一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型

聶文靜，王 輝，胡志興，廖福成

(北京科技大學 數理學院，北京 100083)

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一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型

聶文靜，王 輝，胡志興，廖福成

(北京科技大學 數理學院，北京 100083)

將環境中的白噪聲和時滯考慮到含有Crowley-Martin 型功能反應函數的種群系統中，得到了一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型。本文利用Lyapunov 函數和It公式得到模型的正均衡態必須滿足某個條件才是全局漸近穩定的，而且常數時滯和一定范圍內的白噪聲對均衡解的全局漸近穩定性影響不大。

Crowley-Martin功能函數；時滯；高斯白噪聲

0 引言

于是，得到下列系統：

(1)

1 主要結果

證明 令

F(x,y)=a12y/[(1+βx)(1+ry)]；

G(x(t-τ),y(t-τ))=a21x(t-τ)/[(1+βx(t-τ))(1+ry(t-τ))]。

其中：初值f0(θ)=lnx0(θ);g0(θ)=lny0(θ)。很明顯，方程組(2)中兩個方程滿足局部Lipschitz條件，因此，存在唯一的局部解f(t)，g(t)定義在[-τ,te)[11]，te是爆炸時間,由It公式得ef(t)、eg(t)，滿足任意給定的初值條件(x0,y0)∈系統(1)的解。

其中：K1,K2是正常數。上式兩端由0到τm∧T(表示min(τm,T))積分并且取均值得到下面式子：

EV0(x(τm∧T),y(τm∧T))≤V0(x0,y0)+K1T+K2T。

綜上所述得到：

EV0(x(τm∧T),y(τm∧T))+K1T+K2T≥E[1Ωm(ω)V0(x(τm),y(τm))]≥

其中：1Ωm是Ωm的指標函數。令m→∞時，∞>V0(x0,y0)+KT=∞，矛盾。因此完成證明。

引理1 對于方程dx(t)=g(x(t),t)dt+f(x(t),t)dB(t),如果存在x*∈Rn，滿足當t>0時，g(x*,t)=0,f(x*,t)=0,那么稱x*∈Rn是方程的均衡態。并且若有一個正定的函數V(x,t)，使得LV(x,t)負定，則方程的均衡態x*是全局漸近穩定[11]。

因此，系統(1)的均衡態(x*,y*)滿足下列方程組：

(3)

證明 若系統(1)有正平衡點(x*,y*)，則方程組(3)一定存在一個正解(x*,y*)。由式(3)中的第一個方程得：

(4)

定義函數：

再定義函數：

所以當0

證明 定義：

V1(x)=x-x*-x*ln (x/x*),V2(y)=y-y*-y*ln (y/y*)。

由v-1-lnv≥0,v>0可得其正定性。

為了消除時滯的影響，定義如下非負函數:

其中：

(1+βx*)(1+ry*)(1+βx)(1+ry)>(1+βx)(1+ry)>(1+βx)>1。

現在定義:

V(t)=V1(x,y)+V2(x,y)+C1V3(t)+C2V4(t),

其中：

因此得到:

LV(t) =LV1(t)+LV2+C1LV3+C2LV4=

LV1(t)+L2V2+C1(x-x*)2+C2(y-y*)2-C1(x(t-τ)-x*)2-C2(y(t-τ)-y*)2≤

令

于是就得到:

由題意可得：當W<0，4WA-Q2>0時，在第一象限中除(x*,y*)外都有LV(x,y)<0。因此，完成定理證明。

2 數值模擬

用Milstein方法[12]模擬上述具有Crowley-Martin型功能反應的時滯隨機的捕食-被捕食系統所得到的結果,為：

其中：ξk和ηk(k=1,2,…，n)是服從N(0,1)的Gauss隨機變量。

圖1 系統(1)的解趨于確定的常數 圖2 有噪聲干擾系統(1)的解

本文得到含有時滯隨機項的一類具有Crowley-Martin型功能反應的捕食-被捕食系統，其正均衡態必須滿足某個條件才是全局漸近穩定的，而且常數時滯對均衡態的全局漸近穩定性影響不大。然而，如果白噪聲超出某個范圍，那么它將對均衡態的全局漸近穩定性產生重要的影響。

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國家自然科學基金項目(11471034,61174209);北京科技大學冶金工程研究院基礎研究基金項目(YJ2012-001)

聶文靜(1992-),女,河南安陽人,碩士生;王輝(1965-),女,通信作者,山西榆次人,副教授,碩士,碩士生導師,主要從事數論和微分方程方面的研究.

2015-05-11

1672-6871(2015)06-0075-07

O175

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