基于損傷理論的混凝土Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展角

王玉琳，王向東，韓金啟，楊 林

(河海大學 力學與材料學院,江蘇 南京 210098)

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基于損傷理論的混凝土Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展角

王玉琳，王向東，韓金啟，楊 林

(河海大學 力學與材料學院,江蘇 南京 210098)

基于混凝土斷裂與損傷的基本理論，進行了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展方向研究，研究結果表明:Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展趨勢是隨著縫端損傷場的變化而變化的。通過縫端損傷場及損傷梯度的計算，分析了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫從起裂至失穩斷裂裂縫擴展方向的變化規律，得到了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的起裂擴展角和失穩擴展角。將其與文獻結果進行對比，對比結果表明：用損傷理論研究裂縫的擴展角是可行的。

混凝土；損傷梯度；斷裂；Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫；擴展角

0 引言

混凝土由粗骨料、細骨料和水泥漿構成，加載前，顆粒和基體之間已經存在著微裂紋和微孔隙[1]。即使在較低的應力水平下，這些微裂紋也會逐漸發展，從而使混凝土的強度劣化直至產生宏觀裂縫。為了確保帶縫混凝土結構的安全，進行裂縫的擴展方向及其變化規律的研究具有重要的實際意義。

在混凝土裂縫擴展方向的研究中，大多應用斷裂理論進行分析，但是斷裂理論只能得到裂縫最終的失穩擴展方向，無法反映裂縫擴展方向從起裂至失穩擴展階段的發展過程。由于裂縫的擴展是縫端損傷積累的結果，因此，將損傷理論應用于混凝土裂縫擴展方向的研究中，并引入損傷梯度的概念，以便得到裂縫擴展方向的變化規律。

目前，在混凝土的損傷研究中，提出了Loland損傷模型[2]、Mazars損傷模型[3]、Kachanov損傷模型[4]和Sidoroff損傷模型[5]等多種損傷模型。對單一型裂縫縫端的損傷場的研究已取得了較多的成果[6-7]。

對于Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型及Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的擴展角的研究大多是基于斷裂理論的[8-9]，從損傷的角度去研究裂縫的擴展角以及裂縫擴展規律[10]的成果較為少見。本文應用Loland損傷模型，以損傷梯度為切入點，進行Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展方向的研究。研究結果表明：Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展方向隨著縫端損傷場的變化而變化。根據Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫從損傷至斷裂階段裂縫擴展方向的變化規律，確定了裂縫擴展角的擴展趨勢，并計算得到Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的起裂及失穩擴展角，將其與已有的經典斷裂理論和試驗所得到的結果進行對比，以驗證應用縫端損傷研究裂縫擴展方向的可行性。

1 基于斷裂理論的Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的斷裂角

根據疊加原理得到Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫端區域的應力[11]為：

(1)

式中：r為裂縫尖端附近區域內任一點的半徑；θ為斜截面的外法線與x軸間的夾角；KⅠ、KⅡ分別為Ⅰ型、Ⅱ型裂縫的應力強度因子。

由式(1)可以得到Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫端部區域的極坐標的應力分量[12]：

(2)

圖1 r=r0的微小圓周上各點的周向應力

基于最大周向應力斷裂判據，可以得到計算Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的開裂角θ0的方程，圓周上各點的周向應力如圖1所示。

(3)

由式(3)求出Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的擴展角θ0為：

(4)

式(4)即為由斷裂理論得到的Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的最終開裂角。

根據文獻[9]中的試驗，取KⅠ=0.58KⅡ，ν=0.145，可以求得兩個擴展角分別為60°和82°。當θ0取82°時，周向應力取得最大值，由此可以確定82°是最終的失穩擴展角。

由式(4)得到的Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的擴展角是裂縫最終的失穩擴展角，而裂縫的發展具有連續性，式(4)并不能反映從起裂至失穩階段裂縫的擴展趨勢及其變化規律。因此，本文應用Loland損傷模型[2]，以損傷梯度為切入點，進行Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展方向變化規律的研究。

2 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫縫端損傷場分析

文獻[2]在對混凝土等脆性材料的試驗結果進行對比研究后發現：當應力將要達到峰值應力時，應力與應變之間的關系不再是線性關系。這表明在達到最大應力以前，材料的內部已經存在一定的損傷。

Loland損傷模型[2]考慮了混凝土材料的初始損傷D0，當應力臨近峰值應力時，應變曲線開始偏離直線，標志著初始裂縫已經開始擴展。利用混凝土的拉伸應力-應變曲線，擬合可以得到材料損傷方程[13]：

(5)

根據文獻[9]可知：普通混凝土材料的初始損傷D0可取0.05；混凝土的峰值應力和與之對應的應變可分別取σf=2.5MPa和εf=10-4；拉伸強度為σu=3.0MPa；極限拉應變為εu=5×10-4；彈性模量取E0=3.5×104MPa；泊松比ν=0.145。

由此可得C1=3.13×1014，C2=1 418， β=3.8。把求得的參數代入式(5)得：

(6)

圖2 損傷D(ε)與應變ε的關系曲線

根據式(6)可以得到縫端損傷和應變的關系曲線，如圖2所示。從圖2中可以看出：損傷是隨著應變的增大而增大的，即隨著荷載的增加，應變隨之增大，縫端損傷區域逐漸擴展，裂縫的擴展方向發生改變。

3 基于損傷梯度的Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展角

3.1 Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫損傷梯度

隨著荷載的增加，裂縫損傷區域逐漸擴展，裂縫的擴展角也逐漸擴大[14]。為了更好地描述裂縫擴展角的擴展趨勢，將Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫簡化為平面問題，則Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的損傷梯度表達式可以表示為：

(7)

由式(1)可以得到Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫端部區域的主應力方程為：

(8)

將E0(1-D)εi=σi代入到主應力公式(8)中可以得到：

(9)

根據式(7)和式(9)，計算得到縫尖損傷變化規律的表達式為：

(10)

其中：

由此，可求得Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的損傷梯度。

圖3 G(θ)隨擴展角θ變化的規律

裂縫的擴展角即為損傷梯度取極大值時所對應的θ值，由式(10)可知：只需找到G(θ)和g(θ)的極大值就可以找到與之對應的擴展角。根據文獻[7]中的試驗數據，取α=0.58。通過計算分析可以得到G(θ)-θ對應的關系，如圖3所示。最終得到損傷梯度取極大值時所對應的θ值分別為：23°，24°，38°，57°，69°，71°， 81°。

3.2 驗證

隨著荷載增加，▽D不斷變化，裂縫始終沿著其極大值所對應的θ方向擴展。當0°<θ<90°時，上述角度均符合條件，且θ=81°即為裂縫最終的擴展方向，即裂縫的擴展角。根據斷裂理論，可以求出最終的開裂角為82°，將兩者進行比較，誤差為：

由于經典斷裂理論沒有考慮材料的初始損傷，所以求得的斷裂角偏大。本文采用損傷梯度的方法所得的裂縫擴展角與經典斷裂理論所求得的擴展角誤差為1.2%(小于3%)，結果較為吻合。

根據Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫起裂準則的試驗得到裂縫的起裂角平均值為24.52°，與根據損傷得到的裂縫起裂角23°進行對比，兩者的相對誤差僅為6.1%，小于10%，結果吻合較好，表明應用損傷梯度最大的方法進行裂縫擴展角研究是可行的。

4 結論

(1)本文根據斷裂理論計算得到了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的擴展角表達式及失穩擴展角的數值，將得到的結果與應用損傷理論得到的失穩擴展角進行對比，結果吻合較好。

(2)應用Loland損傷模型，進行Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展方向研究，得到的結論是Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫擴展方向與縫尖端損傷場的強弱有關。通過縫端損傷場及損傷梯度的計算，分析了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫從起裂至失穩斷裂裂縫擴展方向的變化規律，得到了Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫的起裂擴展角和失穩擴展角。

(3)將由損傷理論得到的裂縫起裂擴展角與研究混凝土Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫起裂準則的試驗結果進行了對比，其結果吻合較好，表明應用損傷梯度研究裂縫擴展角是可行的。

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國家“十一五”科技支撐計劃基金項目(2008BAB29B03);國家自然科學基金項目(50878077)

王玉琳(1990-),女,滿族,遼寧桓仁人,碩士生;王向東(1965-),女,通信作者，山西運城人，教授,博士,碩士生導師,主要研究方向為工程斷裂與損傷.

2015-06-17

1672-6871(2015)06-0051-04

TU528.01

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