四連桿仿生膝關節機構優化設計

張莉潔，盧文濤，曹學民

(洛陽理工學院，河南洛陽471023)

0 前言

在康復醫學和雙足機器人領域，人工膝關節是重要的功能部件。它可以幫助人體實現站立的支撐和行走時的靈活自然步態。自然人腿膝關節的轉動中心會隨屈伸動作而移動，即轉動運動中心是變化的，如圖1 其瞬時轉動中心的軌跡為J 型曲線。研發仿生性能良好的人工關節技術是康復工程學及仿生行走機器人學的重要課題。為更好地模擬人腿膝關節功能，采用四連桿仿生膝關節，利用其可變瞬時轉動中心的運動學特性，實現膝關節的轉動多軸性，其良好的仿生特性得到了市場及大量學者的廣泛關注和研究［1－4］。四連桿膝關節機構設計的好壞將決定其仿生性能，已得到國內學者的廣泛關注。

圖1 膝關節瞬心軌跡圖

王斌銳等［3］在設計時同時考慮大腿和小腿的運動，采用旋轉矩陣和坐標變換法來表達踝關節軌跡，同時使膝關節和踝關節軌跡與目標軌跡重合。考慮到膝關節的作用只是保證大小腿的相對運動規律，因此設計時無需考慮大腿運動，該方法不必要地將優化問題復雜化，使計算過于繁復。文獻［5－6］以轉動瞬心的J 型曲線為目標軌跡，使所設計的四連桿機構的瞬心與J 型曲線重合，但考慮到若回轉半徑長度和位置不同，踝關節中心點軌跡也會不同，因此該方法無法同時保證踝關節軌跡能準確再現人腿實際軌跡，自然步態仍無法實現，該設計方法不夠成熟。現有文獻中少有對優化后四連桿膝關節瞬心位置的圖解說明，其優化結果的仿生性能仍有待進一步論證。

四連桿仿生膝關節機構設計是機構綜合問題，即在大腿固定不動的情況下，要求小腿實現相對擺動運動關系，即保證踝關節中心點的軌跡與人腿相應關節中心軌跡重合，屬于軌跡生成問題。本文作者根據多軸膝關節的結構特點，考慮小腿擺角范圍，擺動期靈活性的要求，以獲得實際人腿踝關節的運動軌跡為優化目標，采用多變量優化設計方法對四連桿多軸膝關節機構進行優化設計，使其能獲得自然人腿步態，并通過運動仿真得到膝關節瞬心位置，分析驗證其運動仿生性能。

1 四連桿膝關節數學模型

1.1 踝關節理想運動軌跡生成

實驗人小腿長330 mm，踝關節中心點距離腳后跟40 mm，步態周期0.45 ～0.6 s，將大腿看作機架，通過人小腿擺動試驗得到踝關節的真實運動軌跡，如圖2 所示。選定目標點，使其準確再現運動軌跡。

圖2 踝關節真實運動軌跡實驗數據

1.2 數學建模

為使連桿擺動范圍足夠大，考慮設計為曲柄搖桿機構，如圖3 所示，以鉸鏈點A 為坐標原點建立直角坐標系，其中機架AD為固定不動的大腿，其與x軸的夾角為φ0;桿BM 固連在連桿BC 上，作為仿生機構的小腿，點M 即為踝關節中心點。BM 與BC 的夾角固定為λ;AB 為搖桿，CD 為曲柄，當AB 擺動至位置i 時，與機架AD 的夾角為φi。

圖3 四連桿膝關節機構模型

對應連桿上點M 坐標可用下列函數表達為:

其中，λ 由BC 轉向BM，為負值，ρ 為BD，用自變量表達為:

其中，β=∠ADB;γ=∠BCD;α = ∠DBC;δ 為BC與AD 間的夾角，其值可按如下計算:

由以上知，點M 坐標是桿長l1，l2，l3，l4，l5，角度φ0，λ，φi的函數。φi為搖桿擺動至圖3 目標點處對應的搖桿擺角，由此可確定設計變量為:

x= ［x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10… xm］T= ［l1l2l3l4l5φ0λ φi］T，其中x8…x7+m為對應m 個目標點相應搖桿的轉角φi。由上可知，設計變量除了曲柄搖桿的結構尺寸參數外，還有對應各個目標點位置的擺角值，若取5 個目標點，則設計變量為12 個，若選取目標點m 個，則設計變量為7 +m 個。

1.3 目標函數的確定

優化目標為連桿BC 上點M 的實際軌跡與目標軌跡重合。因此，以點M 實際軌跡上若干個點的坐標與理想軌跡上目標點的誤差均方根最小作為優化目標。在實際優化計算中，采用加權方法使目標函數能夠收斂，其函數表達式為:

式中:Sxi，Syi是踝關節理想軌跡的第i 個目標點坐標;Mxi，Myi是連桿BC 上點M 實際軌跡上第i 個點的坐標，ωi為保證收斂的加權值。

1.4 確定約束條件

約束條件為不等式約束，表達式為gi(x)≤0。要成為曲柄搖桿機構，且使CD 桿l3為曲柄，應滿足如下桿長條件:

膝關節應保證擺動期靈活性，要求最小傳動角∠ABC≥30°，最小傳動角出現在曲柄CD 與機架共線的位置，即滿足以下非線性不等式:

根據膝關節尺寸比例限定設計變量邊界條件:

70≤l1≤110;60≤l2≤90;35≤l3≤60;40≤l4≤70;260≤l5≤290;－15≤φ0≤15;－120≤λ≤－90;－90≤φi≤－70，等。

2 優化結果仿真分析［5-6］

2.1 初值的選定

優化過程若在大范圍內盲目搜索較為不易，且只能求出局部最優解，因此為節省優化時間，保證正確的搜索方向，應先找出較為合理的初值。

根據膝關節尺寸比例，初定機架l4長度50 mm。考慮到支撐期的穩定性，初設AD 夾角φ0=0°。采用圖解法取定初值，x = ［78 63 40 50 284 0－119－85－60－43－35－31］。

2.2 優化結果

該問題屬于非線性約束優化問題，設計采用二次規劃算法。二次規劃法利用擬牛頓法 (變尺度法)來近似構造海賽矩陣，確定搜索方向，建立二次規劃子問題進行迭代求解，因此又稱約束變尺度法。

Hessian 矩陣采用擬牛頓法進行迭代，變尺度矩陣的迭代公式采用穩定的BFGS (Broyden-Fletcher-Gold farbshanno)算法。

本次設計借助MATLAB 軟件優化函數fmincon 進行，由于該優化問題含有非線性約束，且希望計算更為準確，采用medium-scale 的SQP 算法。優化語句為:

［x，fval］ = fmincon (@ mygoal，x0，A，b，［］，［］，lb，ub，nonlcon，options);其中，A，b 為公式(8)的矩陣表達式，nonlcon 為公式(9)非線性函數。@mygoal 為目標函數，即為該優化問題的數學模型，采用式(1) ～ (7)表達。

若初值選擇不同可得不同的優化結果，因此優化算法只能求出局部最優解，選取較好的一組優化結果如表1，實際軌跡與目標軌跡誤差為5.65 mm。

表1 四連桿機構結構參數優化結果

為驗證優化后的四連桿膝關節仿生特性的好壞，應給出瞬心軌跡。對四連桿膝關節進行運動分析得其瞬心坐標表達式為:

圖4 為優化結果與目標軌跡的比較，左上方十字軌跡為瞬心軌跡，其曲線形狀為J 型，進一步分析運動特性。

圖4 優化結果實際軌跡與目標軌跡比較

圖5 為運動仿真，顯示出搖桿以均勻擺角擺動時四桿機構運動的動態過程，仍畫出瞬心軌跡。由圖分析得，在運動初始位置即支撐期，其瞬心位置較為靠上，即膝關節伸展時，轉動中心大大高于連桿機械軸的位置。而在膝關節屈曲時，即之后的擺動過程中，瞬心隨膝屈曲急速下降，回到通常膝軸的位置。這樣使得支撐初期小腿長度變化，可減少穩定膝關節所需的髖關節伸展肌力，確保了大腿假肢的支撐期穩定性;而在擺動中期膝軸高度下降至正常位置，保證正常自然的運動姿態，實現完美步態。

圖5 四桿機構運動的動態過程

以上分析充分驗證了所設計的四連桿膝關節機構具有良好的仿生性能，該仿生關節能獲得人腿自然步態。

圖6 為優化后四連桿的初始位置，即支撐期位置，圖中看到瞬心位置位于髖踝線TA 線前方［7－8］，則地面支撐反力將對瞬心產生驅動小腿擺動的力矩，因此支撐期穩定性稍差，在此可采用智能磁流變阻尼器實現自承重自鎖式結構，即在連桿和機架間合適位置處安裝磁流變阻尼器［9］，在支撐期，調整阻尼力為最大，從而實現自鎖承重。在擺動期，可調阻力的磁流變阻尼器與電機共同工作，使其在運動中獲得良好的減振性能。

圖6 優化四連桿初始位置及瞬心位置比較

3 結論

采用二次規劃優化設計方法對四連桿仿生膝關節進行優化，并通過運動仿真對優化四連桿機構進行仿真，得到以下結輪:

(1)所設計四連桿機構在小腿擺動過程中，實際軌跡與目標軌跡吻合度良好，其速度瞬心呈J 型曲線，符合人腿自然步態，充分驗證了四連桿膝關節良好的仿生特性。

(2)所設計四連桿機構在支撐期時速度瞬心位置較為靠前，有利于擺動期靈活性，適合運動靈活性的使用要求，為保證支撐期的穩定性推薦采用加裝智能磁流變阻尼器的自鎖承重式結構。

(3)應進一步對仿生膝關節驅動小腿擺動過程進行速度、加速度分析，考慮阻尼器的安裝，并進一步驗證其動力學性能。

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