D—Kaup—Newell孤立子層次在so（3，R）的可積對稱性質

[摘 要]本文主要用矩陣譜問題和三維特殊的正交李代數so（3，R）來構造D-Kaup-Newell孤立子的可積對稱層次，以及應用跡恒等式來展示結果中對稱孤立子層次的哈密頓結構，最后還證明其Liouville可積性，即證明全對稱和守恒密度的存在性。另外，其哈密頓性質將用計算機代數系統展示出來。

[關鍵詞]零曲率方程；孤立子層次；對稱性；跡恒等式；哈密頓結構

一、引言

零曲率方程是在簡單李代數中構造發展方程的孤立子層次結構的基礎，另外，由零曲率方程擴展的孤立子方程是可積方程具有哈密頓結構的具體例子[1-2].跡恒等式和變分恒等式為獲得這些方程的哈密頓結構提供了強有力的工具。孤立子方程通常源于具有層次結構的零曲率方程。典型的孤立子層次結構例子包括有Korteweg-de Vries層次、Ablowitz-Kaup-Newell-Segur層次、Dirac層次、Kaup-Newell層次和 Wadati-Konno-Ichikawa層次，以上這些層次結構都只有一個或兩個獨立變量，包含三個或更多變量的更為復雜且需要投入更多的時間去研究。近年來，三維特殊正交李代數 已經被用于構造孤立子層次結構，而變分恒等式為尋找相關的哈密頓結構提供了最基本的工具。簡單李代數主要通過反對稱矩陣來實現，它有以下的基：

該基具有以下相互關系：

這使得代數經過運算之后還是代數本身，并且依然還是三維的。其他三維實李代數群是特殊的線性代數，且廣泛應用于研究孤立子方程的孤立子理論。本文應用到的是以下的圈代數矩陣：

這是一個關于k的Laurent級數，其系數屬于so（3，R）。根據（1.2）的循環變換關系， 是研究孤立子方程的哈密頓結構的結構基礎，許多新的孤立子結構基礎也是在此基礎上展開研究，如。本文利用so（3，R）介紹D-Kaup-Newell譜問題的對稱譜矩陣問題，并利用零曲率方程計算出D-Kaup-Newell孤立子層次的可積層次結構，且其對應的孤立子層次Liouville可積。并給出新的對稱層次的孤立子層次和圈代數矩陣so（3，R）結合的一個具體例子。

二、D-Kaup-Newell層次的可積對稱性

結合so（3，R），討論D-Kaup-Newell層次結構的可積對稱性，先介紹矩陣譜問題：

其中

是一個非零常數。該非線性組合如D-Kaup-Newell在 中是自相似的，一旦譜矩陣被選定，便可由零曲率方程計算孤立子層次結構。先看靜態的零曲率方程：

其中

（2.3）變成：

（2.5）

另外，a，b和c都是可以展開成關于的Laurent級數：

假設初始值：

（2.6）等價于：

（2.8）

利用（2.8）的遞歸關系，假設積分常數都為零，使序列唯一，即：

由此，前三組的代數式如下：

接下來，計算

記P+是P里面的多項式部分，這不同于Gateaux微分的矩陣。接下來先介紹Lax算子的擴展形式，記：并假設Lax算子的第一類擴展形式：

其中是任意給定的常數，得到：

且其對應的零曲率方程

等價于以下孤立子方程的層次：

在上式中，函數都是微分方程，所以所有的系統都是局部的。前三組非線性層次如下：

三、哈密頓結構和Liouville可積性

此部分將給出（2.13）和（2.8）中系統的可積性。首先建立（2.13）中的第一個對稱層次和（2.8）的第二個對稱層次的哈密頓結構，使用跡恒等式（通常使用變分恒等式）：

分別得到關于、和偏導的矩陣后，有：

（3.1）變形為：

，

平衡各項中的系數得到：

在恒等式中說明所以有

并且得到哈密頓函數：

顯然由（2.8）得到：

其中

這對應于孤立子層次（2.13）的無限守恒定律，并可以通過計算機代數系統直接計算得到。由此可以看出（2.13）中的第二個對稱孤立子層次具有以下哈密頓結構：

其中哈密頓函數如（3.3）定義，哈密頓算子j如（3.5）定義。結果中的函數對應于（2.13）中每一個孤立子系統的一般守恒定律。所有這些微分多想的的守恒定律是可由計算機代碼或與以矩陣譜問題為基礎的方程來獲得。

通過觀察（3.6）中的哈密頓結構和序列的微分項可知，對稱孤立子層次（2.13）是Liouville可積的。更確切地說，（2.13）的每一項都獨立的守恒泛函和對稱性：

和

其中是Gateaux微分。這個關系是關于Lax算子的Virasoro代數實序列。

四、結論

由矩陣圈代數so（3，R）的知識展開，介紹了D-Kaup-Newell的對稱譜問題，得到兩個可積對稱的D-Kaup-Newell孤立子層次，結果中所有的對稱孤立子層次都具有哈密頓結構和Liouville 可積性。目前典型的 譜問題的討論主要是Ablowitz-Kaup-Newell-Segur譜矩陣、Kaup-Newell譜矩陣和 Wadati-Konno-Ichikawa譜矩陣。當然更高次的矩陣譜問題同樣也可以得到孤立子層次，但由于其本身的復雜性，需要更大的時間投入。此項工作將是我們未來的研究方向和熱點。

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本文由廣西財經學院校級項目基金資助（2014B033）