樹立基于意義的學習理念是項目學習實驗教材編寫的突破口

在項目學習實驗教材的編寫過程中，數學學科的羈絆源于數學知識的邏輯性。數學學科知識的邏輯性，與完成項目時所需的靈活性和綜合性成為一對矛盾。如何解決這一矛盾，實現項目化學習，需要解放思想，需要實驗，需要理性的分析，樹立新的科學學習理念。下面以“一元一次方程”為例進行探討。

“一元一次方程”的學習一定是基于“有理數的運算”及“整式的加減”，即初一的學生在學習了這兩章內容之后才學習“一元一次方程”。在“一元一次方程”這一章中，首先要介紹其概念，接著要學習等式的性質（或方程變形的性質）。

等式（或方程）兩邊都加上或減去同一個數或同一個整式，等式（或方程的解）不變。

等式（或方程）兩邊都乘以或除以同一個不為零的數，等式（或方程的解）不變。

在具體到求方程的解時，不論是否明確給出解法的名稱，都是按照由易到難的順序安排，即系數化為1，合并同類項與移項，去括號，去分母。因此在傳統的教材中一元一次方程的編排結構如圖1所示。

在學習解方程的過程中，先學習最簡單的，即系數化為1，然后由易到難。而學生在解復雜的一元一次方程時，則反其道而行之，先去分母，再去括號，再移項、合并同類項，最后將系數化為1。這種轉化的過程，體現了化難為易、化繁為簡的策略。這樣的學習程序及對應的解題順序是經典的、傳統的、良構的，體現了數學的簡潔美和邏輯美。

但是這種嚴謹的結構制約了項目化學習的實現。能不能有所改變呢？

打破上述研究的結構，基于乘法的意義解“一元一次方程”，這是與一位五年級學生的實驗。五年級學生具備的與“一元一次方程”對應的基礎是：乘法、除法、分數的意義，分數與除法的關系，簡單的字母表示數，分式的簡單運算，簡單的一元一次方程的解法等。

基于這樣的基礎，在解復雜的一元一次方程時，如何分析轉化，理解每一步的合理性呢？下面以具體事例解釋。

如圖2 ，這是一個源自初中教材中的題目。圖中的解法是五年級的同學給出的。在解這個題目時，該同學已經練習解過多道題目，所以解此題時已經比較順利。從圖中可以看得出，步驟間距比較小，所以比較長，這是五年級學生的思維決定的。

該方程兩邊的分母不一致，所以首先要通分，這是五年級學生會做的。第二步，去分母，但該生還沒有學過去分母，因此她依據分數與除法的關系，將分式先轉化為除法，再依據她學習過的等式的性質，兩邊同乘以一個數，最終達成去分母的目標。第三步，移項，五年級學生已經學習過，而且比較熟練，因此，此處她省略掉一步，即14x-10+10=3+10，而直接得到14x=3+10。第四步，合并，本題中只涉及到數的合并，所以輕而易舉地完成。第五步，系數化為1，這是小學學習過的。

對于合并，還會遇到不同類型的問題。比如圖3中的6x+10.5x，圖4中的16x-30x，要回到乘法的意義，然后利用加法對乘法的分配律求解。根據乘法的意義，“6x”即6個x，其他同理。因此“6個x”加“10.5個x”就是（6+10.5）個x，于是就有了6x+10.5x=（6+10.5）x，事實上就是加法對乘法的分配律的逆用，并且是在代數式中的應用，從具體數字運算的分配律到式的運算的分配律，并且是逆用，這都是基于對乘法意義的理解和靈活應用，這是一個難點，也是一個突破。

至于16x-30x=（16-30）x，五年級學生已經學習了負數的初步知識，稍加引導即可求解。

在該同學學習解一元一次方程的過程中，并沒有按照由易到難的順序安排，而是直接進入復雜問題。在轉化策略的指導下，依據她的已有知識和經驗，不斷地將復雜問題轉化為簡單問題求解。

在前期學習過程中，還遇到過非常有趣的方程，但是都能用她所學過的知識加以解釋，并最終解決。這樣做最大的益處是提高了學生分析問題的能力。

該實驗打破了圖1的教學結構，但是看得出在求解過程中，該生的心理過程與結構是高度一致的。這說明，傳統教材中的編排結構是符合學生的認知規律的，是經典的。但是這種經典的結構是否要用與之對應的經典的過程轉移給學生呢？該實驗表明，換一種方式也可以達成同樣的目標。

項目學習實驗教材的編寫依據首先是課程標準。2011版《義務教育數學課程標準》對“一元一次方程”的要求是：

1.能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。

2.經歷估計方程解的過程。

3.掌握等式的基本性質。

4.能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。

對課標這樣的要求，如何通過項目化學習實現呢？可以通過如下三步實現。

第一，將實際問題（即項目中的驅動問題）轉化為方程問題，體會方程中蘊含的模型思想，并解釋解方程的必要性。

第二，學生基于已有的知識經驗自主探究解方程（一元一次方程），從而達到對具體問題的解決，完成關于實際問題的項目。

第三，提煉該項目中的數學元素，包括給出一元一次方程的概念，明確其定義，并歸納、概括求解策略和求解步驟，梳理求解依據，并進行適量訓練，以鞏固基本知識，熟練基本技能。

于是項目化學習中“一元一次方程”的編排結構應該如圖5所示。

圖5與圖1相比，有如下特點。

第一，學生探究的空間較大，沒有固定的規則與程式，學生的活動是基于基本知識進行分析轉化，因此有利于學生進行相對完整的活動。對教材編寫的要求設計好問題串，引導學生進行探究。

第二，整體輸入和輸出，以解決問題為主，注重策略的指導，但是不削弱數學的基本知識和技能。

第三，具有“雙項目化”的功能，學生完成了一個實際問題的項目，在此基礎上提出數學問題，通過抽象概括，梳理數學知識，并鞏固應用，又是一個純數學的項目實施過程。但這個純數學的項目不是抽象的，有實際問題的項目奠基，學生在此處學習時，對其必要性和重要性的認識更深刻，因此有助于激發學生數學學習的熱情。

第四，能有效地提高學生分析問題、解決問題的能力。

第五，能實現課程標準的要求。

一個實驗似乎有些單薄，證據不足，但是這個案例也說明這種方法的可行性。囿于傳統的經典的知識結構，是難以做出真正的項目的，所以編寫項目學習實驗教材關鍵是要“破”，破其外殼，存其內涵，以項目承載，以科學思想主宰。

基于意義的學習，是指基于概念的基本意義進行學習。從上述案例的分析可見，樹立基于意義的學習的理念才能突破傳統觀念的束縛，才能實現項目學習。

基于意義的學習與基于規則的學習有什么異同呢？

傳統結構對應的學習順序，是先學規則，如等式的性質等，再應用規則解決問題，這是基于規則的學習。基于意義的學習，則跳過規則，直接根據概念的意義進行分析。

概念是基本的思維單位，是思維的起點，規則是由概念推演得出的。基于規則學習的優勢是簡潔，不足是其學習過程是“執行”命令。基于意義學習的優勢是創新，不足是費時較多，但這樣的學習正符合《義務教育數學課程標準》（2011版）提出的學生“應有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，特別是十大核心素養中指出的“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終”。

基于意義的學習過程，由于沒有既定的規則和程序要求，因此是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，學生能更多地“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識” 。

如何實現基于意義的學習呢？

首先，要改變學生的學習價值觀，學生的學習更重要的是成長，而不是收集裝載知識技能。知識技能是載體，但不是最后的目標。

其次，要通過實驗，尋求基于意義的數學教材“新結構”，在這個過程中，要勇于否定自我。

再次，尋找到適合項目學習的結構之后，要設計“任務群”，將“新結構”付諸現實，而且是面對學生群體學習的現實。

做好這三點，相信項目學習將實施得更好。

項目學習實驗教材的編寫是探索創新，因此需要有探索創新品質的人，更需要有探索創新本質的案例支撐，讓一個個案例為項目學習搭起天梯，成就學生的幸福人生。