三角函數一輪復習中開展“說題”教學的實踐研究

摘 要：說題教學是新課程改革中的產物和結晶，是對教師說題的一種模仿，學生說題主要包括：說題意、說知識、說思路、說步驟、說變式、說反思、說總結等內容。關注高三學生這一特殊的群體，對說題課堂模式進行研究，并在教學中加以實踐，著力提高教學的有效性。由于所教學生的基礎差，學習能力有欠缺，因此在我校開展說題教學，必須以點帶面，及時調整內容，為順利開展“說題教學”提供實踐基礎。

關鍵詞：說題教學；三角函數；實踐研究；活動總結

一、三角函數復習中開展“說題”活動的意義

1.三角函數一輪復習中開展“說題”，有助于加深學生對三角函數概念、圖象和性質的理解

著名科學家A.Einstein指出：“一個人的智力發展和他形成概念的方法，在很大程度上是取決于語言的……”他的這一精辟論述深刻地揭示了語言表達能力與概念學習的密切關系。學生通過“說題”揭示了三角函數概念的內涵和外延，通過“說”概念之間的聯系與區別，形成繼函數概念后的又一類基本初等函數的概念網絡，學生對三角函數概念的理解就非常深刻，并且可以把函數學習過程中的方法、經驗應用到三角函數的學習中去，通過“說題”及時交流學習過程中的成功經驗和失敗之舉，從中得到啟發，教師可以通過學生的“說題”發現學生思維上存在的偏差，克服學生學習中的難點問題，進而鍛煉學生的邏輯推理，發展思維品質。

2.三角函數一輪復習中開展“說題”，有助于培養學生的合作精神和創新精神

合作交流是新課程積極倡導的數學學習方式之一，在“說題”過程中，師生之間、生生之間彼此協調，共同完成學習任務。學生既是獨立的學習者也是學習的合作者，一位學生提出的問題，就會引發其他同學積極地思考、猜想與討論，一位同學的“說題”結果、猜想可能就會成為其他同學解決問題的策略或啟示，在交互合作中討論、互助，最終解決問題。在“說題”的過程中，構建了師生之間、生生之間平等自由的對話平臺，學生處于積極、活躍的學習狀態中，不僅發揮了學生學習的主動性，學生也學會了如何幫助他人，如何與他人交往，交流合作。

此外，“說題”活動也是培養學生創新精神的有效途徑。在“說題”過程中，教師先選取恰當的素材，喚起學生較為豐富的思維活動，引導學生把這些創造性的想法用語言表述出來，繼而引發全體學生熱烈的討論，學生的學習過程成為教師指導下的“再創造”過程。

3.三角函數一輪復習中開展“說題”，有助于確立學生的主體地位

在三角函數的一輪復習中開展“說題”活動，教師與學生之間平等交流，極大地調動了學生的學習主動性，在“說題”過程中學生積極發表自己的思想與觀點，又要認真傾聽他人的見解，在教師的指導和調控下，讓每一位學生都能暢所欲言，積極討論、爭議、發表見解，敢于提出疑問，自覺反思，學生的主體地位得到了充分的體現。在“說題”活動中改變傳統的學習方式，讓學生從被動的接受狀態成為主動的學習狀態，教師與學生之間也形成了親密和諧的師生關系。

4.三角函數一輪復習中開展“說題”，有利于提高學生數學學習的自我效能感

在三角函數教學中開展“說題”活動，學生經過思考，討論交流后把自己的想法和見解通過“說題”展示出來，當自己的想法和見解得到其他同學的認可時，內心會有一種學習的成功感；在自己有疑問或困難時通過認真傾聽其他學生的“說題”，又可能對自己有新的啟示，從而開闊了思路，加深對知識的理解，消除自己的疑問，感受到收獲的喜悅。在“說題”的過程中，教師對于學生的表現所給予的點評和鼓勵，能使學生認識到自己擁有完成學習任務的能力，增強學生學習數學的興趣和自信心，從而提高學生學習數學的自我效能感。

二、在三角函數復習中開展“說題”活動的實踐研究

1.在任意角和弧度制及任意角的三角函數概念復習中開展“說題”（第一課時）

（1）以“說題”加深對任意角的概念的理解

問題1：已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A.B，C的關系是：

A.B=A∩C B.B∪C=C C.A？哿C D.A=B=C

讓學生討論交流，選取一位學生說題，說知識，即這三個概念的內涵并舉出反例，揭示出初中學習的銳角和高中學習的小于90°的角之間的差別。進而可以讓學生說一說概念的外延，如：象限角的表示，坐標軸上角的表示等等。

（2）以“說錯題”教會學生如何審題，如何充分挖掘隱含條件

問題2：已知α，β是關于x的二次方程x2+2（cosθ+1）x+cos2θ=0的兩個根，且α-β≤2■，求θ角的取值范圍。

讓學生討論分析，α，β這兩個根的問題可以用求什么公式或定理來解決？（喚醒學生的記憶，求一元二次方程根的問題通常用求根公式或韋達定理來解決）

學生甲：這個方程有兩個未知數，假如用求根公式不能得到α、β，反而使題目復雜化，而且有條件α-β≤2■，這個關系式，故考慮韋達定理。（教師及時給予肯定）

教師：你能試著說出你的解題過程嗎？

學生甲：根據韋達定理，α+β=-2（cosθ+1）nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp； （1）α·β=cos2θnbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp； （2），考慮到題目所給條件α-β≤2■，平方后可變為（α+β）2≤8

因此把上述兩式變形，（α+β）2-4a·β=4（cosθ+1）2-4cos2θ≤8

化簡得2cosθ+1≤2

即cosθ≤■

所以2kπ+■≤θ≤+■π，k∈Z

他一說完，大家“哇”聲一片，自然流露出一種敬佩和喜悅的神情，共同享受著數學解題的樂趣。但是老師看到依然有些同學不動聲色，陷入沉思，突然，學生乙站了起來。

學生乙：如果他的解法是對的，那么我取特殊值令cosθ=0，此時原方程變為x2+2x=0，也有兩個根，分別是0，2，滿足α-β≤2■，θ=kπ+■，k∈Z，不在前面那位學生解出來的范圍之內。（老師及時肯定學生乙求真務實的學習態度和積極探索的研究精神，并追問，你認為學生甲錯在哪里？）

學生乙：我認為甲沒有考慮到題目的隱含條件，即二次方程x2-2（cosθ+1）x+cos2θ=0必須先有兩個實數根，滿足？駐≥0，即[2（cosθ+1）]2-4×1×cos2θ≥0，化簡得cosθ≥-■，綜上可見，-■≤cosθ≤■，所以θ角的取值范圍是kπ+■≤θ≤kπ+■π，k∈Z（教師給予高度贊揚的同時，追問為什么大家都忘記了這個條件呢？原因是什么？）

學生丙反思道：我們平時在用韋達定理的時候只注意到兩根之和x1+x2=-■，兩根之積x1·x2=■，這兩個公式，卻忘記了這個韋達定理在應用的時候首先應該滿足方程有兩個根，即？駐≥0。

學生說題最重要的是能說好“錯因”，其次才是說“正解”，因為認識錯誤和認清錯誤比答案更重要，何況沒有認清錯誤也就不會有正解。因此，對于比較典型的題目，教師應當讓學生加深印象，提高警示，例如請一個學生大聲說出這道題的錯誤所在，才能使學生在深刻認識錯誤的基礎上進行思考和研究，構建知識體系，至此學生的元認知才會發生變化，重新認識韋達定理的奧秘。

（3）以“說題”強化扇形的面積和弧長公式

問題3：①已知扇形周長為10，面積為4，求：扇形的圓心角。

②已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形的面積最大？

讓學生先回憶高中階段知識，在弧度制條件下的扇形面積公式為S=■lR=■α·R2，弧長公式為l=α·R，然后讓學習成績不是很好或者表達能力不是很好的學生來說題。

學生丁：第①小題，可以根據條件列出方程組2R+α·R=10■α·R2=4 解得α=■

第②小題，根據條件2R+α·R=40，可解出α=■-2，代入面積公式得S=■（■-2）·R2

化簡得，S=-R2+20R，是一個開口向下的二次函數，其對稱軸為R=10，此時扇形面積最大。

α=■-2中代入R=10，得α=2（教師對表達能力不是很好的同學進行及時有效的補充，另外，提問其他同學還有沒有其他的方法）

……

問題4：本節復習了三角函數中的那些知識點，運用了那些思想方法，你從中得到了什么啟發？

學生己：本節課復習了任意角的概念，任意角的三角函數，三角函數線等知識點，還復習了弧度制條件下弧長公式和扇形的面積公式，我學到了數形結合，利用二次函數模型等思想方法，還學到了一題多解，運用均值不等式的方法來解決三角函數的最值問題，至于收獲我覺得就是問題2在應用韋達定理的時候要注意判別式？駐≥0。（教師給予充分的肯定和鼓勵，其他同學用熱烈的鼓掌表示贊同）

學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己構建知識的過程。因此，在課堂教學結束時，通過讓學生說“本節課的主要內容、重點知識、難點問題的過程，使學生整理出本節課所講授知識間的聯系，更加深刻地領悟本節課所授知識中所涉及的數學思想和方法，這種“說總結”活動可以讓學生體會到收獲的愉悅感。

2.在同角的三角函數基本關系與誘導公式復習中開展“說題”（第二課時）

（1）創設情境，提出問題

情境1：多媒體演示：任意角α的終邊繞左邊原點逆時針旋轉，角α的終邊與單位圓交點為P的坐標。讓學生說出在旋轉的過程中sinα與cosα的平方關系與商數關系，你是怎樣證明的？

通過學生說sinα與cosα的定義，復習同角的三角函數基本關系及公式應用的條件。

（2）自主探究，合作交流

情境2：多媒體演示：如果任意角α的終邊逆時針旋轉半周得到角？茁，此時這兩個角的三角函數值間的關系是怎樣的？

在問題的引導下，學生自己先獨立思考，再在小組內部“說公式”，要求每位成員都齊心協力，共同完成所有的誘導公式共6組，12個公式，最后由小組選出代表在班中“說公式”探究成果，總結公式記憶的方法。

（3）典例分析，能力提升

問題1：已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，

求表達式■的值（教師讓班級中成績中等的同學說題，回顧利用誘導公式化簡求值時的原則和y=sinα的有界性）

問題2：已知-■

學生甲：由sinx+cosx=■與sin2x+cos2x=1，聯立方程組sinx+cosx=■sin2x+cos2x=1解得

sinx=■cosx=-■或sinx=-■cosx=■根據條件■

即sinx-cosx=-■（教師給予表揚，基本量法的應用是每位高中數學的最基本要求，同時提出：還有其他方法嗎？）

學生乙：我的方法是把sinx+cosx=■兩邊平方得，1+2sinx·cosx=■，故2sinx·cosx=-■，要求的sinx-cosx也平方得（sinx-cosx）2=1-2sinx·cosx=■，又因為-■0得sinx-cosx=-■（教師給予表揚，并根據情況可及時給予點評或者也可以請其他學生點評）

問題3：在△ABC中，若sinx（2π-A）=-■sin（π-B），■cosA=-■sin（π-B），求△ABC的三個內角。

學生丙：通過誘導公式，列出方程組sinA=■sinBnbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp； （1）■cosA=■cosB（2）

（1）和（2）右邊平方相加得：2sin2B+2cos2B=2

（1）和（2）左邊平方相加得：sin2A+3cos2A=1+2cos2A，化簡得2cos2A=1，即cosA=±■。（做到這里學生丙遇到了困難，教師提醒他再思考一下，并提問其他同學有沒有好的辦法定號？）

學生丁：噢，我發現假如cosA取負號，即A為鈍角，則根據方程（2）得cosB，B也為鈍角，那會使△ABC中有兩個鈍角，與三角形內角和為180°矛盾，所以cosA=■，A=45°代入方程（2）得， cosB=■，B=30°，C=105°。

問題4：已知tanα=2，求■的值（教師可組織學生對結論進行變式，加深對知識的理解，升華思維方法）

變式1：求■的值

變式2：求■的值

變式3：求sin2α-2sinα·cosα+2cos2α的值。（對于題中所求的表達式和變式1的表達式，教師可以引導班級中成績中等以下的同學進行說題，及時復習sinα與cosα的商數關系，對于變式2，同學們有沒有想到如何解決？）

學生戊：可以靈活運用“1”的變換，將■中的“1”替換為sin2α+cos2α，得到■，再分子分母同除cos2α，即可得到原式=■（教師給予高度贊揚，把這種方法定義為“1”的妙用，并追問，這個方法既然這么好，我們能用這個方法求變式3嗎？）

學生己：變式3中表達式sin2α-2sinα·cosα+4cos2α可以看作

■

=■

=■

代入已知條件tanα=2，可知原式=■（教師請學生總結求值問題中所用到的方法，提高公式運用的能力）

3.在三角函數的圖象與性質的復習中開展“說題”（第三課時）

（1）通過“說反思”總結研究新函數的一般方法，復習三角函數的圖象。

問題1：前面我們復習了必修1中函數的知識，例如，指數函數y=ax、對數函數y=logax、冪函數y=xa，請同學們回憶并反思一下，遇到一個新的函數，我們是如何開展研究的？

學生甲：列表、描點、連線三步驟，畫出它的圖象。（教師給予表揚）

問題2：畫出函數的圖象之后，我們可以研究它的那些性質呢？

學生乙：根據圖象的對稱性可以研究函數的奇偶性，根據圖象的上升下降可以研究函數的單調性，還可以根據圖象看出函數的最值等等。（教師可以恰當地鼓勵）

問題3：請同學們自主探究正弦函數y=sinx、余弦函數y=cosx、正切函數y=tanx的性質，并用表格歸納。（表格的形式讓學生“說”，能夠更清晰地理解和掌握三角函數的性質，并達到類比的效果）

（2）通過“說方法”總結求y=Asin（ωx+？漬）與y=Asin（-ωx+？漬）（A>0，ω>0）的單調區間的一般步驟。

問題4：已知函數y=Asin（■-2x），求：

（1）函數的周期；

（2）求函數在[-π，0]上的單調遞減區間。

學生丙：對于形如y=Asin（ωx+？漬）的函數，其周期公式為T=■，可求出第（1）問T=π，對于第（2）問y=Asin（■-2x），可用誘導公式將其化為y=-Asin（2x-■），根據正弦函數的單調性，解不等式-■+2kπ≤2x-■≤2kπ+■，k∈Z，得kπ-■≤x≤kπ+■，k∈Z

問題5：如何求出滿足條件[-π，0]上的單調遞減區間呢？

學生丁：只要取恰當的k，滿足條件即可。

如取k=0，滿足條件 [-π，0]，取[-■，0]，再取k=-1，k=0，滿足條件[-π，0]，取[-π，-■]

問題6：請總結形如y=Asin（ωx+？漬）（A>0，ω>0）與y=Asin（-ωx+？漬）（A>0，ω>0）的函數如何求單調區間？

學生戊：形如y=Asin（ωx+？漬）（A>0，ω>0）的函數的單調區間，基本思路是把ωx+？漬看作是一個整體，由-■+2kπ≤ωx+？漬≤■+2kπ（k∈Z）求得函數的增區間，由■+2kπ≤ωx+？漬≤■+2kπ（k∈Z）求得函數的減區間，形如y=Asin（-ωx+？漬）（A>0，ω>0），可以用誘導公式把x的系數變為正數，得到y=-Asin（ωx+？漬）（A>0，ω>0），由-■+2kπ≤ωx-？漬≤■+2kπ求得函數的減區間，由■+2kπ≤ωx-？漬≤■+2kπ（k∈Z）求得函數的增區間。

問題7：變式將上題中的y=Asin（■-2x），x∈R

（1）用五點法畫出函數f（x）在一個周期內的圖象。

（2）函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到f（x）的圖象？

學生己：將函數y=sin（■-2x）變為y=-sin（2x-■），列出表格，描點連線即可。（接下來大家以小組討論的形式，回答第（2）問，并由各組派代表“說題”）

……

問題8：你能總結出由y=sinx變換到y=Asin（ωx+？漬）的圖象，兩種圖象的區別嗎？

學生壬：先平移后伸縮，平移的量為ω，先伸縮后平移，平移的量為■（ω>0），我個人認為第一種比較好，簡單不容易弄錯。

上述三節課例是三角函數一輪復習新授知識環節中，“說題”教學的實踐設計，在本人的說題研究方案中，此后的每一節課如兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，簡單的三角恒等變換，正弦定理和余弦定理及應用中，我始終堅持讓學生“說題”的原則進行教學設計，盡管相對于傳統課堂而言，課堂容量可能變小，節奏很難把握，有時常常還沒有講完就下課了，但我認為評價一堂好課的標準更應該側重于學生的收獲，著眼于學生是否成為課堂的主體，學生的知識體系有無重新得到構建，生從說題的過程中，有無愉悅地領悟數學的思想方法，找到解題的思路，活化所學知識，融會貫通，達到全面提升數學解題能力的目的。

三、在三角函數復習中開展“說題”活動的總結

1.開展“說題”活動需注意的問題

（1）注重過程性評價，創設“說題”活動的教學氛圍

新課程標準中指出，現代社會對人的發展的要求引起評價體系的深刻變化，高中數學課程應建立合理、科學的評價體系。評價既要關注學生數學學習的結果，也要關注他們在數學活動中所表現出來的情感態度的變化。過程性評價應關注對學生理解數學概念、數學思想等過程的評價，關注對學生科學地提出、分析、解決問題等過程的評價，以及在過程中所表現出來的與人合作的態度，表達與交流的意識和探索精神。在“說題”活動中，教師要激勵每一位學生都要參與到“說題”的氛圍中來，對于不同層次的學生都要給予關注，在“說題”過程中對于學生的表現可以采用現場評價。通過“說題”中多種形式的評價，增強學生數學學習的自我效能感，樹立學好數學的自信心。

（2）注重其他教學手段的應用，改善“說題”的教學效果

在“說題”的過程中注重對學生“說”“讀”“做”以及現代教育技術的結合。教學過程中適時運用現代信息技術呈現教學內容，能夠使絕大多數的學生更直接、有效地獲取信息，同時也可以利用多媒體技術驗證自己的猜想、結論是否正確。另外，在“說題”過程中要有“說”有“做”，在“做”之前“說”問題的理解，解決問題的關鍵點，解決問題的思路，接著要由“做”來驗證自己的“說”，在“做”中不斷完善、修正“說”的預想，“做”后再以“說”的形式進行歸納總結，提煉規律。

（3）注重課堂調控，促進“說題”活動的順利進行，在今后的教學中引導、鼓勵學生把“說題”應用到其他學科中，滲透到教師的教研活動中

在“說題”活動中，學生表現比較活躍，受偶然因素的影響課堂會出現以下情況：學生偏離主題，或談及與數學無關的問題，有時會提出一些荒謬的問題，小組合作交流中有的學生參與不積極等情況就需要教師及時進行課堂組織、調控，通過正確地引導使學生的談論回歸主題，保證每一位學生都參與到“說題”活動中來。在“說題”的過程中教師有意識地把問題進行分層，讓每一位學生都能針對其中的一些問題有話可“說”，對學生的“說題”情況及時反饋，使學生不斷糾正自己“說題”的方向，順利開展好“說題”活動。

（4）處理好“說題”與“解題”之間的關系

數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。每一位數學教師都必須認識到，是學生在學數學，學生應當成為主動探索知識的“構建者”，而不是模仿者。因此，在“說題”活動中，要注重學生“解題”，在“解題”中產生的困惑、發現的規律、活動的體驗等使學生在“說題”中有感而發，從而能積極、主動地參與“說題”活動。

2.“說題”教學的展望

（1）“說題”活動滲透到高中教育的各個階段

“說題”活動能激發學生對數學學習的興趣，促進學生語言表達能力的提高，發展學生的數學思維。本人的“說題”研究著力于高三數學一輪復習，學生有數學學習的基礎和較好的語言表達能力，但我認為在高一、高二的教學中也可以根據教材內容的需要和學生的實際水平，適時、適度地開展“說題”教學，讓學生感受不同教學方式的效果，充分感受數學的美學價值，發展學生的創新思維和創新精神，體會數學在人類社會發展中的重要作用。

（2）學生的“說題”與教師的“說題”相互滲透，共同發展

在引導學生“說題”的教學活動之前教師也可以在教研活動時先“說題”，闡述自己的教學設計過程，說自己對知識的理解，說可能出現的困難和問題，說解決問題的方法和策略，說如何引導學生獨立思考與合作學習，說如何引導學生說教學中的精彩之處或不足之處，說為什么要安排這樣的例題等等，通過教師教研中的“說題”，展現教學中各個方面的能力與知識水平，才能促進教師專業能力的提升，優化教學過程，教學相長，相互滲透，共同發展。

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？誗編輯 楊兆東