初中數(shù)學(xué)方程與函數(shù)綜合題的幾種類型

摘 要：方程與函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一。解這類綜合題，第一要掌握好數(shù)和式這些知識(shí)體系，它們是方程和函數(shù)的構(gòu)成基礎(chǔ)；第二要掌握好方程的各種解法和相關(guān)定理，掌握好函數(shù)的概念及其各種性質(zhì)，掌握好方程和函數(shù)間的各種聯(lián)系；第三要會(huì)適時(shí)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想，靈活運(yùn)用配方、消元、代換、待定系數(shù)法等基本方法。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；方程型綜合題；函數(shù)型綜合題；方程與函數(shù)型綜合題

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2015）21-0062-03

方程與函數(shù)綜合題是歷年中考的必考內(nèi)容，它主要是圍繞著方程和函數(shù)展開的，可分為三大類型：方程型綜合題、函數(shù)型綜合題、方程與函數(shù)型綜合題。

解方程與函數(shù)綜合題，第一要掌握好數(shù)和式這些知識(shí)體系，它們是方程和函數(shù)的構(gòu)成基礎(chǔ)；第二要掌握好方程的各種解法和相關(guān)定理，掌握好函數(shù)的概念及其各種性質(zhì)，掌握好方程和函數(shù)間的各種聯(lián)系；第三要會(huì)適時(shí)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想，靈活運(yùn)用配方、消元、代換、待定系數(shù)法等基本方法。當(dāng)然，解方程與函數(shù)綜合題，還要求我們有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力，善于把綜合性的問題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本問題來解決。下面我們逐一分析這三大類型：

一、方程型綜合題

方程型綜合題主要是以一元二次方程為主線，直接利用二次方程根的定義、方程的解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、不等式等有關(guān)知識(shí)來解決問題。

例1.設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程x2+4kx+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，y1、y2是關(guān)于y的方程y2-k2y+p=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。若x1-y1=2，x2-y2=2，求k和p的值.

分析：由根與系數(shù)的關(guān)系及已知，可建立關(guān)于k的二次方程，再利用根的判別式即可確定k的值，從而進(jìn)一步求出p的值。

解：由已知得x1+x2=-4k，x1·x2=3，Δ1=16k2-4×3≥0；

y1+y2=k2， y1·y2=p，Δ2=k4-4p≥0.

∵x1-y1=2，x2-y2=2，

∴（x1+x2）-（y1+y2）=4，

即k2+4k+4=0，解之得k1=k2=-2.

當(dāng)k=-2時(shí)，Δ1>0，故k=-2.

由y1·y2=p=（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=3+8k+4=-9，

∵當(dāng)k=-2，p=-9時(shí)，滿足Δ2=k4-4p≥0，

故k=-2，p=-9.

說明：本題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程，再結(jié)合根的判別式確定k，p的值。

練習(xí)：已知：關(guān)于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程 （k-1）y2-3y+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y1和y2.

求：（1）當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，確定k的值；

（2）在（1）的條件下，若m>-2，用關(guān)于m的代數(shù)式表示y12+y22.

二、函數(shù)型綜合題

例2如圖所示，已知反比例函數(shù)y=■的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-■，b），過點(diǎn)A作AB⊥OX于點(diǎn)B，△AOB的面積為■.

（1）求k和b的值；

（2）若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，并且與x相交于點(diǎn)M，求AO：AM；

（3）如果以AM為一邊的正三角形AMP的頂點(diǎn)P在二次函數(shù)y=-x2+■mx+m-9的圖象上，求m的值.

分析：⑴由S△AOB=■k且b>0可求得k、b的值；（2）由直線y=ax+1過點(diǎn)A可求出a的值，從而得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，再由勾股定理求得AO與AM的值；（3）在Rt△ABM中，由AB與AM的值可求得∠BMA=30°，再分類討論點(diǎn)P位置的兩種情況，再由點(diǎn)P在拋物線上，得到M的值。

解：（1）由點(diǎn)A在第二象限，得b>0.又AB⊥OX于B，S△AOB=■，∴■-■b=■，∴b=2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-■，2）.

由反比例函數(shù)y=■的圖象過點(diǎn)A，得2=■，∴k=-2■.

（2）∵一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-■，2），

∴2=a（-■）+1，∴a=-■.

∴一次函數(shù)的解析式為y=--■x+1.令y=0，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（■，0）.

在Rt△ABO中，

AO=■=■=■，

在Rt△ABM中，BM=BO+OM=2■，

∴AM=■=■=4.

∴AO：AM=■：4.

（3）由（2）得，Rt△ABM中，∵AB=2，AM=4，∴∠BMA=30°∵點(diǎn)A在第二象限，M在x軸的正半軸上，且∠AMB=30°，∠AMP=60°，∴點(diǎn)P的位置有兩種情況：①點(diǎn)P在第一象限，∵∠BMA=30°，∠AMP=60°，∴∠PMB=900，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（■，4）.由點(diǎn)P在二次函數(shù)y=-x2+mx+m-9的圖象上，得m=4；②點(diǎn)P在第三象限，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-■，-2）.由點(diǎn)P在二次函數(shù)y=-x2+mx+m-9的圖象上，得m=-5.綜上所述，m=4或m=-5.

說明：此題易錯(cuò)處是考慮不周，第⑶問沒有分類討論，做此類題應(yīng)多加注意。

練習(xí)：如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，3）.

（1）一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)P、Q在直線AB的同側(cè)，且直線PQ與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于3，若△PAB和△QAB的面積都等于3，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，其頂點(diǎn)C在x軸上方且在直線PQ上，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

（3）若使⑵中所確定的拋物線的開口方向不變，頂點(diǎn)C在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到C′時(shí)，拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)。

三、方程與函數(shù)的綜合題

這類問題主要是溝通了二次方程與二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是抓住二次方程的有關(guān)理論與二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合，就能尋找到解題的途徑。

例3已知拋物線y=x2-mx+2m-4.⑴求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有交點(diǎn)；⑵當(dāng)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在y軸左側(cè)，B在y軸右側(cè)），且OA與OB的長(zhǎng)的比為2：1，求m的值.

分析：拋物線與x軸有無交點(diǎn)的問題，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無實(shí)數(shù)根的問題，應(yīng)由根的判別式△=b2-4ac解決；問題⑵可以歸結(jié)為一元二次方程有一正一負(fù)兩根且兩根的比的絕對(duì)值等于2：1的問題，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決。

解：⑴因△=（-m）2-4（2m-4）=（m-4）2≥0，故不論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有交點(diǎn).（2）設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，依題意，得：

x1=-2x2，x1+x2=m，x1·x2=2m-4，m<0

解之，得m=-2.

說明：把二次函數(shù)的某些問題轉(zhuǎn)化為求解一元二次方程的有關(guān)問題，是一種常用的解題思路。二次方程與二次函數(shù)既有區(qū)別，又有聯(lián)系，要善于把二者結(jié)合起來思考，往往能使問題迎刃而解。

練習(xí)：如圖所示，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a>b，且a、b是方程■+■=1的兩個(gè)根.P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在PC或其延長(zhǎng)線上，BP=PQ，作以PQ為一邊的正方形PQRS.點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)BP=xcm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為ycm2.

（1）求a和b；

（2）分別求出0≤x≤2和2≤x≤4時(shí)，y和x之間的函數(shù)關(guān)系式.

總之，同學(xué)們對(duì)這類綜合性數(shù)學(xué)題要掌握思路，多做練習(xí)，熟能生巧，巧能生智。在積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)之后，必有一種高屋建瓴的感覺，大大提升攻克難題的信心。