參數激勵下分段線性兩尺度系統的分岔

陸慧玲,李紹龍,張正娣

(江蘇大學 理學院，江蘇 鎮江 212013)

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參數激勵下分段線性兩尺度系統的分岔

陸慧玲,李紹龍,張正娣

(江蘇大學 理學院，江蘇 鎮江 212013)

對參數激勵下分段線性系統進行了穩定性及分岔分析。以蔡氏電路系統為模型，在電阻中引入周期變化的部分，使得周期激勵頻率與系統固有頻率之間存在量級差異，構造了兩時間尺度非光滑動力系統。將該非自治系統化為廣義自治系統，研究廣義平衡點的穩定性，給出其失穩的分岔條件。在非光滑面處引用廣義Jacobian矩陣進行非光滑分岔分析，得到了相應的分岔條件。

分段線性；兩時間尺度；參數激勵；穩定性；分岔

0 引言

近幾年來，一類含有多時間尺度的分段線性動力系統引起了國內外學者的廣泛關注[1]。物理、生物、化學、地理等學科領域中的許多動力系統都會涉及到多時間尺度問題[2]。這里所謂的多時間尺度，是指在建立的數學模型中，狀態變量或者它們某種形式的組合可以分為若干不同的組，而各組之間隨時間變化的速率又存在著明顯的量級差異。與單一時間尺度的分段線性系統相比，多時間尺度系統具有更豐富的分段線性現象[3]，通常表現為以相對較大振幅的振動和近似簡諧振動的微幅振蕩為特征的周期性簇發振蕩，用NK來表示，其中N為每一周期內較大振幅，K為較小振幅振蕩的次數[4]。當變量在兩種狀態之間交替變換時，就會產生簇發現象。其中，相對劇烈的振蕩運動對應于簇發過程的激發態，而相對平緩的運動則對應于簇發過程的沉寂態[5]。系統在激發態和沉寂態的轉換過程中，存在兩種重要的分岔機制，也就是激發態轉向沉寂態的分岔和沉寂態轉向激發態的分岔[6]。

迄今為止，在多時間尺度系統的復雜性領域已經取得了一定的成果，如神經元模型中簇發振蕩的非光滑分岔機制[7]、廣義FitzHugh-Nagumo模型中的對稱簇發行為[8]、光敏B-Z反應中的尖端簇發現象[9]，但是大多數工作都是圍繞光滑系統或者注重于具有明顯快慢子系統的自治系統[10]開展的。在實際工程系統中，通常存在著大量非光滑因素，包括間隙、沖擊、碰撞、開關、閥值、繼電保護等。隨著研究的深入，發現：有時即使很弱的非光滑因素也能使系統表現出復雜的動力學行為，并存在長期的行為不可預測性，正所謂“失之毫厘，差之千里”。因此，必須對非光滑系統中的復雜現象及產生機理進行深入研究。本文考慮了典型周期參數激勵下分段線性電路模型[11]，采取了適當的參數值，使得固有頻率和激勵頻率之間存在量級差距，并研究了兩時間尺度系統的穩定性。

1 數學模型

廣義波可夫范德波爾(Bonhodffer-van der pol,BVP)電路模型是由兩個電容器C、一個電感器L、一個恒定電阻r和一個非線性電阻g(v1)構成的，其動力學模型可以表示為[11]：

(1)

(2)

以往研究都注重于具有明顯快慢子系統的自治系統，然而對于非自治系統，當固有頻率和激勵頻率之間存在量級差距時，由于軌跡運動中的兩種頻率逐步形成，其動力學表現為張弛振蕩[15]。此外，快慢子系統不明顯，將導致激發態和沉寂態的復雜行為以及分岔形式的產生。對無激勵方程(2)的分岔特點的研究比較透徹[11]，但方程(2)顯然還存在非光滑分界面，在分界面上可能存在著不同形式的非常規分岔，也可導致該系統具有特殊的振蕩行為。

2 廣義平衡點的穩定性及其分岔分析

用A表示激勵振幅，頻率為θ的周期參數激勵項用w=Acos(θt)表示。當固有頻率和激勵頻率之間存在量級差距時，系統中兩時間尺度效應逐步形成，一般表現為簇發振蕩。這里，本文將激勵頻率固定為θ=0.01，遠小于系統的固有頻率ΩN，進而去研究向量場的動力學行為。

2.1 廣義自治系統

為了研究方程(2)的分岔行為，先引入廣義自治系統的概念。如果激勵的振幅A=0，系統的振蕩周期為TN=2π/ΩN，則系統振蕩周期主要由固有頻率ΩN決定。任意選取起始點t=TA，在一個周期內即t∈[TA,TA+TN]，激勵項w=Acos(θt)在wA=Acos(θTA)和wB=Acos[θ(TA+TN)]之間變化，也就是當θ很小時，wA≈wB。因此，即使慢變量w在[-A,A]內變化，而在任意周期TN內激勵項w還可以近似視作常數，這將會導致方程(2)被看成為一個廣義自治系統，相應地稱該系統的平衡點為廣義平衡點。

2.2 廣義平衡點的穩定性及分岔分析

2.2.1 區域D0中的平衡點穩定性及其分岔分析

在區域D0中,系統僅存在一個平衡點E0=(0,0,0)，其相應的特征方程可以表示為：

P0(λ)=λ3+[δ-(w+B)]λ2+[2-(w+B)δ]λ+δ-(w+B)。

(3)

E0的穩定條件為：

δ-(w+B)>0， 1-(w+B)δ>0。

(4)

根據特征方程(3)可知：當特征方程出現0特征根時，系統可能產生Fold分岔，其滿足條件如下：

FB0：δ-(w+B)=0。

(5)

HB01：δ-(w+B)=0, 2-(w+B)δ>0；

(6)

HB02：1-(w+B)δ=0；

δ-w-B>0， 2-wδ-Bδ>0， 2(w+B)δ-δ2-1≠0。

(7)

2.2.2 區域D±中的平衡點穩定性及其分岔分析

P±=λ3+(δ-w)λ2+(2-wδ)λ+δ-w。

(8)

E±的穩定條件為:

δ-w>0, 1-wδ>0。

(9)

同理，根據特征方程(8)可知:當特征方程出現0特征根時，系統可能產生Fold分岔，其滿足條件如下：

FB±：δ-w=0。

(10)

HB±1：δ-A=0, 2-Aδ>0;

(11)

HB±2：(2-wδ)(δ-w)-(δ-w)=0;

δ-w>0， 2-wδ>0， 2wδ-δ2-1≠0。

(12)

2.3 非光滑分岔分析

由于方程(2)存在著具有分段線性特性的非線性電阻，對應的向量場是非光滑的，方程解的演化過程會受區域中平衡點的分岔及分界面上的非光滑分岔共同影響，也就是，對于非光滑分界面兩邊的向量場存在本質區別，所以，其行為可能在軌跡穿越分界面時發生定性的變化。由于向量場在分界面處是連續但不光滑的，因而在分界面附近的分岔行為可以借助于廣義Clarke導數得到的廣義Jacobian矩陣來研究。分界面處的廣義Jacobian矩陣可以表示成:

(13)

其中：J0和J±分別為D0和D±區域中平衡點所對應的Jacobian矩陣；q∈[0,1]。由此得廣義特征方程為：

Pq(λ) =qP±(λ)+(1-q)P0(λ)=

(14)

在給定的參數條件下，J(±)的特征值隨q的變化而變化。當廣義雅可比矩陣特征值出現0特征根時，即對應參數滿足如下條件：

δ-w-(1-q)B=0，

(15)

系統軌跡在穿越非光滑分界面時將產生轉點分岔，從而出現跳躍現象。若廣義特征方程出現純虛根，軌跡在分界面處可能會發生Hopf分岔出現極限環形式的振蕩，其參數條件為：

δ-w-(1-q)B=0, 2-wδ-(1-q)Bδ>0，

(16)

或者

1-wδ-(1-q)Bδ=0,δ-w-(1-q)B>0, 2-wδ-(1-q)Bδ>0。

若存在Hopf分岔的周期振蕩頻率為：

(17)

由上可知：隨著參數的變化，系統軌跡在穿越非光滑分界面時可能不產生任何分岔或者產生轉點分岔，Hopf分岔或其兩種分岔的復合式分岔。

圖1為系統的平衡點曲線和非光滑分界面的疊加圖。圖1中，橫實線表示穩定的平衡點；密虛線表示不穩定的平衡點；疏虛線表示分界面∑+,∑-；CEP0、CEP-、CEP+分別表示D0、D-、D+區域的平衡線。通過之前的分岔分析，可以計算出相應的分岔點，其中，FB1、FB2和FB3表示Fold分岔；HB1、HB2、HB3和HB4表示Hopf分岔。當穿越不同的分岔點時，軌跡將在激發態和沉寂態之間轉換，進而導致簇發振蕩。

3 結論

圖1 系統的平衡點曲線

通過將整個激勵項Acos (θt)看作參數w，周期激勵向量場可以被轉換為廣義自治系統。根據廣義自治系統平衡點的穩定性和分岔分析，可以得到與w有關的分岔點，其將平衡點曲線分為若干個穩定與不穩定部分。由于w在-A和+A之間變化，可造成w穿越不同的分岔點，發生沉寂態和激發態之間的轉換，進而導致簇發振蕩。當激勵振幅A較小時，系統發生Hopf分岔和Fold分岔，其中，亞臨界Hopf分岔和超臨界Hopf分岔都對軌跡有影響。而隨著激勵振幅的增加，分岔現象產生變化，并且原來亞臨界Hopf分岔對軌跡的影響消失。由于沉寂態與廣義自治系統的平衡點曲線有關，而激發態與分岔點有關，這樣會導致激發態產生不同形式的變化。

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國家自然科學基金項目(11472116);2014年江蘇省青藍工程學術帶頭人項目

陸慧玲(1991-),女,江蘇宿遷人,碩士生;張正娣(1972-)，女,江蘇丹陽人，教授,博士,博士生導師，研究方向為非線性動力學.

2015-01-19

1672-6871(2015)06-0071-04

O29

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