一個不等式問題的多種證法

不等式問題貫穿高中數(shù)學各章內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容之一。備考的有效方法是通過鏈接某一例題找“通性通法”或歸納于類型題組之后的規(guī)律總結(jié)、方法技巧，即“多題歸一”，指導學生“學思結(jié)合”，幫助學生養(yǎng)成思考、總結(jié)的習慣，知己不足，并輕松破解不足之處，穩(wěn)步提升學習能力。而要達到這點，則需要正確、迅速地把握解題的“切入點”。“切入點”的選擇一方面依靠對已知的和未知的知識分析，另一方面來自解題的經(jīng)驗。下面就以一道例題的切入點不同來研究問題的解決方案。

【問題】已知n∈N*，n≥6，求證：<

證法一：欲證<，其實可轉(zhuǎn)換成證明<1。為此，用數(shù)學歸納法來證明：

（1）當n=6時，=<1，結(jié)論成立。

（2）假設(shè)當n=k（k≥6）時，成立<1，則當n=k+1時，·<=<=1。

綜上，當n≥6時，<1成立。

證法二：數(shù)列單調(diào)性法（切入點）：原不等式進行等價轉(zhuǎn)化，比較與自然數(shù)有關(guān)的代數(shù)式與1的大小關(guān)系。

令cn=，則當n≥6時，==<=1（或Cn+1-cn=<0），又cn>0，c6=，所以當n≥6時，cn≤c6=<1。

證法三：函數(shù)求導法設(shè)（在方法二的啟發(fā)下切入點：數(shù)列是函數(shù)上孤立的點，可以用函數(shù)解決這一問題）。

f（x）=，則f′（x）=，由于g（x）=-x2ln2+ 2（1-ln2）x+2在（-1，+∞）單調(diào)遞減，-1<6，則在[6，+∞）上，g（x）≤g（6）=14-48ln2<0，從而在（6，+∞）上，f（x）<0，f（x）單調(diào)遞減。所以，當x≥6時，f（x）≤f（6）=。故當n≥6，n∈∈N*時，=f（n）<1.

證法四：展開二項式法（切入點：聯(lián)想到二項式定理）。

由n≥6，得

2n-n（n+2）=（1+1）n-n（n+2）=C+C+C+C+…+C-n（n+2）≥1+n+++C+C+C-n（n+2）=（n3-6n2-7n）+23=n（n+1）（n-7）+23。

當n=6時，n（n+1）（n-7）+23=16>0；當n≥7時，n（n+1）（n-7）+23≥23>0。

所以，當n≥6時，2n>n（n+2）。

證法五：取對數(shù)降格法（切入點：指數(shù)與對數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化，達到降格化指數(shù)為對數(shù)）。

當n≥6時，2n>n（n+2）?nln2>lnn+ln（n+2）。

令r（x）=xln2-lnx-ln（x+2），則當n>6時，

r′（x）=ln2-->ln2--=>=>0.

所以，r（x）在（6，+∞）上單調(diào)遞增，又由r（x）在x=6處連續(xù)知，當n≥6時，nln2-lnn-ln（n+2）=r（n）≥r（6）=ln>0，nln2>lnn+ln（n+2）.

比較上述各種證法，可以看出：

1.前三種證法的本質(zhì)都是證明了當n≥6時，數(shù)列{}單調(diào)遞減，且<1。也可證明當n≥6時，數(shù)列{}單調(diào)遞增，且>1。

顯然，數(shù)列單調(diào)性法中的差比法易于通分，最為簡捷，而函數(shù)求導法屬小題大做，按k（x）=2x-x（x+2）兩次求導的方法更加增加了推算量，不宜采用.

2.展開二項式法與取對數(shù)降格法別出心裁，表現(xiàn)了思維的奇異性。同時取對數(shù)降格法是對函數(shù)求導法的變通，取h（x）=，則r（x）=lnh（x），r（x）與h（x）在（6，+∞）上具有相同的單調(diào)性。

對于不等式的證明，我們學習了常用的幾種方法：比較法、分析法、綜合法、單調(diào)性、換元法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法等。探討某些問題時，究竟用什么方法，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，結(jié)合通性通法，找出問題的切入點，從而快速準確地找到解決問題的方法。