高中數學教學中函數的作用芻議

[摘 要]函數是高中數學的重要構成部分，其和多個方面的知識都有緊密聯系，對許多題目解題都有十分重要的作用。函數教學難度較高，學生理解掌握速度較慢、程度較低。在教學過程中，需要明確函數的重要作用，并以此展開教學，才能使函數教學獲得更加明顯的效果。本文結合高中函數的基本特點，對函數作用進行深入分析，以期促進高中函數教學。

[關鍵詞]高中數學；函數；特點；作用

高中函數一般具有四個性質特點，即具有單調性、奇偶性、對稱性和周期性。理解把握函數知識，可以從函數的這四個特點出發，結合實際例子進行深入分析理解。

一、函數單調性的作用

單調性是函數的基本特性之一，主要意義是指函數在一定區間內會表現出單調遞增或是單調遞減的性質，這一性質即稱為單調性。比如，對于函數f（x）而言，如果存在任意兩個值x1和x2，且x1f（x1）恒成立，則說明函數f（x）在值域[x1，x2]范圍內是單調遞增的，這一值域也稱為函數的單調區間。在高中數學中，有關函數單調性的題目主要有三類：一是證明函數在給定區間的單調性；二是判斷函數在給定區間的單調性；三是求函數的單調區間。這三類題目均可以運用函數單調性的相關知識進行解決。舉例來說，試證明函數f（x）=x3+2在R上是增函數。對于這個問題，其具體解答過程如下：

證明：設R上有任意兩個實數x1和x2，且x1

f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）

對后邊括號的式子進行配方可以得出原式=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22]。

由于x10

所以可以得出f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

二、函數對稱性的作用

對稱性在課本中其實沒有進行專門研究，但是這一性質確實又有較為廣泛的應用，所以在實際教學或學習過程中，應當對函數的對稱性進行靈活應用，以便提升對相關題目的解答能力你。對于普通的二次函數而言，其對稱軸為x=，在對稱軸兩側，函數的單調性完全相反。關于對稱性具有幾個基本理論。

定理一：函數y=f（x）的圖像在點A（a、b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b。

定理二：函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x）

此外還有許多其他推論暫且不做詳細介紹，此處對定理一進行簡單證明。

證明：設y=f（x）的圖像上有點P（x，y），點P關于點A（a，b）的對稱點P1（2a-x，2b-y）也落在y=f（x）的圖像上。

則2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b

可得f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得到證明。

再證明充分性，設點Po（xo，yo）是函數圖像上的任意一點，則yo=f（xo）

因為f（x）+f（2a-x）=2b，則

f（xo）+f（2a-xo）=2b，即2b-yo=f（2a-xo）

由此可得點（2a-xo，2b-yo）也落在y=f（x）的圖像上，則點（2a-xo，2b-yo）和點P是關于點A對稱的，則充分性得證。

通過定理一的證明，實際也可以看出函數對稱性的實際應用，通過設出對稱點，運用對稱性的相關定理推論就可以有效解決相關問題。

三、函數周期性和奇偶性的作用

周期性是指函數在一定區域內出現規律性的變化，一個完整的變化規律稱之為變化周期。具有周期性性質的函數主要是三角函數，尤以正弦函數和余弦函數兩類為主。比如，對于正弦函數f（x）=sinx，其周期是2π；對于余弦函數f（x）=cosx。其周期也是2π。正弦函數和余弦函數的變化規律完全相同，函數圖像的峰值相差π/2個周期。三角函數在高中數學中涉及的方面較多，也是高考的必考內容之一，具有很強的實用性。周期函數的書面定義是：對于函數y=f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得在函數的定義域內，具有f（x+T）=f（x）的變化規律時，則說明函數f（x）是以T為周期的周期性函數。

而奇偶性也是函數周期性的另一種表現，都又和周期性具有一定的區別。從奇偶性的性質來說，對f（x）的任意值x而言，如果有f（-x）=-f（x），則說明函數f（x）是奇函數；如果有f（-x）=f（x），則說明函數f（x）為偶函數。簡單來說，奇函數關于原點形成對稱，偶函數關于y軸形成對稱。

比如，有這樣一道題目：f（x）是定義在R范圍內的函數，已知其能夠滿足f（10+x）=f（10-x），且有f（20-x）=-f（20+x），求f（x）的周期及奇偶性是多少。對于這個題目，乍一看之下比較復雜，但只要仔細分析所給出的兩個滿足條件，就可以看出f（20+x）=f[10+（10+x）]=f[10-（10+x）]=f（-x），則同理可得f（20-x）=f[10+（10-x）]=f（x）可以得出f（x）=-f（-x），則說明函數f（x）是奇函數，且其周期為40。

四、結語

函數在高中數學中占據了很大的部分，對各方面的知識都具有深層次聯系。在教學過程中，需要對函數的基本特點形成深刻認識，再針對函數的基本特點進行針對性教學，才能有效提升函數教學成效，加強學生對相關函數特點、知識以及解決思路和方法的認識理解。

參考文獻：

[1]顧國華.高中數學教學中函數的設計思路及其教學策略分析[J].數理化學習，2014.

[2]趙毅菊.高中函數教學研究[D].內蒙古師范大學，2008.