八年級數(shù)學(xué)典型錯(cuò)題的分析

【摘 要】目前針對學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)題的研究基本都是站在課堂教學(xué)的立場，從數(shù)學(xué)概念本身的角度分析學(xué)生的錯(cuò)誤原因。現(xiàn)實(shí)是，學(xué)生很多錯(cuò)誤的形成還存在心理因素。本文搜集、調(diào)查、整理學(xué)生在八年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最初學(xué)習(xí)新知識時(shí)容易重復(fù)的錯(cuò)誤，以及后期階段測試中得分率仍比較低的錯(cuò)題。對于每個(gè)錯(cuò)誤，找學(xué)生訪談，了解學(xué)生的真實(shí)想法，找出學(xué)生不同知識點(diǎn)的錯(cuò)誤中存在的內(nèi)在共同點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】八年級數(shù)學(xué) 典型錯(cuò)誤

一、 學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識初期的錯(cuò)誤類型

學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時(shí)對某些概念表現(xiàn)出不能接受的抵觸而反復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤。具體分類如下：

1.對字母表示數(shù)的正負(fù)存在錯(cuò)誤觀念。

有部分學(xué)生頑固地認(rèn)為沒有出現(xiàn)負(fù)號的式子的值為正數(shù)，如“a”為正數(shù)，而出現(xiàn)負(fù)號的式子的值就為負(fù)數(shù)，如“-a”為負(fù)數(shù)。實(shí)質(zhì)上，學(xué)生強(qiáng)烈抵制“字母即一般（或概括）的數(shù)”這個(gè)觀點(diǎn)。這個(gè)錯(cuò)誤觀念不糾正，他們常常會本能地出現(xiàn)有關(guān)字母正負(fù)號的錯(cuò)誤。

舉例：（a<0）=a=a。學(xué)生雖然知道，但是他仍然本能地認(rèn)為結(jié)果是“a”，忽視題目中已經(jīng)給定的“a<0”的條件。

2.把符號“”與“平方根”混淆起來。

一些學(xué)生在認(rèn)識“是一個(gè)無限小數(shù)”時(shí)就會產(chǎn)生抵觸，甚至他們根本沒辦法接收“是一個(gè)數(shù)”的事實(shí)。于是在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，他們對符號“”意義的理解就發(fā)生了偏差。部分學(xué)生經(jīng)常把“”與“平方根”等同起來。比如：“=±2”，學(xué)生把“”理解為“4的平方根”，所以他認(rèn)為結(jié)果為“±2”。又比如：解方程“x2=2”時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會只寫一個(gè)結(jié)果“x=”，表面上看，他是漏了一個(gè)解，但是如果問他“有幾個(gè)解”時(shí)，他往往明確地回答“2個(gè)解”，說明他潛意識認(rèn)為“”就是“2的平方根”，包含了正負(fù)兩個(gè)值。

3.在函數(shù)中把表示變量的字母理解為某個(gè)數(shù)。

學(xué)生趨向于把函數(shù)和代數(shù)公式聯(lián)系起來，他們不能把函數(shù)解析式中表示變量的字母看成是變量，只是把它看成是代數(shù)公式中的字母，或者是方程中的未知數(shù)，它代表著某個(gè)數(shù)，只是這個(gè)數(shù)現(xiàn)在不知道而已。以至于他們不能把函數(shù)解析式與函數(shù)圖像有機(jī)地結(jié)合起來。

比如，畫出y=5x（0≤x≤4）的函數(shù)圖像，學(xué)生往往不考慮自變量的取值范圍，把它畫成一條直線，說明圖像與自變量的取值范圍之間的聯(lián)系，他們并沒有建立起來。

4.對命題中的因果關(guān)系存在邏輯錯(cuò)誤。

對于命題中的條件與結(jié)論分別是什么，學(xué)生通常處于霧里看花的朦朧狀態(tài)，經(jīng)常把條件與結(jié)論混淆。

比如，一元二次方程根的判別式與根的情況的關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，其中包含兩種因果關(guān)系：

第一種是利用根的判別式，不解方程，就可以判斷一個(gè)一元二次方程根的情況；

第二種，反過來，知道根的情況來判斷根的判別式的情況。

但是學(xué)生不能分清這兩種的區(qū)別，習(xí)慣性地使用應(yīng)用比較多的第二種推斷來做題。

舉例：試判斷關(guān)于x的方程x2+ax+a=1是否一定有實(shí)數(shù)根，并說明理由。

學(xué)生通常認(rèn)為此題告知的是“方程有實(shí)數(shù)根”，要自己“求出字母a的取值范圍”。解：∵方程x2+ax+a=1有實(shí)數(shù)根，

∴△b2-4ac=a2-4（a-1）=a2-4a+4=（a-2）2≥0，

∴a是一切實(shí)數(shù)。

正確解答：∵△b2-4ac=a2-4（a-1）=a2-4a+4=（a-2）2≥0，

∴方程x2+ax+a=1一定有實(shí)數(shù)根。

5.分類討論產(chǎn)生困難。

學(xué)生知道有“分類討論”這個(gè)詞，但是他們不知道什么情況下要討論，為什么要討論，即使知道此題要討論，他們也很難找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，即不知道怎么討論。

舉例：已知菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°，一條對角線長為6，那么菱形的邊長為 。

學(xué)生典型錯(cuò)誤：“6”；漏了另一個(gè)解“2”。

學(xué)生通常不去追究“一條對角線長為6”，到底指“哪條對角線”，然后在“趨易避難”心理的驅(qū)使下，選擇了比較容易計(jì)算的那種情況，算出答案。

正確的分類如下：

二、學(xué)生在復(fù)習(xí)階段的錯(cuò)誤類型

本次研究抽取了八年級第二學(xué)期三次校際統(tǒng)一測試、統(tǒng)一批改的學(xué)生試卷來進(jìn)行重點(diǎn)分析，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過教師的講解、學(xué)生的作業(yè)訓(xùn)練以及早期的錯(cuò)誤糾正，學(xué)生原有的錯(cuò)誤情況有了一些改善，但是有的問題仍舊存在，隨著綜合性問題的出現(xiàn)，學(xué)生產(chǎn)生了新的困難。我們提取得分率比較低的題目，再次針對學(xué)生錯(cuò)誤存在的內(nèi)在共同點(diǎn)，從認(rèn)知心理活動進(jìn)行分析與分類。

1.不能正確理解概念。

八年級學(xué)生會把概念“方程的增根”與“方程的根”、符號“”與“平方根”混淆起來。同時(shí)他們也經(jīng)常把命題的條件和結(jié)論的因果關(guān)系混淆起來。

舉例1：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期中考試第17題：使分式方程-2=產(chǎn)生增根的k的值是 。

此題正確答案是k=±3，得分率為68%。學(xué)生一般只答一個(gè)解。

舉例2：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)5月月考第9題：方程x3-2x=0的解是 。正確答案：x1=0，x2=，x3=-，得分率為79%。

2.不能把自然語言轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的數(shù)學(xué)符號語言。

學(xué)生不能全部接納同一個(gè)意義的不同表征形式，以至于不能順利建立不同形式的等價(jià)命題之間的聯(lián)系，從而不能自如地進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。

舉例1：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期中考試第6題：已知，函數(shù)y=-2x+3，當(dāng)x 時(shí)，該函數(shù)在x軸上方。

學(xué)生就是不能把“函數(shù)在x軸上方”正確轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言“y>0”，說明“函數(shù)在x軸上方”與“y>0”這兩個(gè)概念在這些學(xué)生的思維中沒有建立概括性的關(guān)系。其實(shí)，在此題中這是相等的兩個(gè)概念。

3.不能把概念靈活運(yùn)用到不同的情境中。

學(xué)生通過學(xué)習(xí)訓(xùn)練，能在一般常見的情境中運(yùn)用所學(xué)的概念解決問題，然而當(dāng)題目提供的情境比較少見或者比較抽象時(shí)，學(xué)生就不知所措。

舉例：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期中考試第7題：若點(diǎn)P（-2，m）、Q（2，n）是直線y=（m2+1）x+b（b是常數(shù)）上的兩點(diǎn)，則m、 n大小關(guān)系是 。

平時(shí)學(xué)生常見的題目表述比較直接，通常會問“函數(shù)y=（m2+1）x+b（m、b是常數(shù)）隨著x的增大而 。”那么學(xué)生會比較肯定地回答“增大”。

此題的情境比較抽象，學(xué)生看見字母多的問題，本身就有不能駕馭的不自信，而且此題涉及的概念也比較多。第一，“m2+1，是個(gè)正數(shù)”；第二，“一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）當(dāng)k>0時(shí)，y隨著x的增大而增大”；第三，“若點(diǎn)P（-2，m）、Q（2，n）是直線y=（m2+1）x+b（b是常數(shù)）上的兩點(diǎn)”，即“當(dāng)x=-2”時(shí)，y=m；x=2時(shí)，y=n。

4.不能客觀審視自己的解題過程，從中發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤。

很多學(xué)生只靠本能來做題，做完題目后，他們就很少主動地去審視自己有沒有正確理解題意、計(jì)算過程是否正確，要解決的這個(gè)問題需要用到哪個(gè)概念，要注意哪些事項(xiàng)，等等。

舉例：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期中考試第4題：若多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，則從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線有（ ）。

A.7條 B.8條 C.9條 D.10條

此題正確答案應(yīng)該是C，得分率只有50%。很多學(xué)生選D。

通過訪談，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都能正確計(jì)算出這是一個(gè)十二邊形，但是在計(jì)算對角線條數(shù)時(shí)，他們忘了要去掉原先的這個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)轫旤c(diǎn)與它自身不能連接成對角線。這個(gè)錯(cuò)誤就好像小學(xué)生數(shù)人數(shù)時(shí)忘記數(shù)自己一樣經(jīng)典。

5.對難度稍大的題目的恐懼情緒抑制思維活動。

很多學(xué)生一看見文字比較多的應(yīng)用題、圖形比較復(fù)雜的幾何題以及綜合性強(qiáng)的壓軸題，就產(chǎn)生了恐懼情緒，就會厭煩，而懶得認(rèn)真思考，只能自動放棄。幾乎每份試卷的這些題型的得分率都比較低，學(xué)生也經(jīng)常會在此開天窗。然而當(dāng)他人講解解題方法時(shí)，他們一樣感覺原來方法挺簡單，埋怨自己考試時(shí)怎么就想不出來。

舉例1：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期末試卷第23題：用一張直角邊長為4cm的等腰直角三角形紙片，剪出一個(gè)面積盡可能大的正方形。甲、乙兩位同學(xué)分別按照方案一、方案二進(jìn)行裁剪，記正方形EDFC的面積為S1，正方形MNGH的面積為S2。

（1）請你通過計(jì)算，直接寫出S1與S2的大小；

（2）比較S1與S2的大小。

此題滿分7分，得分率為77.5%，正確答案為S1=4，S2=，S1>S2。

學(xué)生錯(cuò)誤情況：有11人得3分，只能計(jì)算對S1=4；有2人得4分，計(jì)算對S1=4，能判斷出S1>S2；有1人得1分，只能猜測出S1>S2；有1人得0分。

此題表現(xiàn)形式是一個(gè)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是計(jì)算面積，而且不用寫出計(jì)算過程，只需寫出答案，也就是說學(xué)生可以用各種方法（比如小學(xué)學(xué)過的割補(bǔ)法、八年級學(xué)的勾股定理等）來解決，然而在這樣的文字表述下，很多同學(xué)放棄了計(jì)算S2。

6.相同的練習(xí)過多導(dǎo)致習(xí)慣性錯(cuò)誤。

在一段時(shí)間內(nèi)，如果對同一個(gè)概念用同一種情境同一種表述形式來連續(xù)地訓(xùn)練學(xué)生的話，那么當(dāng)問題題意突然發(fā)生微小的變化時(shí)，學(xué)生往往會輕易地忽略掉變化，習(xí)慣性地解答而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

舉例：2010學(xué)年八年級數(shù)學(xué)期末試卷第3題：對于非零向量，下列命題中假命題是（ ）。

在考前復(fù)習(xí)階段的測試中，沒有出現(xiàn)過選擇“錯(cuò)誤答案”的選擇題。很多學(xué)生反映說此題沒有看清題意，以為是選擇“真命題”，所以考試時(shí)看見一個(gè)肯定正確的答案就選上了。因?yàn)槠綍r(shí)選擇題是要求選擇正確答案的居多，習(xí)慣使然。

（作者單位：上海市松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院）