y,z)不可觀測。

3 仿真算例

選用第二節給出的自標定方案,本節將根據第一節給出的誤差模型和第二節給出的標定方案(位置組合見表2)進行仿真驗證。由于篇幅限制,僅以x軸陀螺儀和x軸加速度計為例進行仿真驗證,其他軸與此類似。

在表1所列位置組合下,各陀螺儀及加速度計的各項誤差系數將相繼受到重力加速度和地球自轉角速度的激勵。定義相對誤差[14]:

為驗證所給定的標定方案優于工程中常見的十六位置標定方案,選擇表2中的第三、五、六組位置組合進行比較(其中,第六組位置組合是文中所給出的位置組合),以慣性平臺x軸為例,x軸18項誤差系數的標定結果見表3。

表3 x軸誤差系數標定結果

從上表可以看出,文中給出的方案標定精度從整體上看遠優于工程中常用的位置組合,這和2.2節分析的結果完全吻合,其原因就是第三、五組的位置組合下的量測矩陣的條件數數量級遠超過105,這就導致估計精度很差甚至出現錯誤。文中給出的位置組合(第六組),在保證所有系數能夠被估計出的前提下,還能保證估計精度很高:陀螺儀誤差系數估計相對誤差最大為0.7%,估計精度高,而安裝誤差估計相對誤差最大達到12.4%,估計精度相對較差;加速度計誤差系數估計相對誤差最大為0.43%,估計精度較高。陀螺儀安裝誤差估計精度相對較低的主要原因在于其激勵是地球自轉角速度,而地球自轉角速度相對于重力加速度而言非常小,這使得陀螺儀安裝誤差的可觀測性較差,導致其估計效果不佳。

4 結論

文中首先從慣性平臺結構出發并分析了陀螺儀和加速度計的安裝誤差,詳細推導出慣性平臺完整的誤差模型。在此基礎上給出了慣性平臺十六位置自標定方案,分析過程及仿真結果中得到以下結論:

1)翻滾實驗中,先旋轉臺體軸,再旋轉外框架軸可以在一定程度上提高系統的可觀測性;

2)應避開90°整倍數角度位置;

3)盡量避開α=γ的位置。得出標定方案后,對比工程中常用的十六位置組合,比較結果顯示文中所選用的位置組合不僅可以估計出全部的誤差系數和安裝誤差(共54項),而且精度最高。仿真結果顯示文中提出的標定方案合理,易于工程應用。

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A New 16-Position Self-calibration Method for the Inertial Platform

YUAN Aihong,MENG Weifeng

(No.16 Research Institute of China Aerospace Times Electronics Corporation, Xi’an 710100, China)

A new 16-position self-calibration method for inertial platform was proposed in view of lack of method which could estimate a lot of error coefficients. Firstly, through analysis of platform structure and installation error, the error model contains 54 error coefficients was derived. Then, impact of frame shaft rotation sequence for observability of system was analyzed. Combined with actual situation of the platform and the error model, a new 16-position scheme for self-calibration was presented. The simulation results show that the calibrating method proposed in this paper can estimate all error coefficients with high accuracy.

inertial platform; self-calibration; error model; least-square

2014-07-28

總裝預研基金;第二炮兵武器裝備預研項目資助

袁愛紅(1988-),男,湖北十堰人,碩士研究生,研究方向:導航與控制。

V441

A