開發數學“同源問題”的策略研究與思考

摘 " 要

開發數學“同源問題”可促進學生對數學的理解，更有利于學生自覺高效地“學數學，做數學，用數學”。對數學“同源問題”的開發常常從敘述方式、表征形式、解決途徑、演化變式、呈現角度等途徑入手。教師抓住數學問題的本質，適當地對數學問題進行開發與重組，使得數學“同源問題”的表征、解決呈現多元化的態勢，就能加深學生對數學問題的認知理解。

關鍵詞

開發 同源問題 策略 引導 理解

一、問題的提出

數學學習中，“理解”無疑是第一位的。章建躍教授提出并強調的“三個理解”之一便是理解數學，主要指理解所教內容、思想方法、科學價值等。但同時，在數學學習活動中，我們經常見到學生面對難度不大稍有變化的題目時不知如何入手，難以把握問題的主干結構，解題如同進入迷宮一樣不知出口在哪里。這種現象表明學生缺乏對問題中已知條件的把握與理解，缺乏正確分析問題的基本策略和方法，進入一種“只在此山中，云深不知處”的處境。在平時的教學中，教師若能夠多角度、多渠道引導學生撥開迷霧，識別問題的本質，將有助于學生較快找到解題的突破口，從而大大提高解題的效率。因此，從促進學生對數學的理解這一角度出發，教師對數學“同源問題”進行開發不僅應該做，更可說是值得做的。有些問題系列可由同一個數學問題衍生、拓展、推廣得到，我們把問題系列中的這些問題稱為“同源問題”。

二、數學“同源問題”的開發策略

1.“同源問題”敘述方式的開發

數學問題的敘述方式主要是指對問題的條件及所需求解（或求證）問題的表述方式。對敘述的方式開發主要是指在不改變問題本質屬性的情況下，改變問題的敘述方式。適切地開發敘述方式有利于學生提高對數學問題的識別能力，促其深化對問題的條件和待求（證）量的認識。

案例1 "當a為何值時，方程x2+x+a=0沒有實數根？

這是一道十分典型的例題，具有普遍的適用性，為了讓學生抓住問題的本質屬性，可把問題的敘述方式開發如下：

（1）當a為何值時，二次函數y=x2+x+a的圖象與x軸沒有交點？

（2）當a為何值時，拋物線y=x2+x+a位于x軸的上方？

（3）當a為何值時，二次函數y=x2+x+a的值恒為正？

（4）當a為何值時，不等式x2+x+a≤0無解？

（5）當a為何值時，不等式x2+x+a>0的解集是全體實數？

（6）當a為何值時，二次三項式x2+x+a的值恒為正？

感悟：不同的敘述方式，其實都是同一指向。在這樣的敘述方式的轉換中，學生可從中體會到數學問題的多角度敘述，從不同的敘述方式中體悟問題的實質所在。

2.“同源問題”表征形式的開發

數學問題的表征形式通常指的是對數學問題中的信息以文字、圖形、符號、模型等形式進行表達和闡釋。數學問題的表征存在多種形式，學生若不能靈活轉化數學語言，則容易造成解題的不完整或不完善現象。在數學學習活動中教師對所設問題進行多種表征，引導學生經歷對數學表征的諸形式進行“自由切換”的過程，可促其深化對數學問題的理解。

案例2 完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的數學表征（蘇科版七年級下冊9.4乘法公式第一課時）

（1）符號表征：利用多項式乘多項式法則計算（a+b）2。

（2）文字表征：完全平方公式的特征是：首平方，尾平方，首尾乘積兩倍加中央。

（3）操作表征：請使用計算器，分別取幾組值計算（a+b）2和a2+2ab+b2的值，探究這兩個式子之間的關系。

（4）情境表征：有一位老奶奶很喜歡孩子，每次孩子到她家，她都會給他們一些糖，她立了一個規定：每次有多少孩子去，就會給每個孩子同樣數目的糖（如有5個孩子就給每個孩子5顆糖）?，F在有a個男孩子和b個女孩子準備去老奶奶家，這些孩子在商量是分開去還是一起去所得的糖會多一些？多多少？請你幫他們解決這個問題。

（5）圖形表征：利用圖1，用不同的方法表示大矩形的面積，你有什么發現？

感悟：上述五種表征方式分別從符號、文字、操作、情境、圖形等方面進行解構，幫助學生從多角度認識完全平方公式，對提高其數學表征能力有很大的促進作用，更能理解數學表征形式之間的內在聯系。

3.“同源問題”解決途徑的開發

對數學問題進行解決途徑的開發，主要指的是全面考慮解決途徑，實施一題多解的方式對問題進行加工和處理。這樣的處理方式有利于學生比較問題的解決方式，甄選總結出最佳解決途徑，積累問題解決經驗。

案例3 二次函數當x = 2時，y 有最小值為-3，且該二次函數的圖像與x 軸的交點橫坐標的乘積為3，求該二次函數的解析式。

思路1 通過審題可知二次函數圖像的頂點坐標，因此可設二次函數的頂點式為y=a（x-2）2-3，只需建構出關于字母a的方程即可。

思路2 通過審題可知二次函數圖像的頂點坐標，因此只需知道二次函數圖像上另一點即可，由題意可嘗試求二次函數圖像與x軸的交點坐標，進而求得二次函數的解析式。

思路3 由二次函數的圖像與x 軸的交點橫坐標的乘積為3可設兩個交點坐標分別為 再設法建構出關于字母m的方程即可求解。

思路4 可利用二次函數與對應的一元二次方程之間的關系，聯系韋達定理來獲得待定字母的值，進而求得二次函數的解析式。

感悟：上述問題分別從四個方面進行解決，體現了問題解決的多樣性。在數學問題解決途徑的開發中，幫助學生增強對相關知識點的關聯度，深化對解題途徑的認識，逐漸達到融會貫通的程度。

4.“同源問題”演化變式的開發

數學問題常具有的演化變式有橫向變式、縱向變式、正向變式、負向變式等。橫向變式就是指將問題的條件或結論作局部改變，使新問題與它呈并列關系;縱向變式是指將問題的條件或結論進行發展延伸，使新問題與它呈遞進關系;正向變式是指此問題對彼問題的解題思想（方法）產生正遷移的作用，能夠促進解決彼問題;負向變式是指此問題對彼問題的解題思想（方法）產生負遷移的作用，往往阻礙解決彼問題。通過對這些問題的衍變問題的解決，學生可洞察本質，厘清問題的真面目，從而深化對問題的認知理解。

案例4 問題1為源問題，問題2、問題3、問題4和問題5分別是問題1的橫向變式、縱向變式、正向變式和負向變式。

問題1 如圖2，已知直線l及其同側的點A，點B，在直線上求作一點P，使PA+PB最小。

問題3 （2013年·湖北鄂州中考題）如圖4，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB= ，試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（ " ）。

A. 6 " " "B. 8 " " "C. 10 " " "D. 12

問題4 （2013年·廣東茂名中考題）如圖5，拋物線y=ax2 x+2與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標為（3，0）。

（1）求a的值和拋物線的頂點坐標;

（2）分別連接AC、BC，在x軸下方的拋物線上求一點M，使△AMC與△ABC的面積相等;

（3）設N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN-CM|，探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和d的最大值;若不存在，請簡單說明理由。

問題5 （2012年·湖北黃石中考題）如圖6所示 動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（ ）。

感悟：橫向變式、縱向變式與正向變式等變式都往往與“源問題”屬同質問題，即問題的本質常常沒有改變，而負向變式往往與“源問題”屬異質問題，解題方法或思路常顯示出明顯的區別，“源問題”的解決并不能促進負向變式問題的解決，識別和解決這些同源問題，有助于學生對數學問題的透徹理解。

5.“同源問題”呈現角度的開發

有些數學問題以不同的問題背景、不同的表達方式或者不同的結構形式來隱性呈現，但是其實質卻是“形異質同問題”。開發此類問題對提高學生的數學辨析能力大有幫助，促其思維從單一角度的認識轉向多元化認識。

案例5 "問題“已知 求a+16b的值”的呈現角度。

問題1 "設x1、x2、x3…xn取-1，0，2中的任一個數，且x12+x22+x32+…+xn2=28，x13+x23+x33+…+xn3=44，求x14+x24+x34+…+xn4的值。

問題2 "有a（a>0）張卡片，在它們的上面分別寫上-1，0，2中的任一個數。小明將卡片上的數字平方后，求和為28;小麗將卡片上的數字立方后，求和為44。你能求出卡片上的數字四次方后是多少嗎？若能，寫出解答過程;若不能，說明理由。

問題3 甲、乙、丙、丁四人到文具店購買同一種筆記本和鋼筆，購買的數量及總價如表1所示。若其中一人的總價算錯了，則此人是（ " " " ）。

A.甲 " " " "B.乙 " " " " C.丙 " " " " " "D.丁

問題4 學校組織了一次游戲，每位選手朝特制的靶子上各投3支飛鏢，在同一圓環內得分相同。如圖7所示，小寧、小君、小紅的成績分別是29分、43分和33分，則小華的成績是（ " " ）。

A.31分 "B.33分 "C.36分 "D.38分

簡析：對于問題1，因為0對求和沒有影響，故求和的結果只與-1、2的個數有關。因此，在x1、x2、x3…xn中，設有a個-1，b個2，則問題可轉化為“已知 求a+16b的值”的等價問題。將符號表征的問題1賦以情境，則就變成了文字表征形式的問題2，同樣將問題1以表格表征，就成了問題3，用圖形表征即成問題4。

感悟：辨析“形異質同問題”和“形似質異問題”不能僅僅靠直覺，而要靠理性的邏輯思考和縝密的邏輯推理。要想實現這個目標，就需要教師有目的和有選擇地對數學問題以不同的問題背景或者不同的結構形式來呈現。教師進行開發時，可選擇題組來進行呈現，呈現的方式既可以是顯性的，也可以是隱性的。開發此類問題有利于學生的辨析能力、創新思維的發展和提高。

三、思考與感悟

數學的研究對象是具有高度抽象性的數量關系和空間形式，是一種形式化的思想材料。數學“同源問題”的開發使得數學問題的表征、解決呈現多元化的態勢，從而豐富了學生對數學問題的認識角度，降低了數學的抽象化與形式化程度，使他們加深了對數學問題的認知理解。

1.對“同源問題”的開發應適切于課程標準

教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程，有效的數學教學活動是學生學與教師教的統一，學生是數學學習的主體，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。數學“同源問題”的開發應以數學課程標準為基，以教材為本，真正做到“用教材”，而不是“教教材”。教師應圍繞“具有思考梯度、廣度、深度的問題”的目標來開發“同源問題”，使開發后的問題系列能夠密切關聯，有利于學生逐步走向數學本質。

2.對“同源問題”的開發應理解數學

理解數學是指清楚“同源問題”的產生背景、形成過程、形成方法，清楚它們的本質、結構及相互間的關系。其關鍵是把握“同源問題”內在的多元聯系，善于區分“同源問題”蘊含的核心知識和非核心知識。只有這樣，教師才能整合數學知識點為知識模塊，選擇合適的“同源問題”進行開發，確定恰當的開發策略。 數學中的知識點不是孤立存在的，而是有機聯系的整體，只有把握好“同源問題”的開發策略，教師方能引導學生對數學知識的有效建構。

3.對“同源問題”的開發應關注學情

數學“同源問題”的開發應立足于促進學生理解數學和應用數學?！皩W生能否理解”以及“學生理解到什么程度”決定了教師對“同源問題”的開發程度和深度。唯如此，教師才能開發出與學生的已有經驗、學習基礎和思維特點相匹配的問題系列。學生是數學學習活動的主體。由于學生存在個體差異，因此教師要從學生的認知水平出發，使得開發后的“同源問題”立足于學生思維的“最近發展區”，使學生能夠內化數學知識、深化數學內涵，真正做到“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。

作者單位：江蘇常熟外國語初級中學