例談由數列遞推公式求通項公式的三種方法

由數列的遞推公式求通項公式是高中數學的重點問題，也是難點問題。近幾年的高考試題中，都涉及由數列的遞推公式去求數列的通項公式的題目，這不得不引起各校師生的注意。因此，教師在教學中一定要使學生掌握所給數列遞推公式的類型以及相應的解法，提高學生的數學能力。

遞推公式和通項公式是數列的兩種表示方法，它們都可以確定數列中的任意一項，只是由遞推公式確定數列中的項時，不如通項公式直接。本文根據中學生的知識范疇介紹三種解決此類題目的方法。

一、累加法

數列的遞推公式形如an+1-an=f（n）（f（n）是可以求和的，當f（n）為常數時{an}為等差數列。）的遞推公式求通項公式時，常用累加法，巧妙求出an-a1與n的關系式。

例1：數列{an}中，已知a1=2，an+1=an+cn（n∈N*，常數c≠0），且a1，a2，a3成等比數列。

（1）求c的值；（2）求數列{an}的通項公式。

解：（1）由題知，a1=2，a2=2+c，a3=2+3c

∵a1，a2，a3成等比數列

∴（2+c）2=2（2+3c）

解得c=0或c=2

又c≠0

故c=2

（2）當n≥2時，由an+1=an+cn得a2-a1=c，a3-a2=2c，…an-an-1=（n-1）c

以上各式相加，得an-a1=[1+2+…+（n-1）]c=c

又a1=2，c=2

故an=n2-n+2（n≥2）

當n=1時，上式也成立，所以數列{an}的通項公式為an=n2-n+2（n∈N*）

二、累乘法

對形如an+1=anf（n）（f（n）是可以求積的，當f（n）為常數時{an}為等比數列）的遞推公式求通項公式時，常用累乘法，巧妙求出與n的關系式。

例2：已知數列{an}中，a1=1，前n項和Sn=an

（1）求a2，a3；（2）求{an}的通項公式。

解：（1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2

解得a2=3a1=3

由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3

解得a3=（a1+a2）=6

（2）由題設知a1=1，當n>1時

有an=Sn-Sn-1=n+an-an-1

整理得an=an-1

于是a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1

將以上n-1個等式中等號兩端分別相乘，整理得an=

綜上可知，{an}的通項公式an=

三、構造新數列

構造新數列即將遞推關系經過適當的恒等變換化為特殊數列的遞推關系

對于形如“an+1=Aan+B（A≠0且A≠1）”的遞推公式求通項公式，可用迭代法或構造等比數列法。構造新數列法比較簡捷，但如果觀察不到結構的特殊性，就想不到構造的新數列，所以仔細觀察結構特征是運用這種方法解決求通項公式的問題的關鍵所在。

例3：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2；則an=_______.

解：∵an+1=3an+2

∴an+1+1=3（an+1）

∴=3，

∴數列{an+1}為等比數列，公比q=3，

又a1+1=2

∴an+1=2·3n-1

∴an=2·3n-1-1.

上面是三種常見的由遞推公式求通項公式的題型和對應解法，從這些題型及解法中可以發現，很多題型及方法都是相通的，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法和特殊數列。如果能夠真正理解其內在的聯系及區別，也就真正做到了舉一反三、觸類旁通，使自己的學習游刃有余，真正成為學習的主人。但是，以上方法有一定的局限性，求解時應注意靈活運用。