淺入深出，展復習藍圖

線性規劃問題是高中數學“不等式”中的一小部分，在高考試卷中屢屢出現。近年來，為了提高試題考查效能，其題型更加靈活，不僅引入了參數，而且呈現出與其他知識有機融合的趨勢。如何設計“線性規劃問題”的復習，是擺在高三教師面前的小課題。筆者認為，教師應在理解數學、理解學生的基礎上構建復習主線，呈現有結構的、層層遞進的例題，幫助學生在復習“線性規劃”知識過程中，領悟思考方法，增強解決問題的能力，提升高三復習效率。

一、淺入：用基本題，夯實基礎

解決線性規劃問題的基本思路是“畫圖—平移—代值解答”，其中規范作圖是基礎。

1.僅涉及區域問題

例1不等式組2x+y-6≤0

x+y-3≥0

x≥0表示的平面區域的面積為（ ）

A.9 B.4 C. D.無窮大

解析：作可行域得△ABC，面積為。選（C）。

點評：可行域是線性規劃問題的重點之一，確定可行域的基本方法：直線定界（注意虛實），特殊點定域。規范的作圖是基礎。通過例1的呈現，實現“淺入”目的，有助于夯實基礎，為后續提升做準備。

2.目標函數是線性的

例2（2014·天津）設變量x，y滿足約束條件x+y-2≥0，

x-y-2≤0，

y≥1，則目標函數z=x+2y的最小值為（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：作出平面區域。當z=x+2y經過A（1，1）時，得最小值3。選（B）

點評：根據線性約束條件求線性目標函數z=ax+by（b≠0）的最值問題是最常見的。其解決要點：（1）畫出可行域；（2）將線性目標函數化為斜截式y=-x+（b≠0），找到z與縱截距的關系，當b>0時，縱截距越大，z越大；當b<0時，則相反。

二、遞進：引入參數，推進探究

1.約束條件含參數

例3（2014 湖南）若變量x，y滿足約束條件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值為-6，則k=_____。

解析：先作出由y≤x，

x+y≤4，≤確定的區域，再作出直線2x+y=-6，它與陰影區域的邊界交于點A（-2，-2），所以直線y=k必過點A，最后確定可行域，再檢驗。故k=-2。

點評：當線性目標函數的最優解已知，求約束條件中的參數時，可行域往往未完全確定，解題時需充分結合最優解的信息，通過逆向思維，確定完整可行域。

2.目標函數含參數

例4（2014·浙江）當實數x，y滿足x+y-4≥0，

x-y-1≤0，

y≥1，時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是______。

解析：作出可行域，將目標函數z=ax+y化為y=-ax+z，其中-a表示直線斜率，此時通過它與約束條件中的直線斜率比較大小，進行分類討論，知目標函數最小值在A（1，0）在取得，故a≥1，最大值在B（2，1）取得，故2a+1≤4，綜上1≤a≤。

此題的另一種解法是將可行域的三個頂點A（1，0），B（2，1），C（1，）的坐標均代入1≤ax+y≤4，可得1≤a≤。

點評：當目標函數中含參數時，通常需充分認識參數在式子中的意義，必要時進行分類討論。但有時可以借助特殊點、極端狀態等有效解題。上述解法二中用到了一個重要的結論：當可行域是封閉圖形，且目標函數為線性時，其最值必在頂點取得。

三、深出：有機融合，促進遷移

例5（2013溫州一模）設點A（1，-1），B（0，1）若直線ax+by=1與線段AB（包括端點）有公共點，則a2+b2的最小值為（ ）。

A. B. C. D.1

解析：由題知A、B在直線的兩側或直線上，即（a-b-1）（b-1）≤0，作出可行域，注意到a2+b2可視為該可行域內的點與原點的距離平方，由圖知，a2+b2的最小值為，選（C）。

點評：此題有其他解法，此處僅用可行域思想加以解決，顯得新穎獨到。