數形結合思想在中學數學中的應用研究

葉旭丹

摘 要：文章主要研究了數形結合思想方法在學習數學中的應用，以提高學生數學的能力，培養學生的創新精神。

關鍵詞：數形結合；創新精神；觸類旁通

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2015）33-0073-02

一、引言

可以說數形結合思想貫穿于整個中學數學的學習過程中，在七年級學習的數軸與實數成一一對應關系中，學生初步體會了數形結合的思想方法；在八九年級的反比例及一二次函數的學習及運用函數的思想求方程的解、求不等式的解集中，學生初步理解了數形結合的思想方法；在高中的冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的學習中，學生對它有了進一步的理解；在解析幾何的學習中，讓學生深刻體會其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，反過來用圖形去解決代數中的問題，體現了數形結合的重要數學思想。

二、數形結合思想的含義、表現形式

（1）數學思想的認識是對數學知識本質的認識，是數學中的精髓之一。只有重視培養學生對數學思想的認識，才能學會活用知識，達到促進遷移的效果；思想要以知識為載體，知識要以思想為活化劑，知識要通過思想去理解、去激化、去構建，沒有思想，知識是空洞的，沒有活力的，也是沒有意義的。然而令人遺憾的是，在數學教學過程中，很多教師并沒有對思想方法的重要性引起足夠的重視，還是傳統的教學思想，注重對知識的傳授，而忽視了知識發生過程中數學思想的滲透，導致一些學生對知識無法舉一反三、觸類旁通。由此可見，做好數學思想方法的教學，可以讓學生輕松快樂地學好數學，提高學生數學的能力，更能培養學生的創新精神。中學數學蘊含著很多的數學思想，如數形結合思想、轉換化歸思想、分類討論思想、方程與函數思想、類比聯想思想、集合思想、歸納推理思想、抽象概括思想等，抓住突出這些基本思想，就相當于抓住了中學數學知識的本質和精髓。

（2）“數”與“形”是數學的兩大基本概念，然而它們之間又是相輔相成的。著名數學大師華羅庚先生寫了一首詩： 數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫分離。法國數學家拉格朗日認為，只要代數和幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄；但當兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，就可以快速的步伐走向完善。這里的“數”是指數量關系，“形”是指空間形式。數與形是數學中的兩個最基本的概念。數學的內容和方法都是圍繞對這兩個概念的提煉、演變、發展而展開的。數學科學的發展，形與數常常是結合在一起的，內容上相互滲透的，方法上相互聯系，在一定條件下相互轉化的。數學史表明，早在數學的萌芽時期，人們計算長度、面積、體積，就把數與形聯系在一起了。我國從北宋到元代前期，系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關系表達成代數式之間的代數關系。17世紀上半葉，法國數學家笛卡爾通過引入坐標系，建立了數與形的聯系，創立了解析幾何學。之后，幾何學中許多長期沒有解決的問題，如著名的尺規作圖中的“立方倍積”“化圖為方”“三等分已知角”等三大問題，最終都借助于代數方法得到徹底解決。在我們的解題中，也有過這樣的體會，有些代數題用圖解法助解，常使人頓開茅塞，突破常規思維，使思維進入新的境界。有些平面幾何題，利用數量表示線段或角的大小后，可以巧妙地在紛繁的頭緒中辟出捷徑，收到事半功倍的效果。數形結合還可以使形象思維與抽象思維協同作用，從而使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易。

（3）數形結合的途徑。1）轉化。在遇到抽象的數學問題感到酥手無策時，我們可以嘗試涉及概念的圖像表示，探索數量關系賦予的幾何特征，思考數學問題背后隱含的幾何意義，用直觀形象支撐抽象思維。如|x-a|?b的幾何意義是數軸上兩個數x和a所表示的點之間的距離小于等于b，而當x表示變數時，則表示數軸上到的a點的距離小于或等于b的動點的全體。

【典型例題】：例1：求方程sinx=lgx實解的個數。

分析：由于此題是一個超越方程，若用常規代數解方程的方法，顯然難于解答，但只要把y=sinx和y=lgx的圖像畫在同一坐標系中，原方程解的個數問題轉化成兩個函數圖像交點個數問題，答案一目了然。說明：本題充分利用了“數”背后“形”的特征，采用數形結合的解題策略。由本題可見，涉及超越方程問題時，借助函數圖像是一個常可嘗試的念頭。

2）構造。數形結合的思想方法，除了通過轉化，把符號語言“翻譯”為圖像語言，尋求問題背后的幾何意義外，另一種重要途徑是探求問題隱含的幾何模型，這就是構造。如自然會聯想到平面內（x1，y1），（x2，y2）兩點的距離。

典型例題：例2：已知a，b，cR+，求證：++?（a+b+c）。

證明：如圖，構造邊長分別為（a+b+c），（b+c+a）型正方形，那么AB=，BC=，CD=，得++=AB+BC+CD，在等腰RtΔAPD：AD2=（a+b+c）2+（a+b+c）2，故AD=（a+b+c）。根據AB+BC+CDAD，所以原不等式成立。

例3：已知：α+β+γ=180°，且α，β，γ均為銳角。求證：sinα+sinβ+sinγ>。

證明：根據題設條件可構造銳角三角形ABC，使∠A=α，∠B=β，∠C=γ。

設O是△ABC外心，R為外接圓半徑，由于△ABC為銳角三角形，故點O必在△ABC內，從而a+b+c>3R。

由正弦定理知：a=2Rsinα，b=2Rsinβ，c=2Rsinγ，∴sinα+sinβ+sinγ>。

說明：此題把三角問題轉化為幾何中三角形中的邊角關系問題，使解此問題簡單易行。

3）坐標法。坐標系的建立是中學數學學習的一個轉折點，能使初等數學進入數形結合階段，并在兩個相反方向上進行應用：一方面把幾何問題轉化為代數問題，通過代數結論獲得幾何結論；另一方面也可以把代數問題轉化為幾何問題，通過幾何結論獲得代數結論。

例4：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，則z=y+2x的最大值等于多少？

分析：先根據約束條件畫出可行域，設z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內的點B時，從而得到z最大值即可。

解：先根據約束條件畫出可行域，設z=2x+y，最大值為y軸上的截距的最大值，當直線z=2x+y經過區域內的點B（1，2）時，z最大，最大值為4。故答案為：4。

說明：本題主要通過建立坐標系，運用平面區域來表示二元一次不等式組，通過圖像獲得目標函數的最值問題。

三、結束語

在數學教學中要貫徹數形結合的教學原則，以形數結合的觀點深入專研教材，理解數學中的有關概念、公式和法則，掌握形數結合進行分析問題和解決問題的思想方法。

參考文獻：

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