執行器飽和TS模糊時滯系統記憶耗散控制

馬躍超，陳夢華

(燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004)

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執行器飽和TS模糊時滯系統記憶耗散控制

馬躍超，陳夢華

(燕山大學 理學院，河北 秦皇島 066004)

針對基于執行器飽和的不確定TS模糊時滯系統，設計了記憶耗散控制器。使用Wirtinger不等式，得到了使閉環系統既漸近穩定又滿足耗散指標的時滯依賴條件。通過求解線性矩陣不等式，得到了控制器增益矩陣。最后，閉環系統最大吸引域的求解轉化為一個最優化問題。數值仿真驗證了所提出方法的可行性和優越性。

記憶控制；耗散性；TS模糊系統；時滯；執行器飽和

0 引言

TS(Takagi-Sugeno)模糊系統不僅是近似非線性系統的強大工具，也是充分利用線性系統理論和優勢的靈活框架。因此，TS模糊模型已經延伸到對非線性時滯系統的分析和綜合問題上[1-3]。近幾年,耗散理論的研究成為熱點[4]。對于非線性系統，采用TS模糊模型,耗散控制器設計是行之有效的。文獻[5]利用TS模糊模型討論了非線性系統的耗散控制問題。但是，文獻[1-5]都沒有考慮執行器飽和的影響。由于設備固有的物理限制，執行器飽和在實際控制系統中普遍存在。忽略飽和可能導致系統性能下降甚至不穩定。在非線性系統中，由于飽和所造成的復雜程度,控制器的設計變得更加復雜，利用TS模糊模型可以克服這些障礙[6-7]。另外，帶有輸入約束的記憶狀態反饋控制器，可以使得到的線性矩陣不等式具有較小的保守性及數值優化具有更大的可行域[8]。

基于以上討論，本文針對基于執行器飽和的不確定TS模糊時滯系統,研究了記憶耗散控制問題。首次提出對基于飽和執行器的TS模糊時滯系統記憶耗散控制問題的研究。研究結果表明：Wirtinger不等式[9]的應用降低了保守性，最大吸引域和記憶耗散控制器可以通過解線性矩陣不等式得到。

1 問題的提出

考慮如下含時滯的不確定TS模糊模型。規則i：若ε1(t)是Wi1,ε2(t)是Wi2，…，εp(t)是Wip，那么

(1)

其中：i∈:={1,2,…,r},r是模糊規則數；Wik(i∈,k=1,2…,p)是模糊集；x(t)∈Rn是狀態向量；ω(t)∈Rq是擾動，并且ω(t)∈L2[0,∞)；z(t)∈Rp是控制輸出；φ(t)是初始條件；τ(t)是時變時滯,滿足0≤τ(t)≤τ，(t)≤μ；u(t)∈Rl是控制輸入，sat:Rl→Rl是標準的飽和函數，定義sat(u(t))=[sat(u1(t)),…,sat(ul(t))]T，不失一般性，sat(ui(t))=sign(ui(t))min{1,；A1i,A2i,Bi,Bωi,C1i,C2i,Dωi是已知適當維數的實值矩陣；△A1i,△A2i,△C1i,△C2i是未知矩陣，且△A1i=M1i△1N1i,△A2i=M2i△2N2i,△C1i=M3i△3N3i,△C2i=M4i△4N4i，其中，M1i,M2i,M3i,M4i,N1i,N2i，N3i,N4i是已知的適維矩陣△i(i=1,2,3,4)為元素，是Lebesgue可測的不確定矩陣，滿足△t≤I。假定前件變量ε(t)=[ε1(t)ε2(t)…εp(t)]T與輸入向量u(t)無關，令△A1i,△A2i,△C1i,△C2i,得到如下全局模糊系統模型：

(2)

考慮下面的模糊全局控制器：

(3)

定義1[5]對于給定的參數α>0，實對稱矩陣Q,R和矩陣S。當系統(1)中u(t)=0時，對于任意t>0，是嚴格(Q,S,R)-α-耗散的，在零初始狀態下有：

Γ(t)?〈z,Qz〉t+2〈z,Sω〉t+〈ω,Rω〉t-α〈ω,ω〉t≥0，

(4)

引理1[10]對于給定矩陣Z>0和連續的可微函數，下面的不等式成立:

(5)

由式(2)、式(3)和式(5),可以得到下面的閉環系統：

(6)

2 主要結論

定理1 對于給定的實數α>0，對稱矩陣Q<0,R和S，閉環系統(6)是漸進穩定且耗散的，如果存在對稱正定矩陣P∈R2n×2n,Q1∈Rn×n,Q2∈Rn×n,W∈Rn×n,使得下面的條件對于i,j∈和ε(P11,ρ)?L(Hi,Hτi)成立:

(7)

其中：

證明 構造Lyapunov函數如下：

(8)

對式(8)沿著系統(6)求導，可得：

由式(7)和上式以及Schur引理[11]易知：

(9)

另一方面，當ω(t)≠0，對不等式(9)從0到t積分，并考慮零初始狀態，有：

因為V(xt)>0，那么不等式(4)成立，即系統(6)是(Q,S,R)-α-耗散的。證畢。

在定理1中，對于解決TS模糊時滯系統耗散性問題,首次使用Wirtinger不等式。相較于Jensen不等式，Wirtinger不等式不僅依賴于狀態x(t)，而且依賴于狀態在時滯之上的積分。定理1構造的Lyapunov函數也是時滯依賴的。

(10)

(11)

其中：

記憶耗散控制器增益矩陣為:Kj=YjX-1,Kτj=YτjX-1。

證明 由定理1和文獻[11]中的引理,可以得到條件(10)。利用Schur引理[11]和式(11)可得ε(P11,ρ)?L(Hi,Hτi)。證畢。

(12)

運用Schur引理，令β=ρ/α2，式(12)中條件(i)等價于

(13)

通過上面的討論,式(13)可以轉化成下面的線性矩陣不等式問題:

(14)

3 仿真例子

例1 考慮如下兩規則的TS模糊時滯系統(2)有如下參數(i,j=1,2;k=1,2,3,4)：

Cij=diag{1,0.1},Dwi=diag{0.1,0.3},Bwi=I,Q=-0.1I,S=0.1I,R=diag{2,4}。

令α=1,μ=0,δ=0.1,τ=0.203 2,用Matlab工具箱解決不等式(10)和(11),可以得到：

K12=[-1.704 6 -8.296 9],K21=[-0.012 5 0.035 2],

K22=[ 0.418 7 -0.881 9]。

給定x0=[0.1-0.2]T，解出不等式(13)，可以得到βmin=0.017。不確定參數△ι=sint，擾動ω(t)=-1/(2+t)。令模糊隸屬函數為a1(x1)=1/[1+exp(0.5(x1+1))],a2(x1)=1-a1(x1)。圖1是最大吸引域的估計，圖2是閉環系統狀態圖，圖3是Γ(t)的軌跡圖。從圖3可以看出：Γ(t)≥0,即閉環系統是耗散的。

圖1 最大吸引域 圖2 閉環系統狀態圖 圖3 Γ(t)的軌跡圖

表1 在不同μ下得到的最大時滯上界τ

4 結束語

本文研究了基于執行器飽和的TS模糊時滯系統，利用Wirtinger不等式，得到了耗散性時滯依賴條件和不變集條件。通過解線性矩陣不等式，求得了記憶狀態反饋控制器以及系統的最大吸引域。本文研究的耗散性能是在假設系統狀態可知的情況下完成的。但是，在許多實際問題中,系統狀態并不是完全可得的。在以后的研究中，可以在本文的基礎上，設計記憶狀態反饋觀測器來觀測未知的狀態或時滯。

[1] 陳珺,莊嘉媚,劉飛.不確定時變時滯模糊系統的有限時間H∞濾波[J].控制工程,2011,18(6):956-961.

[2] 白圣建,黃新生.基于TS模糊區域模型的航天器姿態控制[J].控制工程,2011,18(6):947-951.

[3] 張亞婷,聞繼偉,彭力.不確定TS模糊系統的有限時問H∞控制[J].江南大學學報:自然科學版,2012,11(6):658-663.

[4] 朱寶彥,張慶靈,顧艷麗,等.時滯Takagi-Sugeno模糊廣義系統魯棒耗散控制[J].北京理工大學學報,2012,32(9):986-990.

[5] Zhu B Y,Zhang Q L,Chang C L.Delay-dependent Dissipative Control for a Class of Non-linear System via Takagi-Sugeno Fuzzy Descriptor Model with Time Delay[J].IET Control Theory and Applications,2014,8(7):451-461.

[6] Yang H G,Li X,Liu Z X,et al.Robust Fuzzy-Scheduling Control for Nonlinear Systems Subject to Actuator Saturation via Delta Operator Approach[J].Information Science,2014,272:158-172.

[7] 楊俊萍,馬紅艷,賈新春.帶有飽和執行器的T-S模糊時滯系統的模糊控制[J].工程數學學報,2009,26(3):475-479.

[8] Azuma T,Ikeda K,Kondo T,et al.Memory State Feedback Control Synthesis for Linear Systems With Time-Delay via a Finite Number of Linear Matrix Inequalities[J].Computers and Electrical Engineering,2002,28(3):217-228.

[9] 王坤,王丹,張蕊.多時變時滯不確定系統的魯棒穩定性[J].河南科技大學學報:自然科學版,2015,36(2):60-64.

[10] Seuret A,Gouaisbaut F.Wirtinger-Based Integral Inequality:Application to Time-Delay Systems[J].Automatica,2013,49:2860-2866.

[11] 侯曉麗,邵誠.具有輸入時滯的不確定系統魯棒自適應控制[J].河南科技大學學報:自然科學版,2013,34(4):57-60.

國家自然科學基金項目(61273004)；河北省自然科學基金項目(F2014203085)

馬躍超(1963-),男,遼寧鳳城人,教授,博士,博士生導師,主要從事分散控制、非線性系統等方面的研究和教學工作.

2015-03-31

1672-6871(2015)06-0082-05

O231.2;N941.91

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