探尋生活中概率問題的本來面貌

[摘 要]從小到大，我們的生活中都處處充滿了數學的知識。這些知識有的趣味無窮，有的引人深思，甚至有的直接影響到我們的生活。如果離開了這些看似簡單的數學知識，我們的生活將無法像往常一樣順利。

[關鍵詞]概率；抽獎；必勝賭術；建模分析

生活中見到過一種“高明”的賭術，可以只贏不輸。這種方法是這樣了。一個擲骰子搖大小的游戲，當骰子數字為1，2，3的時候為小，骰子數字為4，5，6的時候為大。即骰子搖出大與小的概率都是1/2。這時進行押注的人可以這樣做。押注的人一直壓小，第一次壓1塊錢，如果押對了則再壓1塊錢壓小，如果押錯了則下一次壓2塊錢繼續壓小。同理如果押對再壓就從一塊錢壓起，如果壓錯了則再翻倍壓4塊錢壓小，直到壓對為止。這樣的方法下。如果押注者的本金很高，比如有10000元。則輸錢的概率微乎其微。除非連續壓錯一直到10000元全輸光！這樣的可能性真的是小的可憐。這既是必勝賭術！然而真的是這樣嗎？現在我們來建立數學遞推模型來研究這個問題。

一、建立上述問題的數學模型

第一步我們來建立一個和上述問題一致的數學模型來探究這個問題。

建立數學模型就是通過我們已經學過的數學方法，數學原理來構建一個易懂的，生活中常用的數學現象，來闡述比較困難的數學問題。

1.分析問題，找到問題本質。

2.非必要因素忽略，簡化問題。

3.通過數學計算歸納出這類問題規律。

4.最終與要研究問題想對比，找出相應問題的統一處理辦法。

二、建立拋硬幣實驗的數學模型

這個問題，我們可以把它轉化為簡單的拋硬幣問題。大家都知道拋硬幣正反面的概率都為1/2。現在我們這樣設計問題。拋硬幣第一次拋到正面加1分，拋到反面扣1分。當拋到正面的時候則算完成一個輪回，重新拋硬幣依舊正面加一分，反面扣一分。當拋到反面，則繼續拋硬幣而得分變成加2分扣2分。以此類推再拋到反面時下次拋變成加4分扣4分…我們來研究一下拋一個輪回下來得到積分的數學期望。

我們從最簡單的算起

（一）只拋了一次就截止

這種情況下，只有兩種情況，拋的一次為正面得一分或者反面扣1分。

正面概率1/2，得1分。反面概率1/2，扣1分。得分的期望值：1*1/2+（-1）*1/2=0

（二）最多拋兩次截止

這種情況下，只有3種情況①拋了一次為正面概率為1/2，此時得1分。②拋了兩次第一次為反面第二次為正面概率為1/2*1/2=1/4，此時第一次扣1分第二次得2分，為得1分。③拋了兩次第一次為反面第二次為反面概率為1/2*1/2=1/4，此時第一次得扣1分，第二次扣2分，總計扣3分。得分的期望值為1/2*1+1/4*1+1/4*（-3）=0

（三）最多拋3次截止

這種情況下，有4種情況①拋了一次為正面概率為1/2，此時得1分。②拋了兩次第一次為反面第二次為正面概率為1/2*1/2=1/4，此時第一次扣1分第二次得2分，為得1分。③拋了三次第一次為反面第二次為反面第三次為正面概率為1/2*1/2*1/2=1/8，此時第一次扣1分，第二次扣2分，第三次加4分，總得分為1分。④拋了三次全是反面概率為1/2*1/2*1/2=1/8，此時第一次扣1分，第二次扣2分，第三次扣4分，一共扣7分。則此時拋3次的得分期望為1/2*1+1/4*1+1/8*1+1/8*（-7）=0。

（四）只拋了四次以內

這種情況下，有5種情況①拋了一次為正面概率為1/2，此時得1分。②拋了兩次第一次為反面第二次為正面概率為1/2*1/2=1/4，此時第一次扣1分第二次得2分，為得1分。③拋了三次第一次為反面第二次為反面第三次為正面概率為1/2*1/2*1/2=1/8，此時第一次扣1分，第二次扣2分，第三次加4分，總得分為1分。④拋了四次前三次反面第四次正面，概率為1/24，此時得分為-1-2-4+8=1分。⑤拋了四次全是反面，概率為1/16，此時得分為-1-2-4-8=-15分。此時拋4次的得分期望為1/2*1+1/4*1+1/8*1+1/16*1+1/16*（-15）=0。

此時不難發現，無論拋幾次得分期望都是0！

（五）只拋了N次以內

這種情況下，有N+1種情況①拋了一次為正面概率為1/2，此時得1分。②拋了兩次第一次為反面第二次為正面概率為1/2*1/2=1/4，此時第一次扣1分第二次得2分，為得1分。③拋了三次第一次為反面第二次為反面第三次為正面概率為1/2*1/2*1/2=1/8，此時第一次扣1分，第二次扣2分，第三次加4分，總得分為1分。④拋了四次前三次反面第四次正面，概率為1/16，此時得分為-1-2-4+8=1分…拋了N次前面N-1次全是反面最后一次是正面概率為1/2N，此時得分為-1-2-4-8…-2N-2+2N-1=1。拋了N次全是反面概率為1/2N，此時的得分為-1-2-4-8-…2N-1=1-2N。此時的期望為1/2*1+1/22*1+1/23*1+…+1/2N*1+1/2N*（1-2N）=0。

三、規律總結

上述的數學模型證明了對于硬幣的問題，按照上述方法無論進行到多少次，得分的期望都將為0。

四、回歸解決實際問題

回歸到實際問題上，也就是我們研究的“必勝賭術”。可見無論你有多少本金，無論你進行多少次這樣的押注，最終得到錢的數學期望是0。在運用縝密的數學思維研究了無敵賭術之后，這樣的方法也變的一文不值，必勝賭術不攻自破。數學總是用最淺顯最易懂的阿拉伯數字，給事件以公正的評判！

五、結語

生活中的我們會遇到各種各樣的問題，沒有一塵不變的問題，只有不斷創新不斷探索出來的解決方法。沒有人可以用自己已經學到的算法把所有問題都解決掉。而很多新的問題，我們可以把其轉化為類似的數學問題，運用數學中學到的知識建立相對應的數學模型，把問題簡單化，不僅幫助我們更好的解決問題，還可以使我們的數學思維更加縝密。

通過數學的眼光看待一些問題，總是讓我們得到一些原來并不認同的事實！這就是數學，一個只用事實說話的最基礎最復雜的自然科學！

參考文獻

[1]高文森 潘偉。大學數學-隨機數學；吉林：吉林大學出版社；2009.

[2]李賢平，沈崇圣，陳子毅。概率論與數理統計【M】；上海：復旦大學出版社；2005.