多元函數(shù)條件極值在幾何上的應(yīng)用

[摘 要]利用拉格朗日乘數(shù)法求解幾類幾何問題，可使問題大大簡化。

[關(guān)鍵詞]條件極值；拉格朗日乘數(shù)法

在空間直角坐標(biāo)系中，有一類問題：如點到點，點到曲線，點到直線以及點到平面的距離問題.高等數(shù)學(xué)教材采用向量的模、投影與兩點間的距離公式及點到平面的距離公式，這些內(nèi)容同學(xué)們往往覺得很難。實際上，這類問題也可以用拉格朗日乘數(shù)法來解決。下面通過實例來說明問題。

例1、求平面與橢球面相交成的橢圓的面積。

解 橢圓的面積為，其中分別是橢圓上的點到原點的最大距離與最小距離。此題用公式來求有一定的難度。我們用拉格朗日乘數(shù)法來求將會有意想不到的效果。

設(shè)d為原點到點的距離，則：.問題相當(dāng)于求條件極值：即求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值與最小值。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

由方程組，

可得的解分別為：

代入分別得1，。于是得到

所以，所求橢圓的面積為

例2 、拋物面被平面截成一個橢圓，求原點到此橢圓的最長與最短距離.

解 設(shè)d為原點到點的距離，則：.問題相當(dāng)于求條件極值：目標(biāo)函數(shù)，條件函數(shù)：和.

構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

由方程組，

聯(lián)立方程可解得：；或，

于是可求得

例3、 求點到直線的距離。

解 設(shè)為直線上一點，于是問題化為

在條件下的最小值問題。

構(gòu)造拉格朗日乘數(shù)函數(shù)：

由方程組，

聯(lián)立方程可解得：；

于是可求得

參考文獻(xiàn)：

[1]凌明偉，拉格朗日乘數(shù)法求距離。《科教文匯》，2013年9月（下），52-51.

[2]吳贛昌.21世紀(jì)數(shù)學(xué)教育信息化精品教材.高等數(shù)學(xué)（下冊）.中國人民大學(xué)大學(xué)出版社.