生活中的概率事件

[摘 要]概率作為數學的一個重要組成部分，對我們的日常生活有著緊密的聯系。概率論是數學發展過程中的一個重要成果，學會以概率論的思想分析并解決問題，能夠讓生活變得更加輕松和簡單。本文將以抓鬮問題為例分析身邊一些概率問題，希望讀者能夠從中感受到概率數學的奇妙。

[關鍵詞]概率分析；抓鬮；中獎概率

一、抓鬮的概率

我們來假設這樣一個場景，某公司要從會說阿拉伯語的五名員工中選出一位去伊拉克戰亂地區做市場調查，可這五名員工出于安全考慮都不想接受這個任務，于是主管想出了一個主意——來抓鬮吧，五個紙條中有一個標有記號，誰抽中了誰就去。正如上面提到的，每個人覺得先抓鬮的人優勢會大一些，因為第一個人抽中的幾率是1/5=0.2，第二個抽中的幾率就是1/4=0.25，類似的第三個人抽中的幾率就是1/3=0.33了，這么看來，越靠后抽的人抽中的幾率就大了，這么看來抓鬮似乎就不公平了，然而事實是這樣么？

讓我們從宏觀上看這個問題，第一個人抽中的概率是1/5，那么第二個人抽中的幾率是簡簡單單的1/4么？顯然不是，因為大家都忽略了一個前提，第二個人抽中的前提是第一個人沒抽中，因為第一個人直接抽中了后面的人就不用抽了，所以計算第二個人抽中的前提是第一個人沒抽中，由于這個兩個事件時相互獨立事件，所以要把這兩件事的幾率相乘，也就是（4/5）（1/4）1/5，類似的第三個人抽中的前提條件是是第一個和第二個人都沒抽中，成功的躲開了這次公派，概率就是（4/5）（3/4）（1/3）1/5，同樣的道理計算每個人抽中的幾率都是一樣的1/5。這么看來抓鬮作為一個解決上面問題的方式是合理的，因為他至少對每個參與者而言都是公平的。

二、相對復雜的情況

如果我們把這個問題展開，假如從五個人里選兩個人，第一個人抽中的幾率是2/5，第二個人抽中的幾率是多少呢？

我們把這個問題做一個詳細的分析可以列出如下兩種情況

1.第一個人沒抽中，這個幾率是3/5，這個時候還有4個鬮，其中有兩個有記號所以這時候第二個人抽中的概率是2/4，綜合兩個獨立事件發生的概率是：

P1（3/5）（2/4）6/20

2.第一個抽中了，這個幾率是2/5，這時候同樣還有4個鬮，其中只有一個有記號，此時第二個人抽中的概率是1/4，綜合兩個獨立事件發生的概率是：

P2（2/5）（1/4）2/20

上面分析的兩種情況是互斥事件，因此概率相加，所以第二個人抽中的概率是上面分析的兩種情況的概率之和，Ptotal P1P26/202/208/202/5，和第一個人抽中的幾率是相同的。

下面來分析第三個人抽中的概率，第三個人抽中有如下幾種情況；

1.第一個人抽中，概率為2/5、第二個人沒抽中，概率為3/4、第三個人抽中了，概率為1/3。這三個事件相互為獨立事件，因此發生的概率為三個概率相乘，結果為P1（2/5）（3/4）（1/3）6/60

2.第一個人沒抽中，概率為3/5、第二個人抽中，概率為2/4、第三個人抽中了，概率為1/3。這三個事件相互為獨立事件，因此發生的概率為三個概率相乘，結果為P2（3/5）（2/4）（1/3）6/60

3.第一個人沒抽中，概率為3/5、第二個人沒抽中，概率為3/4、第三個人抽中了，概率為2/3。這三個事件相互為獨立事件，因此發生的概率為三個概率相乘，結果為P3（3/5）（2/4）（2/3）12/60

4.不存在第一個人抽中了，第二個人也抽中了的情況，因為前兩個人都有抽中了，抓鬮就結束了，因此這種概率為0

同樣的上面的幾種情況也是互斥事件，所以第三個人抽中的概率是上面的事件概率之和Ptotal P1P2P36/606/60+12/6024/602/5

也就是說第三個人抽中的概率與前兩個人一樣也是2/5，同樣的道理，讀者可以自行推算，每一個游戲參與者抽中的幾率都是2/5，同樣的情況也可以推演到五個人中抽三個人，n個人抽a個人，可以算出每個人的概率都是一樣的a/n。也就是說，無論多少人的情況每個人抓鬮的概率都是相同的，所以古人設計出的這樣一個解決問題的方法是有趣、合理且公平的，不得不佩服古人的智慧。

三、生活中的其他概率事件

其實生活中的概率事件是很多的，比如游樂場的扔圏套娃娃游戲，圏的大小影響了能套中娃娃的概率，直接影響著商家能不能盈利，所以這個小小的圏里其實有著大大的計算。復雜一點的比如離我們最近的人身傷害保險，其實保險公司在銷售這款保險產品之前會做一個復雜的模型。模型中包含了通過一系列分析計算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過這個規律，保險公司可以制定出一套保險方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠遠大于投保金額，但保險公司還是盈利的。舉個例子，中學生的人身意外傷害險每年只有五六十元，這是因為保險公司計算了一下中學生的模型——大部分時間都在學校忙于學業，在校期間受到意外傷害的幾率非常低，因此投保金額也很低。但是假如有保險公司為動作明星成龍保險，那么金額肯定是非常高的，因為保險公司會分析成龍的工作環境，危險的動作片拍攝現場，還不加保護措施，為了力求還原電影的真實性，演員受傷的幾率很高，這種情況下低保額的保險很難保證保險公司的盈利性，所以成龍自己也提到過，沒有保險公司愿意為他保險。

其他的，比如彩票，彩票作為一個概率事件，中獎的幾率是非常低的，以從前非常流行的35選7為例，一等獎中獎率有多低？我們可以做一個計算35個數字組合可以有C357=6724520種可能，買一注就中獎的可能只有1/6724520，所以說這個中獎率是非常低的。

四、結語

其實生活中的很多問題都是可以用概率分析來解決的，很多時候我們看到的問題只是表面現象，比如抓鬮是先抓好還是后抓好？所以我們需要要用概率的思維理智、清晰、細致的分析問題，才能看清問題的深層次結構，更好的解決問題。數學是一門無處不在的復雜的基礎科學，也正是這種復雜，才讓生活變得美好！

參考文獻：

[1]《隨機數學》 高等教育出版社.