求最短路徑問題的策略與方法

摘 要：求最短路徑問題是歷年數學中考中的常見題型，常在中檔題和壓軸題中出現。2015年全國各地中考數學試題中，此類問題更是呈現形式多樣，考法豐富多彩，較好地考查了學生綜合運用數學知識靈活解決問題的能力。求最短路徑問題常常以求兩條線段之和最小值的形式出現，以基本事實“兩點之間線段最短”建立的具體數學模型，是解決最短路徑問題的依據。探尋解題策略、尋找轉化方法是解決此類問題的關鍵。具體解決問題時的通性通法是：定點移位；獲得等線；運用模型，化二為一；根據題設，求出結果。基本事實“兩點之間線段最短”，簡潔明了，淺顯易懂，簡單結論之中蘊含著大智慧。因此，我們的教學應該做到“知其事，明其理，用其魂”。

關鍵詞：基本事實；數學模型；策略方法；轉化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）36-0053-06

求最短路徑問題是歷年數學中考中的常見題型，在選擇、填空和解答題中均有體現，其靈活多變的考查形式，較易與其他知識融合的顯著特點，受到許多命題者的青睞。

在中考數學試題中，求最短路徑問題常常以求兩條線段之和最小值的形式出現，并以特殊三角形、特殊四邊形和函數圖象等初中數學中的核心知識為載體，以考查學生靈活運用轉化、化歸等數學思想方法為目的，通過操作探究、推理論證、靈活求解的方式來解決問題。此類問題的解決是以基本事實“兩點之間線段最短”為依據，以探尋轉化方法為核心，實現對學生綜合運用數學知識解決問題能力的全面考查。此類題目充滿了探究性和思辨性，常常在中檔題和壓軸題中出現。

如何利用基本事實“兩點之間線段最短”，解決最短路徑問題呢？

一、建立數學模型

基本事實“兩點之間線段最短”，從宏觀上說明了“兩點之間的所有連線中，線段最短。”在解決問題時，此基本事實常常以下面的具體模型呈現：

數學模型：如圖1，已知點A、點B在直線l 的兩側，點P是直線l上的一個動點，連接AB、PA、PB，則有PA+PB≥AB。

根據“兩點之間線段最短”這一基本事實可知：PA+PB≥AB，即當點P與AB和直線l的交點O重合時，PA+PB=OA+OB的值最小，最小值即為線段AB的長。因此，在求兩條動線段之和的最小值時，我們只要能夠將兩條線段轉化為一條線上的一個動點到兩個定點（在這條線的兩側）的兩條線段之和的形式，就可以直接應用這個數學模型來解決問題。

二、應用數學模型

結合2015年全國各地中考數學試卷中，有關求最短路徑問題的部分題目，探究解決此類問題的具體策略與方法。

（一）單動點類問題

單動點類問題是指一個點在一條直線上運動，求它到兩個定點距離之和的最小值問題。在此類中考數學試題中，給出的兩個定點常常是在已知直線的同側。解決此類問題，常用的方法是：將其中的一個定點轉移到動點所在直線的另一側，使其滿足動點到該定點和轉移后的點之間的距離相等，這樣就可運用這個數學模型，將求兩條線段之和的最小值問題，轉化為求一條線段長度的問題。

通性通法：（1）定點移位：根據軸對稱的性質，過其中一個定點作線段，使動點所在的直線是所作線段的垂直平分線；（2）獲得等線：根據線段垂直平分線的性質定理，動點到所作線段兩端點的距離相等；（3）運用模型，化二為一：根據基本事實的具體數學模型，連接另一定點和所作線段的新端點，所得線段的長即為所求兩條線段之和的最小值；（4）根據題設，求出結果。

1.特殊三角形為背景

【原題再現】例1（2015·四川攀枝花第15題）：如圖2，在邊長為 2 的等邊△ ABC 中，D 為 BC 的中點，E 是 AC 邊上一點，則 BE+DE 的最小值為 。

【探究方法】本題屬于直接求兩條線段之和的最小值問題，且兩定點B、D在動點E所在線段AC的同側，因此，可分兩大步驟解決問題：（1）轉化：因為點B是等邊△ ABC的一個頂點，AC是點B的對邊，根據等腰三角形的性質（三線合一），過點B作BO⊥AC，垂足為O，延長BO到點B′，使OB′=BO，則有AC和BB′互相垂直平分，連接EB′，則有B′E=BE；連接DB′，則線段DB′的長即為BE+DE 的最小值（如圖3）。（2）求值：如圖3，過點D作DG⊥AC，垂足為G，設DB′交AC于點F，則有Rt△DFG ∽Rt△B′FO，易得，OB′=BO=■×2=■， OG=■OC=■AC=■，DG=■BO=■OB′。根據相似三角形的性質，得■=■=■，所以OF=2GF=■OG=■，在R△ B′FO中，FB′=■=■■，所以DF=■FB′=■■，故DB′=■。

【思維拓展】（1）如果將點D轉移到直線AC的另一側，應如何作出所求的線段并求得結果呢？（2）你能直接求出DB′的長度嗎？試試看。（事實上，過點B′作B′H⊥BC，交BC的延長線于點H，構造出Rt△ B′DH，解此直角三角形即可。）

2.特殊四邊形為載體

（1）正方形

【原題再現】例2（2015·貴州安順第17題）：如圖4，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE=1，F為AB上的一點，AF=2，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為 。

【探究方法】（1）轉化：因為正方形是關于對角線所在直線對稱的軸對稱圖形，所以作點E關于對角線AC所在直線的對稱點E ′，點E ′落在BC的對應線段CD上，連接E ′F，則E ′F即為所求。（如圖5）。（2）求值：如圖5，過點F作FG⊥CD，垂足為G，易得，DE′=BE=1，DG=AF=2，FG=AD=4，所以在Rt△FGE′ 中，GE′=DG-DE′=1，根據勾股定理，得E′F=■。

【思維拓展】（1）如果將題目中的條件“F為AB上的一點，AF=2”改為“F為邊AB上的一點，且F點到邊AB端點的距離為1”時，其他內容不變，結果又如何呢？

（2）矩形

【原題再現】例3（2015·湖北孝感第16題）如圖6，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2。對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G。

有如下結論：

① ∠ABN=60°； ②AM=1；

③■； ④△BMG是等邊三角形；

⑤P為線段BM上一動點， H是BN的中點，則PN+PH的最小值是■。

其中正確結論的序號是 。

【探究方法】在本題所給的五條結論中，我們重點對結論⑤進行探究。在①中，連接AN（如圖7），易得△ABN為等邊三角形，所以∠ABN=60°，故①正確；在②中，易求出AM=■，所以②不正確；在③中，易得BN是MG的垂直平分線，QN是△MBG的中位線，所以BG=BM，QN=■，所以③不正確；在④中，易得∠BMG=60°，BG=BM，所以△BMG是等邊三角形，故④正確；在⑤中，由于定點H，N在折痕BM的同側，動點P在BM上，所以應先“轉移定點”。因為H，E兩點是等邊△ABN兩邊的中點，因此H，E兩點關于折痕BM對稱，連接PE（如圖7），則有PE=PH，根據基本事實的具體數學模型，當點P與點Q重合時，PN+PH取得最小值，即線段NE的長就是PN+PH的最小值；其次求值。因為NE是邊長為2的等邊△ABN邊AB上的高，所以PN+PH的最小值為2×■=■，故⑤正確。所以本題答案是①，④，⑤。

【思維拓展】如果將結論⑤改為“P為線段GM上一動點，H是BN的中點，則PQ+PH的最小值是■。”結論⑤還正確嗎？（提示：不正確，此時PQ+PH的最小值是■。）

3.函數圖象為依托

（1）拋物線

同拋物線相結合的最短路徑問題，常常是綜合類試題中所考查的部分內容，一般情況下，雙定點選取拋物線與坐標軸的交點，動點在拋物線的對稱軸上。

【原題再現】例5（2015·廣西柳州第26題）如圖8，已知拋物線y=-■（x2-7x+6）的頂點為M，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸相交于點C。

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出頂點M的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點R的坐標；

（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點P（點P在對稱軸的左側），求證：直線MP是⊙N的切線。

【探究方法】重點探究解決（2）的策略和方法。（1）y=-■（x-■）2+■，M（■，■）；（2）A，C兩定點是拋物線與坐標軸的交點，且在對稱軸x=■的左側，動點R在對稱軸上。①轉化：根據拋物線的對稱性，A點關于直線x=■對稱點是B點，連接BC（如圖9），由基本事實的具體數學模型可知，BC與對稱軸的交點即為R，連接AR，此時CR+AR的值最小，其最小值為線段BC的長。②求值：根據拋物線的解析式，求出點A、B、C的坐標，易得A（1，0），B（6，0），C（0，-3）。在Rt△OBC 中，根據勾股定理，求出BC=■=■=3■；再利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=■x-3，當x=■時，y=-■，所以點R的坐標為（■，-■）。（3）略。

（2）雙曲線

同雙曲線相結合的最短路徑問題，也常常是綜合類試題中所考查的部分內容，一般情況下，雙定點在雙曲線上，動點在坐標軸上。

【原題再現】例6（2015·四川成都第19題）如圖10，一次函數y=-x+4的圖象與反比例函數y=■（k為常數，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點。

（1）求反比例函數的表達式及點B的坐標；

（2）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積.

【探究方法】（1）y=■，B（3，1）。（2）A，B兩點是在x軸上方雙曲線上的兩個定點，動點P在x軸上。①轉化：作點B關于x軸的對稱點B′（如圖11），得到B′（3，-1），連接AB′，由基本事實的具體數學模型可知，AB′與x軸的交點即為點P，連接PB，此時PA+PB=AB′，其值最小。②求值：易得直線AB′的解析式為y=-2x+5：，當y=0時，得x=■，所以，滿足條件的點P的坐標為（■，0）。設y=-x+4交x軸于點C，則C（4，0），所以，S△PAB=S△APC-S△BPC=■。

【思維拓展】如果將（2）中“在x軸上找一點P”改為“在y軸上找一點P”，其他內容不變，應如何求解呢？（答案：B（0，■），S△PAB=■。）

（二）雙動點類問題

雙動點類問題是指兩條線段各有一個端點或一條線段的兩個端點分別在兩條線上運動，求兩條線段之和的最小值問題。雖然此類中考數學試題，仍然需要運用上面的數學模型來解決，但是，轉化到數學模型的過程需要學生具備扎實的數學基本功，以及靈活運用數學知識解決問題的能力和一定的創新意識。

1.兩條線段各有一個端點在不同線上運動

【原題再現】例7（2015·天津第15題）在每個小正方形的邊長為1的網格中。點A，B，C，D均在格點上，點E、F分別為線段BC、DB上的動點，且BE=DF。

（1）如圖12-1，當BE=■時，計算AE+AF的值等于 。

（2）當AE+AF取得最小值時，請在如圖12-2所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出線段AE，AF，并簡要說明點E和點F的位置如何是找到的（不要求證明） 。

【探究方法】（1）根據直角三角形的性質，易得AE+AF=■。（2）為解決問題（Ⅱ），我們先來探究：去掉（Ⅱ）中的格點背景，如何用尺規作圖的方法畫出線段AE和AF。

如圖13，在矩形ABCD中，點E、F分別為BC、DB上的動點，且BE=DF。當AE+AF取得最小值時，用尺規作圖畫出線段AE和AF。

① 畫線段AE。如圖13，延長DC到點D ′，使CD′=DC，連接BD′，則有∠CBD ′=∠CBD=∠ADB。以點B為圓心，DA長為半徑畫弧，交BD′于P點，即BP=DA。連接AP，則AP與BC的交點即為AE+AF取得最小值時點E的位置。理由：當點E在BC邊上的不同位置時（分別連接AE和PE），因為BE=DF，所以△BEP≌△DFA，所以PE=AF恒成立，這就實現了將兩個動點重合，兩個定點分別在動點所在直線兩側的目的，因此，根據基本事實的具體數學模型，當點E與AP、BC的交點重合時，AE+AF取得最小值。

② 畫線段AF。如圖13，在射線DC上截取DQ=DA，過Q點作QR⊥DQ，在射線QR上截取QR=AB，連接DR，在DR上截取DG=AB，連接AG，則AG與DB的交點即為AE+AF取得最小值時點F的位置。請你嘗試說明理由。

下面解決原題中的（Ⅱ）。如圖14，取格點H，K，連接BH，CK，相交于點P，連接AP，與BC相交，得點E，取格點M，N，連接DM，CN，相交于點G，連接AG，與BD相交，得點F，線段AE，AF即為所求。

【思維拓展】結合在無格點背景下，用尺規作圖找E、F兩點的方法，請你說明在圖14中，確定點E和點F的方法是正確的。

2.一條線段的兩個端點在不同線上運動

【原題再現】例8（2015·湖北黃石第25題）如圖15-1和圖15-2，已知雙曲線y=■（x>0），直線l1：y-■=k（x-■）（k<0）過定點F且與雙曲線交于A，B兩點，設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

（1） 若k=-1，求△OAB的面積S；

（2） 若AB=■■，求k的值；

（3）設N（0，2■），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取最小值時P點的坐標。

（參考公式：在平面直角坐標之中，若A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點間的距離為AB=■）

【探究方法】（1）S=2■；（2）k=-2或k=-■。（3）P點在雙曲線上，M、N兩點在雙曲線的同側。① 轉化：l1：y-■=k（x-■）（k<0）過定點F，對于直線l1，無論k取何值，都有x=■時，y=■，所以知F（■，■）。又點P在雙曲線上，可設P（x，■），則M（-■+■，■），連接PF（如圖16），所以PF=■=■，即PF=■=x+■-■=PM，所以PM+PN=PF+PN。連接NF（如圖16），NF交雙曲線于P ′點，根據基本事實的具體數學模型可知，當點P與點P′重合時，PM+PN取得最小值，最小值是線段NF的長，易得NF=2。此時NF所在的直線方程為y=-x+2■，由（1）知點P與點A重合，即P（■-1，■+1），所以，PM+PN最小值是2，此時P點的坐標是（■-1，■+1）。

【思維拓展】本題屬于變式運用基本事實的具體數學模型。事實上，在基本事實的具體數學模型中，無論條件怎樣給出，只要能夠將具有公共動端點的兩條線段，轉化成動點到動點所在線兩側兩個定點距離之和的形式，均可使用這個具體數學模型，來解決與兩條線段之和距離最短的相關問題。

三、教學建議

基本事實“兩點之間線段最短”，簡潔明了，淺顯易懂，簡單結論之中蘊含著大智慧。因此，我們的教學應該做到“知其事，明其理，用其魂”。

知其事：在初中階段的圖形與幾何中，“兩點之間線段最短”是我們首先要學習的基本事實之一。聯系生活實際，結合簡單圖形，學生較易獲得這一基本事實。

明其理：要真正理解這一基本事實，需要師生一起結合具體實例來完成。如，證明“三角形兩邊之和大于第三邊”就有助于加深對這個基本事實的理解，其中教師的教學方式（引導學生用其所知，解己所惑）卻起著至關重要的作用！

用其魂：靈活運用這一基本事實解決具體問題，教材在“軸對稱”中給出了求兩條線段之和最小值問題的范例，不管是哪個版本的教材，其范例原型均與“將軍飲馬”問題有關。因此，在具體教學時，不妨用“將軍飲馬”問題導入，既具有較好的趣味性，又能緊扣主題，突出重點。

教學時要讓學生親身經歷從實際問題抽象出數學問題的過程，并嘗試建立與這一基本事實的聯系。教師要為學習困難的學生搭建“橋梁”，助其領會基本事實的內涵和掌握解決具體問題的策略與方法。

總之，掌握運用基本事實解決求兩條線段之和的最小值問題的策略和方法，還必須結合恰當的具體教學內容，及時滲透，經常運用。例如，在進行特殊三角形、特殊四邊形、函數和圓的有關知識的教學時，要不失時機地添加相關內容，要將運用這一基本事實解決具體問題常態化、系列化，并及時歸納提升。特別是在初三復習時，不僅要在每個專題中適時滲透，同時還要進行專題訓練，確保實現學生對此類問題的真正理解和掌握。