六自由度機械臂運動學及工作空間分析

孫野，殷鳳龍，王香麗，陳忠凱，馮曉

(西北核技術研究所，陜西西安 710024)

0 前言

隨著計算機技術的飛速發展，機器人技術已經應用并擴展到機械設備的諸多領域，成為現代生產和高科技研究中的一個不可或缺的組成部分［1］。在具有危險性施工等科研試驗或工程保障工作中，機械臂可以代替人類在現場處理爆炸物、放射性物質等，應用前景十分廣闊［2］。例如在瓦斯爆炸后，如何排除井下的潛在隱患，確保救援人員安全是展開搜救工作的重要任務;在放射性污染物收集機械上需要研制機械臂去準確、可靠的控制放射性廢物送達到人員不便于抵達的位置;這些未來特殊科研任務中需要的機械手臂，包含著現代機械的所有特征，并將發揮著越來越重要的作用。

針對上述需求，作者設計了一種六自由度機械臂結構，并賦予與實際相應的各種屬性。根據D－H方法對其建立數學模型的，進行正向運動學分析，通過計算，驗證了所建立的機械手臂的運動方程的正確性。通過采用蒙特卡洛法分析該機械臂的工作空間，并對機械臂工作域進行求解，給出了機械臂末端的工作空間點云圖。結果表明，機械臂工作空間內部工作點密集且分布均勻，能夠滿足作業要求。在ADAMS中建立好機械臂的虛擬樣機模型，并利用其強大的運動學和動力學分析功能，進行運動仿真分析。利用運動學仿真結果來驗證所建立的機械手臂的運動方程的正確性，通過機械臂運動過程中基座的受力分析，得到了工作過程中的最大受力及其轉角的關系，為下一步軌跡優化及力學研究做好了準備。

1 機械臂模型

1.1 機械臂三維模型

該機械臂采用SolidWorks進行建模，其模型如圖1所示。該機械手臂參照人體手臂的結構，采用開鏈式的關節型結構，分為大臂、小臂、手腕和手爪等結構，以及能夠旋轉的腰關節、肩關節、肘關節、腕關節和手爪關節。機械手臂擁有6個自由度，使手臂末端執行器能實現空間中的任何位姿。

圖1 機械臂模型

1.2 機械臂虛擬樣機模型

將建好的機械臂三維模型導入ADAMS環境中［3－4］，并賦予與實際相應的各種屬性;對導入模型進行約束的定義，在各個關節添加運動副約束及驅動;將基座與地(Ground)用鎖定約束進行連接，在手爪處施加相應的載荷。圖2是在ADAMS中建立的機械臂虛擬樣機模型。

圖2 機械臂虛擬樣機模型

2 機械臂運動學分析

2.1 D-H法及運動學方程

為描述手爪在空間的位置和姿態，可以在每個關節上建立一個坐標系，利用坐標系之間的關系來描述末端執行器的位置。一般采用D-H法(四參數法)［5－7］建立坐標系并推導機械臂的運動方程。

D-H法是1995年由Denavit和Hartenberg提出的一種建立相對位姿的矩陣方法。由an、αn、dn、θn4個參數描述機械臂連桿本身和相鄰連桿之間的關系，從而推導出末端執行器坐標系相對于基坐標系的等價齊次坐標變換矩陣，建立機械臂的運動方程。

an和αn描述連桿本身參數，dn和θn描述相鄰連桿之間的連接關系。相應兩個連桿坐標系變換通式為:

要對機械臂進行分析，首先要建立坐標系。為了更能直觀地表示出機械臂的構型，設定D-H表示法的各個關節變量分別是θ1=0，θ2=0，θ3=0，θ4=0，θ5=90°，θ6=0關節變量。機械臂連桿坐標系如圖3所示。

圖3 機械臂連桿坐標系

由連桿坐標系統確定了連桿的D-H參數如表1所示。

表1 D-H參數

根據連桿坐標系變換通式(1)和表1參數可推導出從機械臂的坐標變換矩陣:

式中:n－1Tn表示從n－1關節開始變換到n關節的變換矩陣。

將參考坐標系設在機械臂的基座上，于是可以從基座開始變換到第一關節，然后到第二關節……，最后到末端的手爪。6R機器臂的基座和手之間的總變換為:

An為坐標系n－1到坐標系n之間的變換矩陣，P為位姿矩陣。其中

式(2)即為六自由度關節型機械臂正運動學模型的一般表達式。

將圖3所示坐標系的關節變量，即θ1=0，θ2=0，θ3=0，θ4=0，θ5=90°，θ6=0代入P，可以求出位姿矢量為:

位置關系與圖2所示位置一致，說明該機械臂運動方程是正確的。

2.2 機械臂運動學仿真

為研究和考核機械臂的工作性能，在ADAMS中建立虛擬樣機模型，擬定活動軌跡，然后根據機械臂的參數和基本設計指標，對機械臂虛擬樣機進行運動仿真。仿真之前要先在機械臂虛擬樣機上添加驅動和測量。分別控制各關節的伸展狀態和擺動角度，具體各個關節角度變化如圖4所示。

圖4 各個關節角度變化圖

在仿真過程中，將腕關節2、3的運動添加電機驅動并設定為0，使得關節在整個仿真過程中處于鎖緊狀態。在機械臂的運動過程中，對建立Marker點進行軌跡描繪，即可完成Marker點運動軌跡的跟蹤和測繪，所得曲線即為機械臂虛擬模型末端執行器的工作軌跡規劃曲線，如圖5所示。

圖5 機械臂工作軌跡曲線

手爪上的標記點設置了x、y、z方向位移的跟蹤測量，圖6所示為機械臂中手爪上標記點的x、y、z方向的位移曲線圖。

圖6 手爪x、y、z方向位移變化仿真圖

從手爪位移變化曲線圖中可以看到，機械手在整個軌跡運動過程中，各方向位移變化都比較平穩，無劇烈震動現象。仿真終止時手爪返回到初始位置，從而使機器臂返回到初始狀態，這也符合設定要求。

為了驗證仿真的可靠性，將基關節所進行的角度變化代入位姿矩陣(3)，通過Matlab計算，得到機械臂運動軌跡，如圖7所示。

圖7 手爪x、y、z方向位移變化計算結果圖

由圖6和圖7比較可以看出，機械臂末端位姿變化軌跡規律相同，幅值大小略有差別但基本相同。通過虛擬模型仿真和運動學計算結果對比，再一次驗證了所建立的位姿矩陣的正確性。

3 機械臂工作空間分析

3.1 六自由度機械臂工作域

機械臂的工作域即機械臂末端執行器可達的空間位置。如果將6自由度機械臂工作域記作W(P)。則關節變量與工作域的映射可表示為:

其中，θ=[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6]T為關節變量;Q為關節空間變量，也稱約束空間。實際應用中，機械臂關節活動范圍主要受結構、自身連桿位置關系、外部安裝條件等的限制。因此，Q不能隨意取值，應考慮實際應用情況確定約束空間，即:

3.2 基于蒙特卡洛法的機械臂工作域求解

在計算機上用蒙特卡洛方法計算多關節機械臂的工作域，其原理是式(4)，實質是對關節變量通過均勻分布賦以一定數量的符合關節變化要求的隨機量，并對各關節變量進行組合，利用機械臂的正向運動學方程式(3)計算出機械臂末端執行器端點的坐標值，這些坐標值構成的集合為機械臂工作域［8－10］。

仿真利用Matlab軟件編程實現。編程算法以機械臂的一個關節變量θ1為例，首先在［0，1］區間生成n個隨機點Rand，然后根據θ1的活動范圍，則有，其中i表示n中第i個隨機值。同理，對機械臂的其他關節變量也賦予數目相同的隨機值。

仿真計算中，六自由度機械臂構型各個參數如下:

圖8 六自由度機械臂末端可達空間

從圖8可以看出，該機械臂幾乎可以到達最大區域內的所有空間。利用蒙特卡洛方法仿真獲得的是機械臂工作域中一系列隨機點的云圖，其與機械臂實際的工作域還存在一定的誤差。這是由于蒙特卡羅方法本身的限制，仿真得到的機械臂工作域只能是逼近實際工作域的近似工作域，逼近程度則取決于隨機選取的各關節變量的組合數量，組合越多算出的坐標值數目也越多，也就越能精確地反映械臂的工作域。

4 機械臂動力學分析

4.1 轉角與位移關系

對機械臂基關節的回轉運動、肩關節、肘關節和手腕擺動關節建立角度(Angle)測量，輸出角度變化曲線和Marker點笛卡爾坐標值變化曲線。通過仿真可建立各個關節運動與Marker點位移變化的關系曲線。如圖9所示。

圖9 關節角度與Marker點位移變化的關系曲線

圖9反映了在仿真時間內任一時刻機械臂末端的位姿與各關節轉角的關系，同時也反映出了機械臂末端相對于基座坐標系移動的位移在3個坐標軸上的投影關系。從圖中可以看出，機械臂末端的位姿與機械臂各個關節存在耦合關系，其中，基關節和肩關節角度變化相比較肘關節和腕關節而言，對機械臂末端位移的變化影響要顯著一些。

4.2 機械臂穩定性及受力

機械臂基座需要固定在其他機構上(比如移動平臺)，因此求解基座在工作過程中所受力與力矩顯得十分重要。當機械臂末端加持重物返回時，末端會增加質量，因此在末端Marker點處添加大小為10 N力，模擬負載質量。

圖10為基座總體受力情況和基座受力在各個坐標軸上的投影。

由圖10可以看出，基座最大受力超過280 N，遠大于末端負載。基座所受力基本在y方向，其他方向受力基本可以忽略不計。

圖10 基座所受力變化曲線

圖11為基座所受力矩與關節角度變化曲線。從圖11可以看出，末端執行器移動速度越快，基座承受的力矩越大。各個關節角速度和末端執行器移動速度對力矩曲線的平穩性影響明顯，且基本成正比。在末端執行器位移方向改變處，基座所受力矩最大。

圖11 基座所受力矩與各個關節角度變化曲線

5 結束語

通過運動學分析，獲得了六自由度機械臂末端執行器的位姿矩陣，并且通過計算和仿真驗證了該位姿矩陣的正確性。

由蒙特卡洛法分析該機械臂的工作空間分析結果可以看出，該機械手工作空間內部工作點分布均勻，可以滿足機械臂的使用需求。蒙特卡洛法具有計算工作量小、精度高、求解速度快的優點，克服了幾何分析法受到自由度限制的缺陷，且能夠準確顯示機械手工作空間的邊界，在當前計算機計算速度越來越快的情況下，具有很好的應用前景。

通過研究可以看出，空間多自由度機械臂的運動學和動力學問題的解析分析比較復雜和困難，而掌握虛擬樣機仿真環境進行仿真分析，可以有效地指導機械臂的設計和控制系統編程。機械臂大臂處在運動鏈起始端，控制靈敏度相對較高;機械臂關節的角速度越快，所需的驅動力矩就越大，力矩曲線的平穩性也將變差;通過機械臂運動過程中基座的受力分析，得到了工作過程中的最大受力及其轉角的關系，為下一步軌跡優化及力學研究做好了準備。

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