數學結論在橢圓中的應用探究

徐飛翔

摘 要： 數學在高考中占有重要的地位，考試說明指出要重視發現研究數學對象的本質，抽象概括出一些結論，并用于解決問題或作出新的判斷。學習數學更重要的是數學實踐與運用，橢圓是解析幾何的一個重要內容，但考查中計算量比較煩瑣，要通過一些數學結論來簡化數學思維，提升解題效率。

關鍵詞： 數學結論；橢圓；應用；反思

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2015）27-0066-02

本文就高考中出現比較頻繁的題型，通過掌握一些有規律性的實用結論，解決煩瑣的實際問題，既省時又快捷而且準確無誤，可達到事半功倍的效果。同時可以有效提高數學基本技能，創造性地解決問題，避免題海戰術，為高考贏得時間，贏得勝利。

數學結論1：橢圓上任意一點P到一焦點F的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離a+c和最小距離a-c，即PF∈[a-c，a+c]。

已知橢圓的方程為+=1（a>b>0），右焦點F的坐標為（c，0），求橢圓上一點P到焦點F的距離PF的取值范圍。

解：設點P的坐標為（x0，y0），由橢圓的第二定義可知=e，PF=a-ex0。∵-a≤x0≤a，∵-c≤ex0≤c，∴a-c≤PF≤a+c。所以焦半徑PF的取值范圍是[a-c，a+c]。當然還有其他證法，我們可以利用這個結論，求解與焦半徑取值范圍有關的問題。

例1.已知橢圓+=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），若橢圓上存在一點P使=，求橢圓的離心率e的取值范圍。

解：在△PF1F2中，由正弦定理知=，由=，因此有=，又橢圓的定義知PF1+PF2=2aa，所以PF2=。根據題意可知a-c-1，又橢圓中e<1，故-1

練習：已知F1，F2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是橢圓上的任意一點，則的取值范圍是________。

解：顯然當PF=PF時，=0。由橢圓定義得PF=4-PF1，從而==

-2。而2-2≤PF1≤2+2，所以≤≤，故

-2≤2+2。綜上所述，∈[0，2+2]。點評：本題結合橢圓的定義用PF1表示PF2，從而==

-2。又因為函數y=

-2在區間[2-2，2+2]上單調遞減，從而求出的取值范圍為[0，2+2]。

反思感悟：從例1可以看出，我們在解題時可以先利用有關知識（包括橢圓的定義）表示出PF1或PF2，再利用結論PF∈[a-c，a+c]建立關系，從而解決問題。利用數學結論1解題有條理且思路清晰，因此在解題時能啟發我們認真去提煉問題、研究問題、討論問題，認真體會它們的生成，體會它們的應用給我們解題帶來的方便。

數學結論2：經過橢圓+=1（a>b>0）中心的任意弦的兩端點與橢圓上除這兩個端點外的任意一點P連線的斜率之積為定值-。證明：設經過橢圓中心的弦的兩個端點分別為A、B，由橢圓的對稱性可得A、B關于原點對稱，所以A、B的坐標可以設為A（m，n），B（-m，-n）。點P（x0，y0）是橢圓+=1上任意點，

當橢圓涉及到過中心弦有關的問題時力求活用這個結論，從中找出規律與方法，達到解一題、通一類、帶一串的效果。

例2. （2011江蘇高考改編）在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k。對任意k>0，求證：PA⊥PB。

解：設點P的坐標為（-m，-n）則A（-m，-n），C（m，0）直線PA的斜率為kAP==k。kAB=kAC==，又AB為橢圓的直徑，由結論2知kPB·kAB=-，所以kPB=-。∴kAP·kPB=-1，所以PA⊥PB。點評：本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質，直線的方程與垂直關系的判斷。要證PA⊥PB，只需證直線PB、AB的斜率之積為-1，再利用數學結論2很容易得出結果。因此，有效挖掘數學結論且能合理利用，可以拓展學生的廣度與深度，激發學生的探索發現能力，拓寬學生的數學視野。

練習：（2015屆南京二模改編）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E的方程為+=1，直線l：y=x與橢圓E相交于A、B兩點，C、D是橢圓E上異于A、B兩點，且直線AC、BD相交于點M，直線AD、BC相交于點N。求證：直線MN的斜率為定值。

（x1x2+2x1-2x2-4）兩式相減得，即2（y2-y1）=-（4x2-4x1）即kMN==-1，直線MN的斜率為定值-1。點評：由kMB·kNA=-，kNB·kMA=-，利用斜率公式表示后，兩式相減就可以得出結果。根據已知條件，可以利用數學結論2求解，結合斜率公式整體代入，把問題變得明朗，使解題過程得到了優化，避免了大量煩瑣的計算，能夠快速、簡捷地解決問題。在分析思路時，要注意識別問題的類型，然后用相應的解法作為解題的方向引導整個解題的進行。遇到困難時如果能冷靜思考是否使用一點小技巧，那么常常可以達到一種曲徑通幽的解題效果。

反思：為突破難關，解題時首先要圍繞解題目標選擇適當的方法，設計合理的路徑，然后深入細致地進行運算。數學思想與思維貫穿數學課堂始終，一些題目如果采用常規方法去解決，往往會做得很累很苦。如果我們能記住數學中一些有規律的、簡潔的結論，搞清其數學本質，勢必帶來解題的方便、解題速度的提高，從而讓我們的學生更加靈活從容地去解題。

在探究過程中可以看出，如果用常規方法解題會煩瑣無比，但是巧妙地利用數學結論，就會有意想不到的效果，一些題目本來繁雜的思考計算步驟會變得簡明輕松。數學作為一門藝術，是奧秘無窮的，它不僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更是一種重要的思維模式，我們只有不斷去探究并合理去利用一些結論，才能解決一些實際問題。每一個新知識、每一種新方法必然會有它的用武之地。因此，要改善課堂教學生態，就要充分利用教材中的潛在素材，充分挖掘知識的內涵，讓學生在解題中掌握知識的過程與真諦。

參考文獻：

[1]孫立群.高中數學研究性學習內容的構建與實施[J].數學通訊，2001（11）.

[2]劉琛.培養中學生數學探究能力的研究[D].湖南師范大學，2006.