小學數學教學應注重數學思想的系統性建構

摘 " 要：小學數學教學中，教師往往對下行學習，即題型、知識點、經驗積累比較重視，而對上行學習，即理論、思想、方法、概念重視不夠。為了彌補小學數學在上行學習上的不足，更好地實現新課標所提出的掌握數學思想這一目標，科學地建構小學數學思想系統是必要的。

關鍵詞：小學數學思想;系統性;結構化

中圖分類號：G623.5 " "文獻標識碼：A " "文章編號：1009-010X（2015）02-0053-13

問題的提出

長久以來在小學數學界一直認為數學有兩條線——數學知識是一條明線，數學思想與方法是一條暗線。這種認識是片面性的、不科學的。

眾所周知，人的學習分兩種，一種是上行的學習，如理論、思想、方法、概念的學習，是從高處入手，往往具有系統性的特征。一種是下行學習，如具體的題型、知識點、經驗的積累與感悟。這兩種學習相輔相成，缺一不可。

為了改變這一片面認識，以事實證明數學思想可學、可講，我們課題組進行了深入的研究，現就這一研究的一些核心概念進行解釋說明。

一、什么是小學數學思想系統及如何建構

所謂系統是由相互聯系、相互依賴、相互制約和相互作用的若干要素組成的一個具有整體功能和綜合行為的統一體。它具備四性：整體性、層次性、結構性和開放性。小學數學思想系統是建立在小學數學課程基礎上，以小學數學中的數學思想做系統要素，以反映各要素之間在數學上的邏輯關系為目的的系統。目前現狀：各種思想從整體看沒有產生對數學知識有力支持的效果;各種思想之間的關系不明確，更談不上優化，這使得結構不穩定;各種思想之間因果、主次、遞進關系不明確，這使得層次不清晰;對內能行之有效，對外能遷移變通，就現狀看還不理想。從小學數學思想的現狀來看是不具備系統性特征的。

（一）數學思想的來源

數學思想主要有四個來源： ①來自具體而典型的數學知識，如不變求變、假設、還原、對消; ②來自認知規律，如比較、分解與組合、數形結合、轉化; ③來自思維科學，如演繹、歸納; ④來自對課程標準的分析與研究，如等分與比較。

（二）數學思想的選擇

結合教學實踐、學生具體所學及學生的接受力，確定必須要系統學習的數學思想有十八個： 集合、分解與組合、 比較 、分類討論、等分、湊、刨、對應、對消、還原、方程、不變求變、假設、極限、數形結合、轉化、建模、統計與概率; 處于隨機滲透位置（可講也可不講）的數學思想有三個：整體、符號、變求不變;提也不要提的數學思想三個：演繹、歸納、函數。

（三）數學思想的地位

從關系圖中可以看出基本思想是其它三基的出發點與歸宿，位于最上層。

（四）關于在哪個學段教學的思考

建議在六年級后半年進行專項系統學習。

（五）處在最核位置的數學思想是比較、等分與對應三個數學思想

“等分”是有序平均分的簡稱。對量進行有序等分產生了單位、進率，以及在此之上的更為抽象的數位、位數、計數單位。這使得我們可以對一個事物的某一屬性進行定量的刻畫！例如，我們對事物的不同屬性（大小、位置、質量、硬度、亮度、速度、濕度……）進行量上的有序等分（當然在小學只強調五方面的等分，長度、面積、體積、重量、時間），我們就可以實現對事物多維度的定量刻畫。這也就解釋了，為什么在小學把數位、位數、計數單位、計量單位、運算、換算做為基本知識與技能的理由是，小學生必須具有基本的對世界進行定量刻畫的能力！而有序等分是思想支撐！

把“比較”理解成同中異、異中同就太淺了，更深的認識應當歸納到對研究對象的類化、透化、通化上。對整個研究對象根據一定標準，對其進行有序劃分和組織（類化）;再對每類內部的特點、規律進行歸納概括（透化）;最后對各類進行開放思考（通化）。實現了“三化”，也就實現了對研究對象的真正掌握。三化以同、異分析為方法，而同、異是比較出來的，由此可見，“比較”是實現“定性把握”的思想基礎。

（六）數學思想是一個相對互補的和諧統一體

“等分”與“比較”一個“定量”，一個“定性”，相對互補對立統一。對應思想分為三種基本方式：收斂、發散、跳躍。收斂式對應強調集中性和批處理，演繹證明、變中不變、異中同、化歸、建構模型、極限都屬此范疇;發散式對應強調想象力和創造性，歸納發現、不變中變、同中異、分類討論、統計與概率都屬此范疇;跳躍式對應強調跨越式聯系，如，類比思想、等量代換。

在數形結合中，數與形是相輔相成、對立統一的關系，同時數形結合與對消思想在優化題目方面是相對互補、對立統一的關系，對消是用對等消去實現優化，數形結合是用數形轉換，實現優化。

方程是四個數學思想的統一。建立一個含有未知數的等式體現的是建模思想;解方程的過程是將方程等價歸結為x=a，是化歸思想;方程中的x具有雙重身份，作為已知數參與運算，作為未知數被分離，而分離體現的數學思想是對消與還原。

轉化思想是數學解決問題的一般思想方法。包含化歸、類比、等量代換、數形結合四個數學思想?；瘹w重在歸，具有收斂性、概括性;等量代換（跳躍式對應），往往應用于具體問題中，如簡算、曹沖稱象、阿基米德定律以及在求不規則體積時用到的V升=V降=V排;數學建模其本質思想還是化歸，是將具有相同或類似數量關系但又情境不同的問題，轉化歸結為同一模型來批處理的數學思想，建模是數學應用的一般思想方法;類比具有跳躍式轉化特點，屬合情推理;而數形結合是實現各種轉化最基本的思想方法。他們都歸屬于轉化思想，是轉化在不同層面的反映。

（七）數學思想系統是一個開放的系統

1.數學知識與數學思想方法

“沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包含數學思想方法的數學知識。”“有了數學思想方法，數學知識就不再成為孤立、零散的東西，數學方法也就不再是死板的教條?！薄案鶕覀儗祵W思想的理解能夠得出，數學思想含于數學內容和方法之中，而又高于數學內容和方法。它是聯系數學知識的紐帶，對于具體的數學知識具有巨大的凝聚力，起著結晶的作用?！?/p>

2.數學思想與方法

“方法是指人們為了達到某種目的而采取的手段、途徑或行為規則，具有程序性、規則性、可操作性、模式性等特征。方法因問題而產生，因能解決問題而存在。”“數學思想和數學方法既有區別，又有密切聯系。數學思想的理論和抽象程度高一些，而數學方法的現實性更強一些。人們實現數學思想往往要靠一定的數學方法;而人們選擇數學方法，又要以一定的數學思想為依據。因此，二者是有密切聯系的。我們把二者合稱為數學思想方法?！毙W數學內容簡單，所蘊涵的思想和方法很難截然分開，在一定條件下是可以互相轉換。

3.同一個知識點的多思想、主次性

對于同一個知識點，會包含多個數學思想，其中總有一個思想在這個知識點起重要的原理作用，其它思想都以它為主，為它所用。比如，方程包含了化歸、建模、還原、對消四個思想，而建模是方程思想的核心。

二、等分與比較思想的具體內涵是什么

“等分”、“比較”是處于數學最基礎位置的兩個數學思想，“等分”實現了對客觀世界的定量刻畫，“比較”實現了對客觀世界的定性把握。

（一）等分

對數、量進行有序、有級的等分，并規定單位及相應的換算關系，以實現對數或量進行簡單、精確描述與正確、高效運算的思想。

1.從計量單位上看等分

不同級別的長度單位對長度進行了有序、有級的等分，實現了人們對長度的精確描述;不同級別的質量單位對質量進行有序、有級的等分，實現了人們對質量大小的精確描述;不同級別的面積單位對面積進行有序、有級的等分，實現了人們對面積大小的精確描述;年、月、日、時、分、秒對時間進行有序、有級的等分，實現了人們對時間的精確描述。

我們所使用的各種測量器，以不同的形式和用途反映了同樣的思想——等分。

2.從數與運算上看等分

（1）整數的計數單位是以1為最小起點的不對稱十進制等分;小數的計數單位是以1為中心點的對稱十進制等分;分數的計數單位是以1為標準的自由等分。

（2）數位表直觀地體現了“等分”的有序、有級性

（3）等分在運算上的體現

數位、計數單位、進率是運算的核心概念，它們之間的關系體現在位與值上，而位與值體現的正是“等分”的序與級，由此可見運算以等分思想為本。

等分是數學實現對客觀世界進行定量刻畫的必由之路。

（二）比較

在唯物主義辯證法中定義規律是指事物內部各要素之間及事物與事物之間的固有聯系。反映在數學思想上就是以“三化”為核心概念的比較思想?！邦惢笔且毣⒚鞔_要研究的數學事實;“透化”是對各類明確的數學事實，分別獨立研究其內部各要素之間的規律;“通化”是對類與類之間關系，進行開放研究。實現了“三化”，也就實現了對研究對象性（質、規律）的把握。三化以同異分析為方法，而同異是比較出來的。

“比較”是數學實現對客觀世界進行定性把握的必由之路。

例如：

角的分類也是這樣：

類化——角按大小分為銳角、直角、鈍角、平角、周角。

透化——銳角是小于90度大于0度的角;鈍角是大于90度小于180度的角;直角是等于90度的角;平角是等于180度的角;周角是等于360度的角。

通化——比直角小的是銳角;比一個直角大，比兩個直角小的是鈍角;正好是兩個直角的是平角;正好是四個直角的是周角。

小知識點如此，大知識塊也是這樣：

引用吳正憲老師所做的，“比的基本性質及應用”（關系圖），實現了“三化”合一。

張奠宙教授在《思想改變課堂》（作者唐彩斌、上海教育出版社34頁）說：“做任何事，都要對處理的對象分類，分別研究，才能深入下去，獲得最佳效果……”。正是比較思想的實踐意義。

集合、比較、等分關系圖（其它思想是這三個思想的衍生和具體化）

“等分”和“比較”實現了人類對客觀世界的定量刻畫與定性把握。在試用教材的教學實踐中，這兩個思想，學生可以接受，并能在一定范圍內舉一反三，觸類旁通，這使我們倍感欣慰！因為只有學生認可，研究才有繼續下去的必要。

三、對應與轉化是實現對問題透化與通化的基本思想

（一）對應思想

對應是聯系的別稱，有三種方式：收斂、發散、跳躍。對應是實現透化、通化問題的核心思想。

收斂式對應強調集中性和批處理，演繹證明、變中不變、異中同、化歸、建構模型、極限都屬于收斂式對應范疇;發散式對應強調想象力和創造性，歸納發現、不變中變、同中異、分類討論、統計與概率都屬于發散式對應范疇;跳躍式對應強調跳躍式聯系，如類比、等量代換。

1.收斂式對應

（1）數學中的化歸思想

例如：多邊形面積公式可以收斂歸納到長方形或梯形的面積公式中。

（2）解分數的過程，其實質是將問題的解決歸納（收斂）到量率對應上

【例1】 海洋化肥廠計劃在第二季度生產一批化肥，已知四月份完成了總數的 1/3 多 50 噸，五月份完成了總數的 2/5 少 70 噸，還有 420 噸沒有完成。問二季度原計劃生產多少噸化肥？

分析：為了實現量率對應，需要對條件進行假設。假設四月份正好完成了總數的 1/3，剩下（420+50）噸。五月份也正好完成總數的 2/5，剩下（420+50-70）噸，這樣一來，問題就變成了當四月份完成總數的 1/3，五月份完成總數的 2/5，還剩下（420+50-70）噸，很容易實現，量率對應。

【例2】六（一）班女生占總人數的9/20，后來又轉來6 名女生，這時女生占總人數的5/7。求男生有多少人？

分析：女生人數發生了變化，但男生人數沒有變動，所以就以男生人數做標準，看女生人數在轉來以前與轉來以后占男生的分率差是多少，這個率差正好就是轉來6名女生所對應的分率（15 / 11 - 9 / 11）， 量率對應，問題解決。

（延伸）以此想開去，所有應用題的解決最終都必須歸納（收斂）到數量關系上。

【例3】用每千克8.4元的奶糖2千克，每千克5.6元的水果糖3千克;每千克6.9元的酥糖4千克;混合成什錦糖。這種什錦糖每千克的價格是多少元？

分析：有些同學列式為：（8.4+5.6+6.9）÷3，把單價=總價÷數量的對應關系用成了單價=單價和÷單價數了，錯在對應關系上，應列式：（8.4×2+5.6×3+6.9×4）÷（2+3+4）。

（3）極限思想也屬收斂式對應

“極限（Limit）一詞從詞源上講，含義是表示一個不可超越的限度，含有限制的意思。數學中的“極限”在一定方面也有這個意思，但不完全是這個意思，更廣地，如有“無窮逼近”之意。在數學領域“極限”是有嚴格定義的，用以描述量在一定的變化過程中的終極狀態?！保ㄒ浴蹲鰹榻逃蝿盏臄祵W思想與方法》 顧泠沅/主編 邵光華/著179頁。）極限是一種動收于靜的收斂，體現運動與靜止的辯證關系。

2.發散式對應

下面是吳正憲老師的關于“數的運算”這部分教學內容的“知識樹”：

我們可以感受到發散式對應細化了要研究的問題。

從上往下看是收斂式對應，從下往上看是發散式對應。收斂與發散相輔相成，是數學認知世界的基本思想。比如“一題多解”和“算法多樣化”，在“求多”，“求樣兒”時，是發散式對應，而多中選優時，則是收斂式對應。它們統一在一個完整的學習過程中。

3.跳躍式對應

跳躍式對應強調多個領域的跳躍式聯系，如，類比思想、等量代換。

等量代換強調在代換上做文章，往往只應用于具體問題中，如簡算、曹沖稱象、阿基米德定律以及在求不規則物體體積時用到的V升=V降=V排。

類比更具跳躍性（如下圖，六類問題情境不同，但都是包含除的數量關系）。

總之，在小學一提對應思想，大家往往想到的是數量關系，甚至局限在“量率對應”。這樣想就太窄了。應當讓學生認識到對應有三種基本方式，感受到對應是實現透化、通化問題的核心思想才好。

（二）轉化思想

轉化是數學解題的一般思想方法，包含化歸、類比、等量代換、數形結合四種基本形式。

在三國演義中諸葛亮變造箭為借箭，智勝周瑜;曹沖以石代象，巧稱象重，這都是精彩的轉化應用。在數學中轉化更是無處不在，無處不用的思想。

1.化歸轉化

例1.“新生”歸于“舊熟”

例2.“繁難”歸于“簡易”

圓柱的表面積公式可以整合為S=c（h+r）

2.類比轉化

類比強調轉化的跳躍性。在吳老師畫的“比的基本性質及應用”中，充分體現了類比轉化的思想。

（引自《吳正憲的兒童數學教育》北京師范大學出版社）

3.等量代換思想

代換以相等為條件，具有跳躍性，往往應用于具體問題中，如簡算、曹沖稱象、阿基米德定律、求不規則物體體積時用到的V升=V降=V排。但并不絕對，我們也可以用等量代換思想建構重要的數學模型。

例如，可以用“代換法”，給小學生創建一個他們可以理解的等差數列求和公式，在3+5+7+9+11+13+15+17+19+21的式子中，3+21=5+19=7+17=9+15=11+13，于是和可以用乘法代換，用（最大+最?。┏艘詫稻托?，對數可以用個數除以2代換，個數看成點數后，又可以用間隔數加1代換，間隔數又可用包含除來代換（21-3）÷（5-3）。這樣經過多次代換，就得到一個學生可以理解的、具有應用一般性的等差數列求和公式：總和=（最大+最?。羀（最大-最小）÷等差+1]÷2。

需要注意的是不能把等量代換簡單地理解成A=B、B=C則A=C。

判斷題：

4100÷800=41÷8=5------1 " " " " （ × ）

分析：單看41÷8=5------1是對的，但從整體上看未必。4100÷800換算成41÷8，商是不變，但余數小了。

4.數形結合是數學轉化的基本思想方法

形強于“跳躍式的思考”與“突破性的發現”，數強于“精確、嚴密的推導”與“演算”，數形結合的程度越深，越能實現認識上的飛躍。

從圖中形一眼就可以看出圓周率在3與4之間，這是數與形直觀結合的直觀收獲，“割圓術”是從直觀中受到的啟發，使得數與形之間結合得更深，最終認識到圓周率是一個介于3與4之間的一個無限不循環小數。用美國數學家斯蒂恩的話說：“如果一個特定的問題可以轉化成一個圖形，那么思想就整體地把握住了問題，并且創造性地思索問題的解法?！?，割圓術正是“形”提供思路，“數”使之入細的實例。

總之，“化歸”重在歸，具有收斂性、概括性;等量代換往往應用于具體問題中;數學建模雖然沒有專述，但其本質思想還是轉化化歸，是將具有相同或類似數量關系但又情境不同的問題轉化歸結于同一模型來批處理的數學思想，建模是數學應用的一般方法;類比具有跳躍式轉化特點，屬合情推理;數形結合是實現各種轉化的基本思想方法;他們都歸屬于轉化思想，是轉化思想在不同層面的反映。

對應與轉化從不同的思想角度，提供透化與通化問題的思想方法，這兩個數學思想是比較思想的子思想。

四、對消、還原與方程

“對消”與“還原”是等量代換的子思想，而等量代換是轉化的子思想，模型思想是化歸的子思想，而化歸也是轉化的子思想。之所以對消、還原、模型與方程統一在第四版塊，是因為在方程解決問題的過程中，將以上這幾個思想緊密地聯系在一起！

（一）對消是對等并消去的簡稱

1.生活中的對消

冬天我們增加衣物，是為了對消掉寒冷;夏天我們減少衣物是為了對消掉炎熱;把藥的表面涂一層糖皮，是為了對消掉苦味。在生活中對消是普遍存在的。

2.數學中的對消

【例1】五（1）班買了8支鋼筆和24支圓珠筆共付39元，五（2）班買同樣的8支鋼筆和20支圓珠筆共付35元，每支鋼筆和每支圓珠筆各多少元？

分析：如果把鋼筆的價錢對消掉，得到只含有圓珠筆一個問題的等式，則解：

【例2】 2包餅干和3袋水果糖的價錢是12.4元，3包餅干和2袋水果糖的價錢是14.1元。一包餅干和一袋水果糖的價錢各是多少元？

分析：如果能創造出相同的餅干數并對消掉，得到只含有水果糖一個問題的等式，則解：

（二）還原是退回原來的簡稱

【例3】書店原來有一些故事書，又運進來680冊，賣出736冊，還剩184冊。這個書店原有故事書多少冊？

分析：這道題有清晰的時間線索，利用還原思想，從后向前解答。

還剩的本數？隰賣出736冊 ？隰運進680冊 ？隰原有故事書

184冊 " 賣出的書再讓它買回來 "運進的680冊將它運走 " 240冊

184+736=920（冊） " "920-680=240（冊）

答：這個書店原有240冊故事書。

【例4】冬天來了，白雪給大地做了一件厚厚的棉被。小松鼠為了度過這寒冷的冬天，早就貯藏了很多松果。九月份吃了總數的1/4 多50個，十月份吃了剩下總數的1/2少50個，十一月份吃了剩下的4/5少50個，臘月吃了100個，吃完了，春天也來了。請你算一算，小松鼠一共貯藏了多少個松果呢？

分析：從九月到臘月，這道題的時間線索是很清晰的，我們就利用這一清晰的時間線索，從后向前還原總數。

有些人說還原是從問題出發說乘就除，說除就乘，說加就減，說減就加的數學思想。還有一些人說是倒推，是逆向思維，是從后向前。這些說法都有道理，但是不是這樣理解更好一點，即它是以問題的解決為目的，逆用關系來解決問題的數學思想。當然這樣做的條件是題目中的關系必須明確，便于還原。

對消與還原在解方程中得到統一

【例5】5x+4=3x+6

5x-3x+4=3x-3x+10（等式兩邊同時對消掉3x）

2x+4=10

2x+4-4=10-4（等式兩邊同時對消掉4，等式的基本性質就是消的性質）

2x=6

x=6÷2 " " " " （乘法還原為除法）

x=3

對消是對等并消去的簡稱，還原是退回原來（逆用關系）的簡稱。它們巧妙地統一在解方程中。（延伸）對消與數形結合都有使題目優化的作用，但方式不同，對消是用對等消去實現優化，數形結合是用數形的轉換，實現優化。

（三）方程思想

方程是通過有意識地讓問題與等式搞共存，在恒等變形中解決問題的數學思想。建模、化歸、對消、還原這四個數學思想智慧地統一在方程思想中。

建立一個含有未知數的等式，體現的是建模思想;解方程的過程，是將方程轉化并歸結為x=a，是化歸思想;分離x，應用的是還原與對消思想。

【例1】 5x+4=3x+6 （讓未知數與等式搞共存建立相等模型）

5x-3x+4=3x-3x +10 "（等式兩邊同時對消掉3x）

2x+4=10

2x+4-4=10-4（等式兩邊同時對消掉4，等式的基本性質屬消的性質）

2x=6

x=6÷2 " " " " （乘法還原為除法）

x=3 " " （解方程就是將方程轉化并歸結為x=a的過程）

方程中的x具有雙重身份，作為已知數參與運算，作為未知數被分離。

1.方程解決問題與算式解決問題的比較

“由于從等量關系來看，算術思想是將已知量的四則運算組合式全部寫在等號的一邊，只不過另一邊沒有寫出x而已，是直接用已知表示未知，所以有人就認為，算術思想是方程思想的極端化，其實不然。方程根本就沒有經過任何運算，只是闡述了一個事實本身，一個沒有經過任何加工的事實本身。所以說，方程思想與四則算術思想具有本質的不同?！?/p>

2.需要注意二個問題

（1）不一定問什么就設什么

并不是在任何情況下都是“問什么就設什么”好，若直接設要求的問題，不容易找到等式，或找到的等式不好解，那就應該考慮一下，暫時放棄問什么就設什么的想法。

【例2】媽媽去買鴨梨，她帶的錢如果買3千克鴨梨，還剩2.40 元，如果買5千克鴨梨，則差3.60元。請問媽媽一共帶了多少錢？

分析：如果直接設總錢數為x，方程是（x-2.40）÷3=（x+3.6）÷5，不好解。反之，如果先設鴨梨的單價是x元，再求總錢數，就好算多了。

解：設鴨梨的單價是x元。

3x+2.4=5x-3.6

2x=6

x=3

3×3+2.4=11.4（元）答：（略）。

（2）選用不同的等式，會帶來不同的解題效率

求優、求簡是數學的精神，所以對于列的方程來說，我們的原則應是可加可減，用加不用減，可乘可除，用乘不用除。

【例3】 崗上果園有梨樹和棗樹共190棵，棗樹的棵數是梨樹的4倍。梨樹和棗樹各多少棵？

我們可以列出四個方程

A：設梨樹為x，那么棗樹是（190-x）棵

x=（190-x）×4

B：設棗樹為x棵，那么梨樹為（190-x）棵

x=190-x=4x

C：設梨樹為x，那么棗樹為4x

x+4x=190

D：設棗樹為x棵，那么梨樹為x÷4棵

x+x÷4=190

C是最能體現“避繁就簡”思想的。

方程作為一個思想更為博大，它涵蓋了建模、化歸、還原與對消四個數學思想，它使我們對問題的求解進入了一個更自由的世界。

五、湊與刨、分解與組合、分類討論

湊與刨、分解與組合、分類討論是實現比較思想中類化問題的基本思想方法。他們從不同的思想角度為我們提供如何將問題類化、細化、深化的思路。

一是從問題的內部想辦法，二是從問題的外部想辦法，湊與刨、分解與組合正是這兩種思想的體現。

（一）湊、刨

1.求多邊形面積

2.簡算

9+99+999+3 " " " " " " " " "1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

=（9+1）+（99+1）+（999+1） "=1-1/64

=10+100+1000 " " " " " " " " =63/64

=1110

3. 2點43分時，時針與分針的夾角是（ "）度

（二）分解與組合

智慧的分解與組合，可以實現少資源，高效率。

1.豎式是計算的優化

（延伸）23個聲母與24個韻母的組合，解決了拼音問題;25個筆畫、128個偏旁部首的組合，解決了漢字問題;由0到9這十個數字按位值法組合，解決了計數問題。智慧的分解與組合，可以實現少資源，高效率。

（三）分類討論

是指將一個大問題類化為多個小問題，它的思想是：如果能將小問題個個擊破，則大問題將被解決（不再舉例）。

六、假設極限與統計

之所以把這三個思想放在最后，是因為它們與其它思想聯系不夠緊密，有自己更多的個性化的東西。比如說假設思想是一種有特色的建模思想，特色在用創設情境的方式建立模型，解決問題，它是建模思想的子思想，而建模思想又是化歸思想的子思想，而化歸是轉化的子思想;極限是小學中唯一一個體現動與靜辯證的數學思想，例子不多，但意義重大;而統計與概率又是完善學生世界觀的必要思想和重要途徑。這三個思想十分重要，又個性十足，故而合三為一，歸入第六版塊。

（一）假設思想

雞兔同籠是典型的假設思想的應用，但如果假設思想只停留在把雞看成兔上，那就太淺了，把它看成是一種建模方式，才能上升到推廣與應用的高度。

【例1】李大爺家有雞、兔共16只，共有38個腳。雞、兔各有多少只？

分析：假設都是雞，必然會突出兔子的數量關系，每只兔子被少算了2只腳，一共少算了6只腳，所以兔的只數=少算的腳數÷腳差。反之，假設是兔子，就可以算出雞的只數。

【例2】100個和尚100個饃，大和尚一個人吃三個，小和尚三個人吃一個，一共多少個大和尚，多少個小和尚？

分析：假設都是大和尚，引起饃總數變化的必是小和尚，利用這個變化，建構包含除模型，算出小和尚人數。

（100×3-100）÷（3-1/3）=75（人）

100-75=25（人） " 答（略）。

【例3】甲乙兩個消防隊共有 336 人，抽調甲隊人數的 5/7 ，乙隊人數的 3/7 ，共是188 人，問甲乙兩個消防隊原來各有多少人？

分析：假設兩隊抽調人數相同都是 5/7 ，引起抽掉人數變大的必是乙隊，利用這一變化，建立量率對應模型，求出乙隊。

（336×5/7-188）÷（5/7-3/7）=182 （人）

336-182=154 （人） " 答（略）。

【例4】一項工程，甲乙合干一天的效率是9/40，甲干2天后乙又干了5天一共完成3/4，甲單獨干需要多少天完成？

分析：假設甲乙都工作5天，甲就少干三天，利用這三天求出甲效，進一步求出甲單獨干需要的天數。

1÷【（9/40×5-3/4）÷（5-2）】=8（天） "答（略）。

用假設創造變化，在變化中尋找戰機，是假設思想給我們的啟示。從方法層面上看，假設是一種建模方式。

（二）極限思想

無窮逼近是極限思想的內涵。小學有相關素材，但不多，有必要做收集、整理、詮釋工作。

極限思想離不開無窮、無限。但如果只是個數上的無窮，沒有逼近值，那也不是極限。例如，自然數是無限多的、直線是無限長的，但這些概念不屬極限范疇。

【例1】1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64+………=？

分析這個式子，如果無限地寫下去，那么1就是這個式子的極值。

【例2】1/9=0.111………同理9/9=0.999………，而1=9/9，這就說明0.999…是極值是1，也就是0.999…=1。

【例3】正三邊形、正四邊形、正五邊形……不斷的增加邊數，圖形就越接近圓，圓就是正多邊形的極值。

（延伸）將無數個高“極”到半徑，底“極”到周長上一點的全等三角形面積，做求和運算，就是圓的面積。

“極限（Limit）一詞從詞源上講，含義是表示一個不可超越的限度，含有限制的意思。數學中的“極限”在一定方面也有這個意思，但不完全是這個意思，更廣地，如有“無窮逼近”之意。在數學領域“極限”是有嚴格定義的，用以描述量在一定的變化過程中的終極狀態。它的建立是數學發展史中的一個重要轉折點。此后空間中的各類收斂性，也都是極限思想方法的運用和拓廣”。

極限是一種動收于靜的收斂方式，體現運動與靜止的辯證關系。極限是啟迪智慧，發展能力的重要知識，無論當下還是以后都有重要意義，必須認真學習。

（三）統計

統計與概率有著密切的聯系，都屬合情推理。

統計思想就是：以表或圖的形式，反映一組數據的變化規律，為判斷、選擇、決策提供統計依據的思想。

1.從形式上看

所有的統計表與統計圖從形式上都必須回答三個問題：“誰”統計對象;“什么”統計項目;“多少”統計數據。統計表是以表格的形式反映，統計圖是以圖的形式反映。

2.從意義上看

想通過制表或分析表，制圖或分析圖，得到什么方面的信息;收集的數據是否可靠;選用圖表的方式是否合適;最終的結論可信度有多少;這都是統計在意義上的反映。

3.從推理上看

利用統計數據或統計信息進行的推理稱為統計推理。大家一般都相信數據，認為用數據說話無可爭辯，但事實上并非如此。統計做為合情推理，推理者可能出于某種目的，故意得出謬論，迷惑公眾，讓學生認識到這一點很必要。

案例1

本市的治安形式急劇惡化，今年的惡性刑事案件較去年增加了100%，聽完后我們會感到這個城市真的不安全了，而事實是去年發生了一件，而今年也只有二件而已。

案例2

這個城市環境治理工作搞的很好，96%的企業廢物排放量達到了國家標準。而事實是不達標的4%的企業是污染大戶，直接決定了環境的好壞。

（四）概率思想

概率也叫幾率或機會，是一個隨機事件發生可能性的度量。一個不可能事件的概率為0，一個必然事件概率為1，而其他事件概率是介于0與1之間的某個值。

1.概率與頻率的關系

概率的統計定義涉及頻率與概率兩個概念，弄清兩者的關系是必要的，頻率反應的是事件發生頻繁的程度，從而可以用來近似反映事件發生的可能性大小，但頻率是隨機的，這n次試驗中的頻率與另外n次試驗中的頻率一般會不同，所以無法用頻率作為一個事件發生的可能性的度量（不確定），而概率是一個客觀存在的確定的常數，與每次試驗無關，因此，人們用概率來度量事件發生的可能性。不過，在現實中，概率往往是不知道的。但由于頻率“一般”穩定在概率附近，我們通?？梢宰鲈囼灚@得隨機事件的頻率，用頻率來估計概率，將頻率作為它的估計值，從而得到概率的近似值……頻率在試驗前是無法確定的（所以概率的統計定義又稱經驗后概率）。概率是隨機事件固有的，在試驗前就確定的（但可能是未知的，注意隨機性與未知性的不同）……概率反映的是多次試驗中頻率的穩定性，而不是事件發生的確定性。有人往往錯誤地以為，擲一個均勻硬幣，正面出現的概率等于二分之一，就應該兩次試驗中出現一次正面。擲一個均勻的骰子，每擲六次，各點都應該出現一次，否則就是不均勻。事實上，頻率的穩定性反映的是大量試驗中出現的性質，其穩定性要在試驗次數很多時才體現出來，對個別的幾次試驗，由于其隨機性，是無法預料的。

2.糾正一個錯誤的認識

有人認為在擲硬幣時，如果連續多次正面向上，那下一次反面向上的可能性會增大，這是錯誤的觀點。首先說，在一個長過程中都得到正面幾乎不可能，其次，每一次擲硬幣都是獨立于其他各次的，因此，出現反面的概率每一次都是相同的，不論前一次拋擲的結果是什么。就算是連續出現多次正面朝上，只要不斷地拋下去，在更漫長的過程中，必將糾正。

統計與概率主要包含的數學思想有隨機思想（或稱概率論思想），是通過對這種偶然性的研究去發現必然規律（往往要運用統計法），再反過來利用規律認識隨機現象;抽樣思想，它要思考的是什么樣的樣本才能最大限度地代表總體;統計推斷思想，是帶有概率性質的推理。

總 " 結

把數學思想教學從滲透提升至正面學習，提升并不是否認滲透的正確性，而是對滲透的整理歸納。如果我們能使數學思想系統化、結構化，實現數學思想的正面教學是大有可為的，并且正面教學意義更大！

參考文獻：

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[2]范文貴.小學數學教育論[M].上海：華東師范大學出版社，2011.

[3]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.