以數形結合促學生發展

華羅庚先生曾作一首著名的小詩描述數形結合思想：數形本是相倚依，怎能分作兩邊飛;數缺形時少直覺，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休;幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。這首詩向我們深刻地描繪了數形之間的和諧。

數、形是數學中兩大基本概念之一，可以說全部數學大體上都是圍繞這兩個基本概念的提煉、演變、發展而展開的。“數”和“形”是緊密聯系的。我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質時，又往往離不開“數”。“數形結合”的思維方法，便是理論與實際的有機聯系，是思維的起點，是兒童建構數學模型的基本方法。

一、由數及形，以形助數

美國著名數學家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以轉化為圖形，那么，思想就整體把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”對于表面上屬于代數類的問題，充分利用“形”把其中數量關系的幾何特征形象地表示出來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，化抽象為直觀，以形助數，使問題獲解。

例如：在進行三年級“加減乘除整理”教學時，老師問學生：加數相同時可用乘法計算，不同的加數相加時可以用乘法計算嗎？比如2+4+6=？

老師適時出示如下左圖，學生經過思考討論，認為可以將圖中的小方塊進行“移多補少”，將最下面的6個方塊中移2個給上面，這樣每排都是4個小方塊，即右圖，可以看出是“3個4”，能用4×3=12這樣的乘法算式進行計算。

在這里，圖形起到了關鍵性的作用，將抽象的“數”轉化成直觀的“形”，學生通過對“形”的充分觀察思考，能很輕松愉悅地理解不同加數相加（有特定要求）轉化為乘法的算理。在這里，學生不僅感悟了數形結合思想的魅力，還感悟了轉化的思想、移多補少的方法等。

二、由形及數，以數解形

用數形結合策略表示題中量與量之間的關系，可以達到化繁為簡、化難為易的目的。“數形結合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。它是小學數學教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。

例如：原蘇教版小學數學三年級上冊第45頁思考題：

媽媽的年齡是小芳的4倍，媽媽比小芳大27歲，媽媽和小芳各多少歲？

這種題對于三年級學生來說，往往較難解決，但如果老師能夠充分重視引導學生在讀懂題目的基礎上，畫出線段圖，則大部分學生都能夠很順利地解決。

從線段圖中，我們可以形象地看出，小芳的年齡用1份線段表示，媽媽的年齡就可以用這樣的4份表示，媽媽比小芳大的27歲則是這樣的3份，由此可以引導學生求出1份線段表示的年齡是：27÷3=9（歲），即小芳的年齡是9歲，媽媽的年齡則是：9×4=36（歲）。

運用數形結合使數量之間的內在聯系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，根據問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易。能調動學生主動積極參與學習，能提高學生的思維能力。

三、數形結合，提升思維

兒童的認識規律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學概念的過程。表象介于感知和形成科學概念之間，抓住這中間環節，在幾何初步知識教學中，發展學生的空間觀念，培養初步的邏輯思維能力，具有十分重要意義。

例如：原蘇教版小學數學六年級上冊第15頁例4：

做一個長6厘米、寬5厘米、高4厘米的長方體紙盒，至少要用多少平方厘米硬紙板？（圖略）

教師引導學生借助圖形直觀分析，要求“至少要用多少平方厘米的硬紙板”就是求該長方體的表面積，也就是求6個面的面積總和。從而引導學生得出：分別求出3組相對的面的面積，再相加，列式：

6×5×2+6×4×2+4×5×2

也有學生提出：六個面可以分為2組，先分別求出每組中一個面的面積，相加后再乘2，列式：

（6×5+6×4+4×5）×2

這時，老師引導學生觀察：這兩種解法在算理上有什么聯系？經過討論，一致認為這兩個算式可以用乘法分配律進行解釋，從而進一步增強了“形”與“數”“數”與“數”之間的內在聯系。在此基礎上，抽象出求長方體表面積的數量關系模型：長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2或（長×寬+長×高+寬×高）×2。使圖形問題的解決更加簡捷。

數形結合，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形聯系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數和形之間的內在聯系，實現抽象概念和具體形象、表象之間的轉化，發展學生的思維。

在小學階段，教師如果能從每個細節入手，千方百計地讓數形結合思想在課堂教學中有效滲透，使學生從小打好基礎，形成自覺意識，這對學生將來進入更高的學習會有很大的幫助，也是學生終往受益的寶貴財富。