動手操作 親身體驗(yàn) 提升思維

一、案例背景

旋轉(zhuǎn)是現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動變化的最簡捷形式之一，它不僅是探索圖形變換性質(zhì)的必要手段，而且也是解決現(xiàn)實(shí)世界中的具體問題以及進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具，通過對本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)，既培養(yǎng)了他們的動手操作能力，又培養(yǎng)了他們用數(shù)學(xué)的方法來解決實(shí)際生活中的有關(guān)問題。

二、案例描述

【片段1】多媒體展示幾幅利用圖形變換方法得到的圖案

師：這幾幅圖案來自于實(shí)際生活，它們是通過什么方法得到的？

生1：通過旋轉(zhuǎn)方法設(shè)計的。

生2：通過平移方法設(shè)計的。

生3：平移、旋轉(zhuǎn)的方法都有。

師：剛才幾位同學(xué)都講得很好，這幾幅圖案體現(xiàn)不同的設(shè)計意圖，但它們都是利用圖形變換的方法來解決實(shí)際問題，而這幾幅圖案設(shè)計用了一個共同的方法，就是旋轉(zhuǎn)變換。

反思：通過對圖形的觀察、聯(lián)系、剖析，使學(xué)生體驗(yàn)到圖形變換在圖案設(shè)計中的作用，幾種方法有機(jī)組合運(yùn)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的一種和諧美。

【片段2】

師：請同學(xué)們看幻燈片的內(nèi)容，請同學(xué)們利用基本圖形，通過圖形變換的方法設(shè)計一張美麗的圖案。

生：利用教師在課前發(fā)下去的模板來設(shè)計圖案。

師：下面請同學(xué)來臺前展示自己的作品，并說出自己的作品是通過什么方法得到的。

生：我設(shè)計了奧迪汽車標(biāo)志，我是用平移的方法得到的。

師：我對他的作品進(jìn)行肯定，也肯定了他使用的數(shù)學(xué)方法。

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反思：老師布置任務(wù)，學(xué)生進(jìn)行圖案設(shè)計，教師指導(dǎo)學(xué)生選擇簡單的基本圖形，不同的圖形變換、組合出美的圖案。本次活動中，教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注：①學(xué)生選取的基本圖形不要過于復(fù)雜;②指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)對應(yīng)圖形全等這一圖形變換的共性剪出多個基本圖形，然后再依據(jù)各種變換的基本特征拼出組合圖案。

【片段3】圖形變換在幾何中的應(yīng)用

例1.已知△ABD，△ADE都是等邊三角形。

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①你能用什么方法說明BE與CD的關(guān)系？②當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，則上述關(guān)系仍然成立嗎？

師：第一個問題，大家想到什么方法可以解決呢？

生：證明△CAD和△BAE全等可以解決。

師：回答得很好，用數(shù)學(xué)推理的方法可以解決此問題。

師：多媒體展示問題2，讓學(xué)生思考回答。

生：BE=CD仍成立。

師：你是用什么方法解決的？

生1：我想到證明三角形全等的方法。

生2：我補(bǔ)充解法，我想到用旋轉(zhuǎn)的方法解決。

師：你是把哪一個三角形旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角又是什么？

生：把△CAD設(shè)為點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)65°得到△BAE。

反思：教師演示課件，學(xué)生回答問題，學(xué)生依據(jù)教師提出的問題進(jìn)行獨(dú)立思考，聯(lián)系頭腦中已有的知識經(jīng)驗(yàn)，易得到BE=CD。教師通過課件展示，旋轉(zhuǎn)三角形△CAD，展示另外的思想方法，教師再演示課件：對題目進(jìn)行變式練習(xí)，讓學(xué)生再思考、再歸納。

【片段4】圖形變換函數(shù)結(jié)合的應(yīng)用

例2.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，1），B（4，6），C（8，2），現(xiàn)以x軸為對稱軸作△ABC的對稱圖形△A1B1C1，然后以y軸為對稱軸作△A1B1C1的對稱圖形△A2B2C2。

（1）請分別寫出△A1B1C1和△A2B2C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）△ABC與△A2B2C2是否成中心對稱。

（3）若反比例函數(shù)y=-■（k>0）過點(diǎn)A（3，1），則點(diǎn)A2是否也在它的圖象上，為什么？

（4）把△ABC、△A2B2C2分別繞點(diǎn)A和點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)相同的一個角度后，使點(diǎn)B落在y=-■的圖象上，則點(diǎn)B2也在它的圖象上嗎？為什么？

（5）連接AA2、BB2，則交點(diǎn)在何處？AA2、BB2相互間又有何關(guān)系？

（6）連接AB2、BA2，則四邊形AB2A2B成什么樣的四邊形？

（7）直線l過原點(diǎn)交雙曲線y=-■于A、A2兩點(diǎn)，把直線l繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后交雙曲線于BB2，連接AB、BA2、A2B2、AB2，四邊形ABA2B2能否成為矩形、菱形？

師：問題（1）（2）通過什么方法可以解決？

生：通過坐標(biāo)對稱的方法可以解決。

師：同學(xué)們能用學(xué)過的知識解決問題，回答得很好。這是圖形變換的基礎(chǔ)。

師：問題（2）能否成立呢？你能用什么方法解決？

生1：我用坐標(biāo)的方法解決，因?yàn)椤鰽BC與△A2B2C2的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱。

生2：我用圖形旋轉(zhuǎn)的方法解決，說明兩個三角形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。

師：你們回答得真棒，可以從數(shù)與形兩個角度解決問題。

師：問題（3）用什么方法可以解決？

生1：我是先求出y=-■的解析式，然后把A2代入y=-■，能成立，則A2也在y=-■上。

生2：我認(rèn)為A2也在y=-■上，因?yàn)锳與A2關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，而y=-■也是關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，因此A2也在y=-■上。

師：同學(xué)們的回答體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，同時也用到代數(shù)與幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題。

師：問題（4）又如何解決呢？

生：我是用旋轉(zhuǎn)的方法得到的。

師：同學(xué)們請?jiān)趫D上動手畫一畫，來探索交點(diǎn)在何處？

生：根據(jù)我畫圖的多個圖形總結(jié)結(jié)果，交點(diǎn)在原點(diǎn)。

師：那你能說出理由嗎？為什么交點(diǎn)會在原點(diǎn)？

生：我講不出原因，我感覺我是對的。

師：同學(xué)們討論這個問題再回答。

反思：通過學(xué)生討論，他們意識到為什么交點(diǎn)在原點(diǎn)，因?yàn)槊績牲c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱連線必過原點(diǎn)，因此很順利解決問題（6）。

師：同學(xué)們對問題（7）作何解釋？

生：進(jìn)入激烈的爭論中。

教師與學(xué)生進(jìn)行交流，提取信息，問題（7）時學(xué)生的思維達(dá)到高潮，很多學(xué)生有一個困難期，通過爭論使他們茅塞頓開。

反思：教師依據(jù)教學(xué)設(shè)計的步驟，逐一展示課件，讓學(xué)生回答問題，學(xué)生通過對問題（1）（2）的回答，復(fù)習(xí)舊知識，拓展它們之間關(guān)系。教師利用課件展示（3）（4）問題，引導(dǎo)學(xué)生解答有關(guān)函數(shù)與圖形變換結(jié)合的問題。

本活動中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：①學(xué)生解決問題的角度;②用不同的方法解答同一問題;③提出特殊與一般的關(guān)系。

三、課后反思

1.旋轉(zhuǎn)是生活中處處可見的現(xiàn)象，教學(xué)中不僅僅要使學(xué)生感知旋轉(zhuǎn)，滲透生活中處處有數(shù)學(xué)的思想，還要使學(xué)生認(rèn)識到旋轉(zhuǎn)的實(shí)質(zhì)，并用它來解決實(shí)際問題。

2.通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，把學(xué)生的“雙基”打扎實(shí)了，同時學(xué)生的創(chuàng)新潛能、探索能力得到充分的開發(fā)和培養(yǎng)。

？誗編輯 王夢玉