復習課教學要以課程標準為準繩，以問題解決為目標

摘 要：復習課是在認真分析學生年齡特點及其認知規律的基礎上，全面提高其數學學習、探究與應用能力（其中包括學生個體自我組織、規劃數學活動能力以及對學習過程與結果進行自主監督、控制能力等）的一種重要課型。因此，要求教師必須以課程標準為準繩，科學合理地、有目的、有計劃地組織好復習教學，只有幫助學生對已經學過的數學內容做完整性與合理性的審視、評價與重建，才能達到提高學生發現問題、提出問題和解決問題能力與水平之目的。

關鍵詞：高中數學；復習課；問題解決；思維能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）24-0062-04

高中生自我監控意識和綜合思維能力較弱，還不能完全脫離具體事物而進行高度的抽象思維概括活動，難以自發地對不同階段的知識與技能、過程與方法進行整合，使之系統化、網絡化、完整化，經常呈現出單一、割裂或散點式的認知狀態。這種狀態嚴重阻礙了學生對數學建模、數學探究與數學文化及其內涵的理解、掌握與應用，更加阻礙了數學學科在學生長期可持續發展過程中的價值發揮。因此，要求教師必須以課程標準為準繩，科學合理地安排好復習課，有目的、有計劃地組織教學，才能不斷提高學生解決問題的能力與水平。下面主要介紹復習課的功能、任務及其操作模式，供同行們參考。

一、復習課的功能與任務

實踐證明，復習課是在認真分析學生年齡特點及其認知規律的基礎上，全面提高其數學學習、探究與應用能力（其中包括學生個體自我組織、規劃數學活動能力以及對學習過程與結果進行自主監督、控制能力等）的一種重要課型。

（一）復習課的功能

1.復習課為學生提供了構建知識體系、提煉解題方法、體驗數學思想的機會，能夠幫助學生提高發現問題與解決問題的一般能力。

2.復習課為學生提供了將所學知識、技能、思想與方法綜合運用和創新的機會，能夠幫助學生積累數學活動的基本經驗，有利于優化其認知結構。

3.復習課為學生提供了整體視野和對自身學習能力與水平進行再認知的機會，能夠幫助學生對已經學過的數學內容做完整性與合理性的審視、評價與重建。

（二）復習課的主要任務

1.系統梳理基礎知識，形成結構化知識網絡，以便于學生對知識的理解、記憶和儲存。

2.揭示規律，總結策略，逐步提高學生數學的提出問題、分析問題和解決問題的能力。

3.讓學生熟練掌握并靈活運用數學課程標準中規定的高中生必備的基本技能和思想方法。

4.讓學生反復經歷方法探究、思路調整、思維優化等解題過程，不斷地將其中蘊含的數學模型、思想方法、思維路徑有機的聯系起來。

二、復習課的一般操作模式

從上述分析可知，復習課的主要目標是“夯實基礎、激活思維，最大限度地發展學生的問題解決能力”。因此，我建議復習課至少應該包括下面三個環節。

（一）課前布置學案，自主復習

導學案能夠有效利用學生的課余時間，促使學生提前參與到學習中來。學生只有在課前進行必要的知識儲備，從基本題型的練習入手，逐步變式，進而復雜化，課上才能展示綜合性較高的數學問題，才能促使學生在問題解決的過程中，總結解題方法和策略。

復習課，教師應該為學生回顧知識提供必要的線索，但絕對不能代替學生整理和思考。課前要給學生提供獨自整理知識的機會，讓學生通過看書、查閱資料等方式獨自解決并把回憶起的知識用紙筆記錄下來，用自己喜歡的方式建構知識之間的聯系。也只有讓學生自己做了，經歷了，知識才能內化到頭腦中，形成體系。也許他們課前做得不是很完美，但只要有了這個基礎，課堂教學就不會是“空中樓閣”，學習會更實效、高效。

（二）課上合作交流，拓展提升

如何讓學生成為學習的主人，“問題引領、自主探究、合作交流”都是比較好的方式。復習課的一項重要工作是教師根據學生的“作品展示”情況，逐步引導學生剖析問題、聯想與類比，不斷總結解題方法與策略，發展歸納概括能力。

在學生課前準備的基礎上，教師可以從以下幾方面組織引導并加以操作。

1.通過展示和評價等方式，培養學生的反思能力

以課前“導學案”為載體，課上先展示部分學生的知識梳理、方法歸納和解題過程（思維方式的外在顯現），再讓其他同學做點評。評價應以學生互評為主，教師為輔，這樣既能調動學生的學習積極性，又能督促所有學生做好前期準備，還能讓同學之間有對比思考，可以從多角度、多方面對基礎知識與基本技能進行“恢復”。這種做法要比教師在黑板上寫，投影上顯示，學生在筆記本上記錄更有實效。

在學生“展示”過程中，教師一定要多問“為什么？”，例如，“你為什么這樣想？”“還有其它想法嗎？”“為什么選擇或放棄這個方法？”“這處錯誤是怎樣發生的？”“其他同學還有沒有補充？”等等，促使所有學生養成題后反思的意識和習慣，同時也是對學生“說知識、說解題”等能力的有益培養，在此過程中，可以訓練學生思維的縝密性，語言的表達能力，解題的糾錯能力等。

2.利用“一題多解”，培養學生的發散思維

“一題多解”是引導學生從題目的不同側面觀察、不同角度審視，利用不同方法求解同一道題目，是通過較少的題目復習較多的知識與方法，從而培養學生解題的思考能力和技能技巧，激發學生的求知欲，讓學生體會成功的喜悅。

復習過程中，教學生解答出一道題目容易，讓學生掌握好一種解題方法和思維方式較難。這需要幫助學生加強知識的縱橫聯系與系統歸納，需要在方法的多樣選擇中進行分析和思考，需要梳理出不同解法的思路并加以提煉，需要對不同解法進行比較、鑒別和優化，以加深學生對題目本質的深刻理解。通過“一題多解”，能夠突破學生平時先入為主的思維定勢，拓展其解題思路，引導學生多角度、多層次地思考問題，將思維由封閉狀態轉化到開放狀態，其目的并不在于“多解”，而在于思維的“多層次”和“多角度”。

例如，設P是橢圓=1上任意一點，過左焦點F1的弦為PA，且的值。

【點評】教學實踐證明，有些學生注意到這是圓錐曲線上的動點問題，通過設點坐標（直角坐標或極坐標），轉化為解方程（組）問題，體現方程思想；有些學生注意到直線與圓錐曲線的位置關系，通過設出直線方程，采用設而不求，避免求點坐標運算，同樣利用方程思想；還有學生注意到焦半徑，利用圓錐曲線的第二定義，結合平面幾何知識進行判斷和證明，減少運算量，體現了數形結合、轉化和化歸思想。多種思維方式和解法不僅加強了學生對基本題型、基本方法的理解與再認識，而且讓學生獲得了高水平的思維訓練，提高了他們的發散思維能力。

3.利用“一題多變”培養學生的思辨能力

“一題多變”是通過變換條件或探求不同結論或改變問題情境等多種途徑，引導學生從多方向、多層次、多角度出發思考同一問題，不斷強化學生對知識的理解與掌握和思維的變通與創造，進而培養學生思維的靈活性。

復習過程中，教師可以通過類化不同變式的共同屬性而突出題目的本質，借助“如果去掉某個條件會怎樣變化？”“假如換一種問法呢？”“假如將其中一個條件換成另一個條件呢？”等啟發式提問，引導學生的思維活動呈現層級推進并逐步深入，滿足不同學生的學習需求。構造變式題的活動可以幫助學生鞏固知識、訓練思維、開闊視野，促進學生對解題方法的全面思考，其中的關鍵是“變”，“變”能促使學生思維不再局限于固定模式和定式思維，從而提出新問題或發現同一問題的多種解法或多種結果。

例如，復習拋物線性質的一道變式題。

課本原型：過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，且兩交點的縱坐標分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2。

變式1：過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=-為拋物線的準線，過點A、B分別作準線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F。

變式2：（改變M、N的作法）過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=-為拋物線的準線，O為原點，直線OA、OB分別交準線于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F。

變式3：（變定點為動點）過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=-為拋物線的準線，C是拋物線上的動點，直線AC、BC與準線分別交于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F。

變式4：（變焦點、準線為極點、極線）拋物線y2=2px（p>0），極點P（t，0），極線l：x=-t，C是拋物線上的動點，過P的直線交拋物線于A、B兩點，直線AC、BC分別交極線于點M、N，則M、N的縱坐標之積為定值-2pt。

一般化：設圓錐曲線E的一個焦點為F，相應的準線（定直線）為l，C為E上的動點，過F且斜率不為0的直線與曲線E交于點A、B，直線AC、BC分別交準線于M、N，則以MN為直徑的圓過焦點F。

變式5：（與相關知識點建立聯系）直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A、B兩點。

（1）若∣AB∣=4，求弦AB的中點到直線x+=0的距離；

（2）O為坐標原點，試判斷向量是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。

【點評】上述題組是圍繞拋物線中的定點（焦點）和式子y1y2=-p2，從課本問題出發復習和推廣了圓錐曲線的諸多共同性質，符合學生的認知規律，逐步探究更是活躍了他們的數學思維。

4.利用“多題一解”提煉通性通法，培養學生對問題的理解力

“多題一解”是指針對一個關聯性較強的題組，從不同問題的解法中尋找出不變的“規則”，梳理出一條思維“主線”，整理出“通性通法”，進而幫助學生從中學會抽象與概括、分析與綜合、總結與歸納的具體方法，真正理解具體與抽象、特殊與一般的邏輯關系，最終達到舉一反三、觸類旁通的目的。

復習過程中，我們要充分挖掘知識點之間的聯系，分析各解法的互通性，在“異中求同、同中求異”過程中將知識結構轉化為認知結構，并借助“同質異形”題組，使學生發現解法的本質，從而加深學生對“通法”的深層次理解。

例如，在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c。

（1）若a2-b2=bc，sinC=2sinB，則A= 。

（2）若8b=5c，C=2B，則cosC= 。

（3）若2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，則sinB+sinC的最大值為 。

（4）若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），試判斷△ABC的形狀。

【點評】雖然上述問題的條件和設問都不同，但只要借助正余弦定理將“邊轉化為角”或將“角轉化為邊”，問題將迎刃而解。這類題組有利于學生把握問題的實質，溝通知識間的聯系；有利于多方面、多角度去分析問題、解決問題；有利于復習“一塊”掌握“一類”，從而調動學生的學習積極性，提高學生的思維能力，培養學生思維的發散性和創新性，讓學生思維在問題之間自由飛翔。

（三）課后總結反思，完善學案

1.題后反思。學生完成解題后，可以從“還有沒有更好的解法？”“問題還可以怎樣引申？”“問題的解決方法適用于哪種類型的題目？”等多方面進行反思，在反思中明晰問題的本質，對解題方法歸納總結，培養學生的批判性思維與發散性思維。

2.課后反思。我們要求學生根據課上師生辨析討論的結果，在學案中總結解題策略的要點，整理問題的不同解法，進一步明晰問題解決過程中體現的數學思想和思維方式。可以采用以下策略：

（1）研究解題方法。對不同的解題策略與方法進行討論、比較、優化，并為最佳的解題方法命名。

（2）提煉策略核心。理解常用解題策略的本質，把握其使用范圍和要點，思考在問題解決過程中用到了什么策略，其核心要素是什么？從感性升華到理性，使其成為下次解決問題的思維起點和基礎。

（3）解題策略延伸。通過對解題過程的深度思考，反思“你能用這種方法解決其他問題嗎？”總結出一般的對今后解題活動有指導作用的方法或模式，從而內化到自己的頭腦中去。

總之，數學復習課對于學生掌握知識、提升能力具有非常重要的作用，它是一項復雜而艱辛的工程。教學過程中，要精心選題，而且要認真挖掘，只有問題選得好、挖得深，學生受益才多；只有引領學生細致的觀察和耐心的輔導，總結好知識點，才能收到意想不到的教學效果；只有以學生發展為核心，加強優良習慣的養成、知識點的歸納以及解題方法的總結，課堂教學效率才會更好。