CDC-代數上中心化子的刻畫

馬 飛，張建華，尹琳娟

MA Fei1,ZHANG Jianhua2,YIN Linjuan1

1.咸陽師范學院 數學與信息科學學院，陜西 咸陽712000

2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安710062

1.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang,Shaanxi 712000,China

2.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

1 引言

設A是一個環或代數，如果對任意的a,b∈A，aAb={0}蘊涵a=0 或b=0，那么稱A是素的；如果aAa={0}蘊涵a=0，那么稱A是半素的。如果可加映射φ:A→A滿足對任意的a,b∈A有φ(ab)=φ(a)b(φ(ab)=aφ(b)),那么稱φ是一個左（右）中心化子；如果有φ(a2)=φ(a)a(φ(a2)=aφ(a))成立，那么稱φ是一個左（右）Jordan 中心化子。如果φ既是左中心化子又是右中心化子，那么稱φ是中心化子。與中心化子密切相關的一類重要映射是中心化映射：若映射φ:A→A滿足對任意的a∈A，有φ(a)a-aφ(a)∈Z(A)（Z(A)為A的中心），則稱映射φ是中心化的；特別的，若φ(a)a=aφ(a)，則稱映射φ是可交換的。

關于中心化子的研究一直深受研究人員的關注。如Beidar[1]證明了若半素環R上的映射φ既是左Jordan中心化子，又是右Jordan 中心化子，則存在環R的擴展中心中的元素λ，使得φ(a)=λa對任意的a∈R都成立；Vukman[2]對2-非擾自由半素環R上的可加映射φ證明了，如果對任意的a∈R，有2φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，那么φ是中心化子；Zalar[3]證明2-非撓的半素環上的任意的左（右）Jordan 中心化子是左（右）中心化子；Benkovi?和Eremita[4]證明2-非撓的素環上的可加映射φ如果滿足對任意的a∈R,n≥2 都有φ(an)=φ(a)an-1，那么φ是左 中 心 化 子；Vukman[5]推 廣Benkovi? 和Eremita 的 結論，證明在標準算子代數A上，若可加映射φ滿足對任意的a∈A，有φ(am+n+1)=amφ(a)an（其中m、n為正整數），則存在數域F中的常數λ，使得對任意的a∈A,有φ(a)=λa。楊[6]將Vukman 的結果推廣到了套代數上，證明了在套代數上的可加映射φ若滿足(m+n)φ(ar+1)=mφ(a)ar+narφ(a)（也 稱 為 廣 義Jordan 中 心 化 子）或φ(am+n+1)=amφ(a)an,則存在數域F中的常數λ,使得對任意的a∈A,有φ(a)=λa。文獻[7]證明：設T是一個三角代數，如果一個可加映射φ:T→T滿足，對任意的a∈T,有(m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)或φ(am+n+1)-amφ(a)an∈Z(T) 成 立（ 其 中m,n,r為 正 整數），那么存在T的中心中的元素λ∈Z(T)，使得對任意的a∈T，有φ(a)=λa。類似結果可見文[8-10]。

設H是一個復可分的Hilbert 空間，L是H上的子空間格。其子空間格代數為AlgL={T∈B(H):T(l)?L,?l∈L}。如果一個子空間格L中的任意兩個投影是可交換的，則稱L是交換子空間格，簡稱CSL，相應的稱AlgL為CSL 代數。一個全序子空間格N稱為套，相應的代數AlgN稱為套代數。若?0 ≠e∈L,有e= ∨{l∈L:l?N-},則稱CSL 是完全分配格，其中N-= ∨{P∈L:N?P}，相應的稱完全分配格的CSL 代數為CDC-代數。本文主要討論具有完全分配交換子空間格的代數，關于完全分配格代數的標準定義見文獻[11-12]。顯然，套是完全分配的交換子空間格，也是其最重要的模型。

由文獻[13]可知，CDC-代數是由其包含的秩一算子弱*閉生成的算子代數，這個結果對研究CDC-代數具有重要的意義；文獻[14-15]分別研究了CDC-代數上的代數同構、線性導子及線性Lie 導子。在CDC-代數AlgL中，記U(L)={e∈L:e≠0,e-≠H}, 稱U(L) 中 的e,e′是連通的，如果存在e1,e2,…,en∈U(L),使得ei與ei+1可比，e0=e，en+1=e′(i=0,1,…,n)。設C?U(L),如果C中任意兩個元素是連通的，并且C中的任何元素與U(L)C中的元素都不連通，那么稱C是U(L)的一個連通分支。設L是復可分的Hilbert 空間H上的一個完全分配的交換子空間格，由文獻[16]可知，AlgL是不可約的，當且僅當其交換子是平凡的，即其一次換位是FI，也等價于L∩L⊥={0,I},其中L⊥={e⊥:e∈L}。顯然，套代數是一個不可約的CDC-代數。受中心化子和中心化映射及上述結論的啟發，本文主要證明：CDC-代數AlgL上的可加映射φ,如果滿足對任意的正整數m,n≥1 和a∈AlgL，有φ(am+n+1)=amφ(a)an，那么存在λ∈Z(AlgL)，使得對任意的a∈AlgL,有φ(a)=λa（見定理2.1）。

2 主要結果及證明

本文的主要結論如下：

定理2.1設AlgL是Hilbert空間H上的CDC-代數，φ:AlgL→AlgL是一可加映射。若存在正整數m,n≥1,使得對于任意a∈AlgL,有：

則存在Z(AlgL) 中的常數λ，使得對任意的a∈AlgL，有φ(a)=λa。

為了證明這個結論，首先考慮在不可約CDC-代數上的情形。在不可約CDC-代數上，文獻[14]證明了下面的結論。

引理2.1[14]設AlgL是Hilbert 空間H上的不可約CDC-代數，則存在一個非平凡投影e∈L，使得e(AlgL)e⊥是忠實的AlgL-雙邊模。這里忠實的AlgL-雙邊模指的是對于任意的a∈AlgL，若ae(AlgL)e⊥={0}，則有ae=0；若e(AlgL)e⊥a={0}，則有e⊥a=0。

為了證明定理2.2，需要證明下面的結論：

引理2.2設AlgL是Hilbert 空間H上的不可約CDC-代數，φ:AlgL→AlgL是一可加映射。若存在正整數m,n≥1,使得對于任意a∈AlgL,有：

則存在數域F中的常數λ,使得對任意的a∈AlgL,有φ(a)=λa。

證明若L={0,H},即L只有平凡投影，則AlgL=B(H是素的，則由文獻[10]的主要結論可知，存在數域F中的常數λ,使得對任意的A∈AlgL,有φ(a)=λa。

下面假設L是非平凡的。由引理2.1 可知，存在非平凡投影e∈L,使得e(AlgL)e⊥是忠實的AlgL-雙邊模。令e1=e,e2=I-e，則e1,e2∈AlgL且均為投影。則對于任意的a∈AlgL可分解為：

a=e1ae1+e1ae2+e2ae2

因而可將AlgL代數分解為：

AlgL=A11⊕A12⊕A22

其中Aij=ei(AlgL)ej。

在式（2）中用a+b代替a可得：

(m+n)φ(ab+ba)=mφ(a)b+naφ(b)+

特別的，在式（3）中令b=I，則有：

下面分三個步驟來完成本引理的證明。

結論1對于任意aij,bij∈Aij，有φ(Aij)?Aij(1 ≤i≤j≤2)。

由φ滿足式（2）可得：

(m+n)φ(ei)=mφ(ei)ei+neiφ(ei)

上式兩邊分別左乘和右乘ei，則對于i=1,2,有：

又因為(m+n)φ(ei)=mφ(I)ei+neiφ(I)。對上式兩邊分別左乘和右乘ei，可得：

對任意aii∈Aii(i=1,2)，由式（3）可知：

對上式兩邊左乘和右乘ei，且由式（6）可知：eiφ(aii),φ(aii)ei∈Aii，即φ(aii)=eiφ(aii)ei∈Aii。

對任意a12∈A12，由式（4）可知：

(m+n)φ(a12)=mφ(I)a12+na12φ(I)

對上式兩邊分別左乘e2和右乘e1，則有：

(m+n)e2φ(a12)=me2φ(I)a12=mφ(I)e2a12=0

及 (m+n)φ(a12)e1=na12φ(I)e1=na12e1φ(I)=0

因而有φ(a12)e1=e2φ(a12)=0。即φ(a12)=e1φ(a12)=φ(a12)e2=e1φ(a12)e2∈A12。

結論2對于任意的aij,bij∈Aij，有：

（1）φ(a11b12)=φ(a11)b12=a11φ(b12)

φ(a12b22)=φ(a12)b22=a12φ(b22)

（2）φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)

φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)

由式（2）、（3）及結論1 可知，對任意的a11∈A11,b12∈A12有：

在上式中取a11=e1，有：

即φ(b12)=φ(e1)b12。

同理可證：φ(a12)=a12φ(e2)。從而有：

φ(a11b12)=a11b12φ(e2)=a11φ(b12)

和φ(a11b12)=φ(e1)a11b12=φ(a11)b12

類似可得：

對任意的a12∈A12，由式（7）可知：

φ(a11b11)a12=φ(a11b11a12)=φ(a11)b11a12

且φ(a11b11)a12=φ(a11b11a12)=a11φ(b11a12)=a11φ(b11)a12

在不可約CDC-代數中，由e(AlgL)e⊥是忠實的AlgL-雙邊模，因而A12是忠實的(A11,A22)-雙模，因而有：

φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)

對任意的a12∈A12，由式（8）可知，a12φ(a22b22)=φ(a12a22b22) =a12a22φ(b22) 且a12φ(a22b22) =φ(a12a22b22) =φ(a12a22)b22=a12φ(a22)b22。因而有：

φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)

結論3對于任意的a∈A，有φ(a)=λa。

對于任意的a,b∈AlgL，則存在aij,bij∈Aij，使得：a=a11⊕a12⊕a22,b=b11⊕b12⊕b22。

由結論1 和結論2 可知：

上式中取B=I可得對任意的A∈AlgL有φ(A)=φ(I)A=Aφ(I)。因為在AlgL中其換位子是平凡的，即(AlgL)′=FI因而存在λ∈F，使得φ(I)=λI，從而對任意A∈A，有φ(A)=λA。

定理2.2 的證明在式（1）中用a+tI代替a（其中為數域F中的任意數），由φ的可加性得：

由t的任意性可知，對于任意的t的i次方，式（9）都成立。特別的，當t的次方為m+n-1 時，由等式兩邊系數相等可得：

當t的次方為m+n時，由等式兩邊系數相等可得：

對式（10）兩邊左乘和右乘A可得：

上兩式相加得：

在式（11）中用a2代替a，得：

ma2φ(I)+nφ(I)a2=(m+n)φ(a2)

比較上兩式可知：

(m+n)aφ(I)a=(m+n)(φ(a)a+aφ(a))-(m+n)φ(a2)

將式（14）帶入式（12）與（13）可得：

將aφ(I)a,a2φ(I)及φ(I)a2帶入式（10），從而得到一個關于aφ(a),φ(a)a及φ(a2)的等式：

化簡得：

(m+n)φ(a2)=maφ(a)+nφ(a)a

即φ滿足式（2）。由引理2.2 知，存在λ∈F，使得對任意a∈AlgL，有φ(a)=λa。

Gilfeather 和Moore 在文獻[16]中證明了任何一個CDC-代數都可以分解成可數個不可約CDC-代數的直和，這個結果在研究CDC-代數的同構和導子等時具有非常重要的作用，下面給出這個結論。

定 理2.1 的 證 明設en=∨{e:e∈Cn,n∈Λ} 為 引 理2.3 所述的投影，則有：

并且顯然有：

(AlgL)en=en(AlgL)en=Alg(enL)

因為en=∨{e:e∈Cn,n∈Λ}是Hilbert空間H上的投影，因此，其也是Hilbert空間。因而，(AlgL)en是Hilbert空間en上的不可約CDC-代數，并且這里的收斂指的是強收斂。由引理2.3 中的en的定義可知，其線性張的閉包就是Hilbert 空間H,并且{en,n∈Λ}?L∩L⊥兩兩正交，因而有∑en=I為AlgL的單位元。

對于任意的a∈AlgL和任意的n,由φ滿足式（1），因而取a=en可得：

φ(en)=enφ(en)en

分別左右乘en,有：

φ(en)=enφ(en)en=enφ(en)=φ(en)en

又因為(AlgL)en是en上的不可約CDC-代數，從而由引理2.2 的證明可知，φ滿足式（3），從而有：

結合引理2.2 的第一步，可得：

所以有：

φ(enaen)=enφ(enaen)en

設在Alg(enL) 上有φ=φn，即φn為φ在Alg(enL上的限制，則有φn:Alg(enL)→Alg(enL) 是可加映射并且在Alg(enL)=(AlgL)en=en(AlgL)en上滿足引理2.2，則由引理2.2 知，對于任意的a∈Alg(enL),存在λ∈F，使得φn(a)=λa。

設an,a∈AlgL，an是強收斂于a的，則對于任意的H中的x,結合引理2.2的證明可知φ滿足式（4），因而有：

從而，對于任意的a∈AlgL，有：

φ(a)=φ(I)a=aφ(I)

即φ(I)∈Z(AlgL)，因 而 存 在λ=φ(I)∈Z(AlgL), 使 得φ(a)=λa。

通過定理2.1 的證明過程，很容易得到下面的推論。

推論2.1設AlgL是Hilbert空間H上的CDC-代數，φ:AlgL→AlgL是一可加映射，則下面幾個條件等價。

（1）存在λ∈Z(AlgL)，使得對任意a∈AlgL，有φ(a)=λa。

（2）存在正整數m,n，使得對任意的a∈AlgL,有：φ(am+n+1)=amφ(a)an。

（3）對任意的正整數m,n,r和任意的a∈AlgL，有：φ(am+n+1)=amφ(a)an。

（4）φ:AlgL→AlgL是中心化子。

3 結論

本文主要研究了CDC-代數AlgL上的滿足φ(am+n+1)=amφ(a)an可加映射φ,有φ(a)=λa（其中λ∈Z(AlgL)）的固定形式，給出了CDC-代數上的保持映射的刻畫，具有一定的理論意義。

[1] Bre?ar M.Centralizing mappings on von Neumann alge bras[J].Proc Amer Math Soc，1991，3：501-510.

[2] Vukman J，Kosi-Ulbl I.On centralizers of semiprime rings[J]Aequationes Math，2003，66：277-283.

[3] Zalar B.On centralizers of semiprime rings[J].Comment Math Univ Carolin，1991，32：609-614.

[4] Benkovi? D，Eremita D.Characterizing left centralizers by their action on a polynomial[J].Publ Math Debrecen，2004，64（3）：343-351.

[5] Vukman J，Kosi-ulbl I.Centralizers rings and algebras[J].Bull Austral Math Soc，2005，71：225-234.

[6] 楊翠，張建華.套代數上的廣義Jordan 中心化子[J].數學學報，2010，53（5）：975-980.

[7] 馬飛，張建華，李莉，等.三角代數上中心化子的刻畫[J].計算機工程與應用，2013，49（15）：23-26.

[8] 李倩，李鵬同.完全分配CSL 代數上的中心化子[J].數學年刊，2011，32（3）：375-384.

[9] Qi X F.Characterization of Centralizers and Generalized derivations on J- subspace lattice algebras[J].Acta Math Scientia，2014，34（2）：463-472.

[10] 馬飛，張建華.標準算子代數上中心化子的刻畫[J].山大大學學報：理學版，2014，48（9）：64-68.

[11] Hopenwasser A.Complete distributivity[J].Proc Sym Pure Math，1983，119：227-240.

[12] Lambrou M S.Complete distributivity lattices[J].Fundamenta Math，1990，51：285-305.

[13] Laurie C，Longstaff W.A note on rank-one operators in reflexive algebras[J].Proc Amer Math Soc，1983，89（2）：293-297.

[14] Lu F.Derivations of CDC algebras[J].J Math Anal Appl，2006，323（1）：179-189.

[15] Lu F.Lie derivations of certain CSL algebras[J].Israel J Math，2006，155：149-156.

[16] Gilfeather F，Moore R L.Isomorphisms of certain CSL algebras[J].J Funct Anal，1986，67：264-291.