初中生數學解題的常見錯誤與對策研究

方偉

摘 要：初中生在解決數學問題的過程中，或多或少地會出現各種各樣的錯誤，這些錯誤有規律性和共性。文章針對學生最常見的知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤以及心理性錯誤四個方面展開論述，并在此基礎上提出相應的解決策略。

關鍵詞：初中生；數學解題；錯誤；對策

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2015）16-0062-02

在初中生解決數學問題時，我們發現并不是所有的學生解題的準確率都很高，甚至不出錯誤，相反我們發現有些學生會常常在解題時出現這樣那樣的錯誤。雖然錯誤是各種各樣的，但是只要我們教師在糾正這些錯誤時，認真研究就會發現，學生出現的錯誤有一定的規律性和共性。當教師的要認真地對待學生的解題錯誤，對學生常出現的錯誤問題進行合理分析，然后有序地進行歸類，從而研究對策，借用學生錯題來為下一步的教學做好預設，提高數學教學效果。

一、知識性錯誤與對策

初中數學教學中，學生解題時的知識性錯誤比例相對比較多，主要是由于以下幾方面問題造成的。（1）數學概念模糊、數學性質不清楚，解題時胡亂使用概念和性質。（2）忽視了在做題時要注意公式、定理、法則的使用條件，而這些條件往往正是解題的關鍵所在。（3）沒有注意題目中隱含的條件。（4）解題時，漏掉了條件或是自己任意胡亂添加一些無關的條件。針對這些錯誤，教師要以數學知識本身為出發點，尋找相應對策，幫助學生克服錯誤。

1. 寬容學生的錯誤，讓學生自己學會改錯

當學生解題出現知識性的錯誤時，教師不能動不動就批評、指責學生，這樣會打擊學生的自信心。教師一定要有一顆寬容的心對待學生的解題錯誤，并且要有智慧地提取學生解題中合理的部分，鼓勵學生，讓學生主動接受錯誤，認同教師，然后讓學生自己提出自己的想法和解題思路，對錯題進行新的改正，對解題方法進行有效調整。

比如，某次上課，我讓學生小W做計算題： -。小W的解題方法如下：-=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8.

毫無疑問，學生小W的解題是錯誤的，有些學生看到小W的解題后，有意無意地笑了起來，小W同學顯得很不安。這時，為了緩解課堂尷尬氣氛，我就面向學生問那些笑起來的學生：“那你們認為錯在哪里呢？”學生齊聲回答：“小W把知識搞錯了，應該是利用分式運算解題，他卻把這個題目當作解方程來做了。”小W的數學成績一般，為了讓小W能夠對數學產生興趣，激發小W學習數學的信心，同時也為了讓小W少些尷尬，我就巧妙地利用這個題目來啟示學生。我說：“小W把概念弄混了，他的解題是有問題的。可是小W同學也給我們一個有益的提示，那就是我們能夠采用解方程的方式來做這個題目嗎？”我拋出這個題目后，讓學生分成小組進行討論，很快，學生自己就形成了下面的解法。設-=A，去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2） ，解得：A==. 學生解題時，犯錯誤不要緊，很多時候這些錯誤正是教師可以用來指導學生進行探究學習的最好機會。首先，要讓學生發現錯誤，然后把錯誤的答案和解題過程與正確的進行對比研究。其次，教師要積極利用學生錯誤解題中的有效與合理的成分進行教學，引導學生查錯、談錯、析錯、評錯、改錯。鼓勵學生合作學習，接近成功。再次，數學課堂上，教師要善于利用學生的錯誤，尋根溯源，化錯誤為有效的教學資源，使教學得到延伸與拓展，引導學生一步一步得出新的結論和新的解題思路與方法。

2. 暴露錯誤過程，讓學生弄清錯誤根源

當學生解題后出現錯誤，教師有時候應該直接地告訴學生錯在哪里。但是不能直接地把正確的解題思路與方法寫給學生看，而是讓學生自己去發現、去解決問題，鍛煉學生動腦、動手練習的好習慣。只有當學生親自操作了，他們才能對數學知識的概念、原理以及公理有深刻的理解。

比如：我叫兩個學生上黑板證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這個命題。這兩個學生都能準確地畫出圖形，寫出解題已知與求證：在△ABC中，∠B=∠C. 求證：AB=AC. 這兩個學生都對圖形作了相應的輔助線，他們也對自己的輔助線進行了解題描述。學生A：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為D。”學生B：“作△ABC的角平分線AD。”當我看到這兩個同學解題的輔助線描述后，說：“學生B的輔助線對，學生A的輔助線需要修改。”然后我向學生拋出兩個問題，讓全體學生思考，弄清楚這個題目的概念。（1）請說一說學生A的輔助線作法為什么是錯誤的。（2）按照學生B的輔助線來解題，完成證明過程。

3. 設置錯誤題目的同類題，強化學生解題訓練

針對學生錯題的知識點，教師可以利用網絡檢索同類題型，盡可能多地找到一些相關知識點的同類題目。教師在講解錯題的基礎上，讓學生重點參考同類題反復訓練。經過一段時間的同類題的訓練，能夠讓學生加深對知識點的掌握和鞏固，從認識上、行動上減少甚至消滅此類題目的錯誤。教師可以讓學生自己做個表格，對自己經常出現錯誤的同類題目進行整理、歸類。比如：錯題出處（頁碼、題號）、所屬知識點（哪一章哪一節）、錯誤原因（表面原因、深層原因）、正確解法、規律總結、尋找同類題目，同時，注明下次復習此題的時間（第2天、第10天、第30天……）。

4. 建立錯題檔案，開展糾錯交流

教師可以指導學生建立錯題檔案，把錯題歸類。利用數學實踐活動課，教師讓學生開展錯題交流，進行糾錯，讓學生學會反思錯題的原因，學會正確地解題方法。這種檔案的建立與糾錯活動的開展，有利于讓學生提高自己診斷能力，從而發展學生的數學思維。

二、邏輯性錯誤與對策

初中生對于數學邏輯還是不能很好地把握和理解，他們在解決數學問題的時候，經常不知不覺地違反了數學邏輯，在數學推理和數學論證上面犯錯誤，從而導致解題出現錯誤。這類錯誤，突出表現在以下幾個方面：論據虛假、無法正確推出結論、偷換概念、論證時反復循環論證。面對產生這些邏輯性錯誤的原因，教師要在學生解題過程中，實時地指導學生把握好推理、論證的邏輯規則，避免由于盲目而出現解題錯誤。

例如：已知m為有理數，問k為何值時方程的根是有理數：x2-2（3m+1）x+（8m2+2m-3k）=0. 錯解：要使方程的根是有理數，它的判別式Δ=[2（3m+1）]2-4（8m2+2m-3k）=4（m2+4m+1+3k）必須是完全平方式，也就是必須使關于m的方程有兩個相等的實根。于是，Δ=42-4（1+3k）=12（1-k）=0，∴k=1。這個解題方法是把“有理數的平方”理解成了“完全平方式”，存在明顯的偷換概念問題，完全違背了邏輯思維的同一律要求。而事實上，只要有Δ=n2（n為有理數），就可以得出：k=（n2-4m2-16m-4）.

三、策略性錯誤與對策

學生在解題時，由于使用的策略不當，在解題過程中就會出現錯誤方向，或是解題思路出現短路情況，也有可能不當的策略讓解題過程更加費時間，難度提高。這時，若解題時間有限，也導致問題無法得到解決。

例如：有甲、乙、丙三種物品，若甲買3件，乙買7件，丙買1件，共要3.15元；若甲買4件，乙買10件，丙買1件，共要4.20元。如果甲、乙、丙各購一件共需多少元？很多學生沒有解出這個題目的原因，主要是他們在設上面出了問題：設甲、乙、丙購一件各需x元、y元、z元，得：3x+7y+z=3.15

4x+10y+z=4.20. 很明顯，這個題目學生想單獨設x、y、z來解題，結果學生發現方程只有兩個，而未知數卻有三個，條件不滿足，根據題目又無法列出第三個方程來，最后學生只好放棄這個題目。這里犯的一個解題錯誤就是在策略上沒有考慮到題目的整體性，片面地去思考，結果在方向上走錯路。其實，只要我們把x+y+z看成一個整體，就能得到這樣的方程： 2（x+3y）+（x+y+z）=3.15

3（x+3y）+（x+y+z）=4.20. 由此看來，解題策略對了，題目就能迎刃而解。

有時候我們發現，學生不會解題，不一定就是因為他們數學知識不夠，而可能是他們的解題策略有問題，往往簡單的問題搞成復雜化。我們知道，數學教學有個非常重要的任務就是讓學生選擇解題策略。首先是怎么想，然后是怎么做，最后是什么結論。這三個層面都需要學生進行思維活動，而思維活動就是解題策略的核心。只有正確的思維活動，才能得到正確的解題結論。

四、心理性錯誤與對策

有很多學生具備良好的數學基礎知識，也具備了一些解題技巧和策略，但是他們在解題時可能還會由于某些心理原因，造成解題錯誤。比如：心煩氣躁、丟三落四、郁郁寡歡等等心理。

例如：下面各行數字中，哪一行既含有某個整數的平方，又含有另一個整數的立方（ ）：A.7、2、5、4、6，B.3、8、6、9、7，C.5、4、3、8、2，D.9、5、7、3、6，E.5、6、3、7、4。 錯解：在所出現的數字2、3、4、5、6、7、8、9中，只有8是整數的立方，4、9是整數的平方，故不含8的A、D、E可以排除。又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”“立方”都是2，與“含有某個整數的平方，又含有另一個整數的立方”不符，故選B。事實上，-2的平方也等于4，所以，選擇B、C都成立。這種錯誤，是由于心理原因造成的丟三落四所致。當然，出現這種心理的學生，大部分是一些學習有些吃力的學生或者是一些后進生。所以，特別需要教師根據學生的學習情況區別對待，給每個學生都提供一些獲取成功體驗的機會。

五、結束語

在我們的數學教學中，教師一定要正確地處理好學生的解題錯誤。對學生解題錯誤，不能簡單地以結論來評判對與錯，而應該追溯數學解題的全過程。對學生解題錯誤中存在的知識問題、策略問題、邏輯問題以及心理問題進行追蹤，誘發、啟迪學生選擇正確的解題方法，提高學生的數學能力，促進學生成長。

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