摘 要：概念同化是概念獲得的基本方式，引導學生關注所學前后知識的整體性與系統性有利于學生突破學習中的障礙與瓶頸，從已有認知中尋找解決認知沖突的突破口，在經歷概念的“再發現與再發明”過程中形成知識架構的體系，在應用與實踐中完善知識的整體架構，本文強調從整體與系統高度進行數學概念教學.

關鍵詞：整體；系統；概念；再發現與再發明

“數學概念是數學理論的核心和精華，理解和掌握數學概念是提高教學質量和教學水平的關鍵”“理解基本數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想方法，以及它們在后繼學習中的作用”是數學課堂教學的重要目標之一. 奧蘇伯爾認為概念同化是概念獲得的最基本方式，概念同化就是教師在教學中利用學生已有的知識經驗，以定義的方式直接提出概念，并揭示其本質屬性，由學生主動地與原有認知結構中的有關概念相聯系去學習和掌握新概念的方式. 從而新概念與學生原認知結構中的相關概念就形成這一部分知識的前后邏輯關系，它們必然是一個有機的整體. 但學生的學習是循序漸進、逐步深入的，學生對數學概念的學習與掌握是根據學生的認知水平逐個有梯度進行的，知識結構的整體性與學習時間間隔的離散性是一對矛盾，如何處理好這種矛盾，是數學課堂教學要關注的一個核心問題. 本文以“數系的擴充”一課為例，談談從整體與系統的高度實現概念同化以突破概念生成瓶頸的一些做法，敬請批評指正.

[?] 創設“數學自身需求”的問題情境，引發認知沖突

有生機的數學課堂往往源于“問題”. 創設一個“客觀現實需求”或“數學自身需求”的問題情境，給學生提供具體的可感知、可挑戰的或能引發學生認知上的沖突的數學活動素材，激活并驅動學生探究與解決問題的沖動，以促進學生主動積極的思考，讓學生在已有認知結構中尋找關聯知識與關聯思維，并通過自己的思維活動獲得新的知識.

情景問題：1545年，意大利數學家卡爾丹（G.Cardano，1501—1576）在《重要的藝術》一書中提出了一個問題：“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40.” 這么一個簡單的看似是小學的問題卻把這位大數學家難倒了，你覺得你能解嗎？先請同學們試試.

不妨設其中一數為x，則另一數為10-x，得到方程x（10-x）=40，即x2-10x+40=0，可是在我們的認知中都知道這個方程無解. 很多時候我們碰到這種無實數解的方程就扔下不理它了，但當年的卡爾丹卻不這么想：這么漂亮的一個方程怎么就無解呢？難道真的就找不到滿足它的數嗎？是不是還存在我們還沒認知到的數滿足它呢？他認為這種數應該是存在的，并且他認為這兩個數就是“5+”和“5-”. 因為這兩個數能滿足問題的要求：5++5-=10，（5+）×（5-）=25-（-15）=40.

你認可卡爾丹上述的兩個想法（一是認為存在這樣的數，二是認為這種數可寫成上述形式）嗎？

設計意圖：真實的歷史故事首先能引起學生極大的探究興趣，讓學生自己嘗試無解的情況下，給出卡爾丹的答案，這個怪異的數會與學生已有認知結構產生強烈的認知沖突. 學生能馬上指出這個結果形式與原有的認知有相悖之處：表示的是一個非負數的算術根，負數是沒有算術根的，也就是一個數的平方不可能是負數.

[?] 重溫“數系發展”的整體歷程，從已有認知中尋找突破口

面對這樣的認知沖突，我們的解決之道在哪呢？引導學生學會運用數學的思維方式思考、分析新問題是培養學生數學學習能力的首要環節，這就是學生的“問題解決能力”的培養，也就是培養學生運用已學到的知識與方法用到新的和不熟悉的問題情境中的能力，數學課堂教學的一個重要目的就在于培養學生解決問題的能力. “以前見過類似問題嗎？當時我們用了什么方法解決問題的？”

讓我們一起回憶一下：我們學了哪些數？這些數集是一次性學會的嗎？我們經歷了怎樣的過程？

數的概念的出現與發展主要源于兩個需求：一是社會生活的需求，二是數學自身發展的需求.

從社會生活需求的角度，首先為了生活中計數的需要，出現了自然數集N；然后為了刻畫具有相反意義的量，我們發明了負數，數集擴充到了整數集Z；又為了測量、分配等需要，發明了分數，數集就擴充到了有理數集Q；再為了度量正方形等圖形的對角線長，發明了無理數，數集就擴充到了實數集R.

從數學自身發展需求的角度，主要是為了實現方程解的問題，在自然數集范圍內解方程x+2=0是無解的，為確保方程有解就需要有負數；在整數集范圍內解方程3x-2=0無解，為使方程有解就需要有分數；在有理數集范圍內解方程x2-2=0無解，為使方程有解就發明了無理數.

同時在數的每一次擴充過程中，還需確保運算律在新數與舊數間的融通，也就是在原來范圍內成立的規律在更大范圍內仍然成立.

通過對數的整體發展歷程的回顧我們可以發現，從數學內部發展的需要來看，每一次認知沖突的出現就帶來了一次新的數系擴充. 你能結合這一整體發展歷程總結一下數系擴充需要遵循哪些原則嗎？面對卡爾丹的解釋與我們的認知上的沖突，你有什么想法與思考？是不是我們應該發明一種新數？數系是否再一次面臨著擴充的必要？

設計意圖：通過對實數系發展的整體回顧，在師生的討論與分析中，從整體與全局的高度對數系擴充的緣由與歷程以及需要確保的原則有了清晰的認識與把握，并自然引申到前面的認識沖突上，激發學生積極思考尋求解決沖突的方法，學生在思想上對是否應發明一種新數、數系有必要再次進行擴充就有了高度的統一，在這種氛圍下，新數就如雨后春筍，即將破土而出.

[?] 追溯前人曾經的足跡，經歷概念的“再發現與再發明”

經過上述師生共同對數的起源與發展歷程的整體性回顧，學生就能發現數系的每一次擴充都有社會生活與生產的需要或數學自身發展的需要，自然地認知并猜想到伴隨著新的認知沖突的出現數系就有必要進行進一步的擴充. 剩下的問題就是如何發明一個符合要求的新數了.

面對卡爾丹的解釋與我們認知上的沖突，解決問題的途徑就自然浮現：發明一種新的數，使這類數能成為像x2-10x+40=0這類判別式小于0的方程的根. 當學生有了這種擴充的思路后，老師及時作適當的引導：數學上把這類數叫做虛數，實數集擴充了虛數以后得到的數集叫復數集，就像負數用“-m”表示，分數用“”表示，無理數用“”表示一樣，虛數也必須發明一種形式來表示.

用什么形式（符號）表示虛數呢？數學的思維方式告訴我們：凡事從簡單特殊入手. 我們首先感知到的虛數是負數開平方，而最簡單的負數是-1，于是我們只要發明一個數使它的平方等于-1，其他負數的開方結果就都可以用這個符號來表示了. 數學上把這個數記作“i”，即“i2=-1”. 伴隨著新數“i”的出現，它與其他實數及自身就會有運算產生，這就需要對運算律作規范. 根據經驗，我們希望新的數與原有數的家庭是相融相通的，于是就有了以下的規定：

①i2=-1；

②實數可以與其進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立.

進而引導學生探究，新數“i”與實數a進行四則運算后，可能得到哪些形式的數？哪些數的形式是新的，需要加入到新數系中的？所有新數與舊數融通后的一般形式是什么樣的，即實數集經擴充后的新數集中的數有怎樣的形式？

這就得到了復數的定義與分類：

形如a+bi（a，b∈R）的數稱為復數，通常用字母z表示，其中a與b叫復數的實部和虛部. 全體復數組成的集合叫復數集，用C表示，C={a+bi

a，b∈R}.

設計意圖：沿著數系發展與擴充的軌跡，學生在研討中從整體與系統的高度理解并解決認知沖突，并在追溯前人足跡的過程中經歷一次虛數單位“i”的“再發明”，在師生共同研討中“再創造”出一般形式的復數a+bi（a，b∈R），雖然這其中有前人的痕跡在，但這種親歷的“再發明”與“再建構”會給學生留下深刻的印記.

[?] 完善知識的整體架構，并在應用中形成融會貫通的認知體系

通過上述的擴充，數系就形成了一個完整的架構體系，讓學生完善上述數系發展結構圖，并嘗試畫出數的“家族”成員關系圖（如圖2）：

例1 當實數m分別取什么值時，復數z=m+1+（m-1）i是：

（1） 實數？（2）虛數？（3）純虛數？

例2 已知復數z1=（x+y）+（x-2y）i，z2=（2x-5）+（3x+y）i，問：z1，z2會相等嗎？若z1=z2，求x，y的值.

兩個待定的復數會相等嗎？復數有相等的概念嗎？你認為合理的情況下復數相等需要什么條件？師生共同研討從而歸納得到：

復數相等的充要條件：如果兩個復數的實部與虛部分別相等，則稱兩個復數相等，即a+bi=c+di?a=c，

b=d（a，b，c，d∈R）.

課后思考問題：兩個復數有相等關系，你認為兩個復數有大小關系嗎？

設計意圖：例1是為了進一步鞏固理解什么是實數，什么是虛數，什么是純虛數. 例2設計成一個探索性問題，讓學生自己感知、領悟復數能不能相等、什么條件下相等的合理性，避免把復數相等作為知識點強加于學生. 通過對例2的解答，學生可感知到所使用的充要條件的本質是把復數問題轉化為實數問題，體現了數學的化歸的思想方法.留的思考問題給學生一點拓展思維的空間，也為后續學習幾何意義埋下伏筆.

深入探究：下列結論從實數集擴充到復數集是否仍然成立？

①若a∈R，則a2≥0.若z∈C，則z2≥0.

②若a，b∈R，a2+b2=0，則a=b=0. 若z1，z2∈C，z+z=0，則z1=z2=0.

③實數可以用數軸上的點來表示；復數可以用數軸上的點來表示.

設計意圖：本課的第一環節回顧展示了從實數擴充到復數的過程，本探究回到本節課的起點，進一步說明了從實數集擴充到復數集后，解決了認知上的沖突，證實了擴充的合理性，并為下節課（研究復數的幾何意義與復數運算）打下基礎.

本節課力圖從數的源頭上去感知、領悟，從數的整體發展上去把握如滔滔江水般的數究竟是從何而來，每一次支流的匯入都有它的理由與追求，“欲窮千里目，更上一層樓”，只有站于高處，才能看清歷史的“滔滔江水從哪里來，奔何方去”，才能看清它是如何突破一道道崇山的阻隔、一個個關隘的阻擋. 其實對其他數學知識的學習何嘗不是如此，我們只有站在知識的發生與發展的整體與系統的高度觀察把握知識族群的結構形態，才能看清楚它的完整架構；才能更好地領會知識的發生起源點在哪，知識發展的經絡走向如何；才能在當下及以后的學習中知道如何快速而準確地找到方向；才能在遇到知識發展的瓶頸時能找到突破的方法與途徑，這就是本文強調從整體與系統高度進行教學的目的所在.