曲線系方程的應(yīng)用

一、直線系方程

1.過(guò)定點(diǎn)的直線系

（1）直線y=kx+b（其中k為參數(shù)，b為常數(shù)）表示過(guò)定點(diǎn)（0，b）的直線系，但不包括軸。（2）直線y-y0=k（x-x0）（其中k為參數(shù)）表示過(guò)點(diǎn)（x0，y0）的直線系，但不包括直線x=x0。

2.平行直線系

（1）直線y=kx+b（其中b為參數(shù)，k為常數(shù)）表示斜率為k的平行直線系。（2）與已知直線l：Ax+By+C=0平行的直線系為Ax+By+m=0（m為參數(shù)，m≠C）。

3.垂直直線系

（1）與直線y=kx+b（其中b為參數(shù)，k為常數(shù)）垂直的直線系方程為y=-x+m。（2）與已知直線l：Ax+By+C=0垂直的直線系為Bx-Ay+m=0（m為參數(shù)）。

4.經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)的直線系

已知直線l1：A1x+B1y+C1=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0相交，則經(jīng)過(guò)它們交點(diǎn)的直線系為m（A1x+B1y+C1）+n（A2x+B2y+C2）=0（m，n為參數(shù)且m2+n2≠0）或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ為參數(shù)），但不包括直線l2。

二、圓系方程

1.同心圓系方程

（x-x0）2+（y-y0）2=r2，其中（x0，y0）為常數(shù)，r為參數(shù)。

2.同心共線半徑相等的圓系方程

（x-x0）2+（y-y0）2=r2（r為常數(shù)，點(diǎn)（x0，y0）在Ax+By+C=0）。

3.過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程

設(shè)：l1：Ax+By+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則過(guò)直線l與C的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0。

例：求過(guò)直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程。

解：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0，因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以經(jīng)過(guò)計(jì)算得：λ=-，代入上式得圓的方程為：x2+y2+x-y=0。

4.過(guò)已知圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0與C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=

0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ≠1）

注：當(dāng)λ=-1時(shí)，方程變?yōu)椋―1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0，表示為過(guò)CA和C2交點(diǎn)的直線。

（1）當(dāng)兩圓為同心圓時(shí)，該直線不存在；（2）當(dāng)兩圓相交時(shí)，該直線為兩圓公共弦所在直線；（3）當(dāng)兩圓相切時(shí)，該直線為兩圓的公切線；（4）當(dāng)兩圓相離時(shí)，該直線為與兩圓連心線垂直的直線。

三、橢圓系方程

1.與橢圓+=1（a>b>0）共焦點(diǎn)的橢圓系方程為：+=1（k>-b2）或+=1（k

例：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3）且與橢圓9x2+4y2=36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。

解：因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，所以設(shè)+=1（k<4），將點(diǎn)（2，-3）代入上式可得k=-6，所求橢圓方程為+=1.

2.與雙曲線-=1（a>0，b>0）共焦點(diǎn)的橢圓系方程為：+=1（k>b2）

四、雙曲線系方程

1.與已知雙曲線-=1（a>0，b>0）共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為：-=1（-b2

2.與已知橢圓+=1（a>b>0）共焦點(diǎn)的雙曲線方程為+=1（b2

例：求與橢圓+=1共焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，2）的雙曲線方程。

解：設(shè)雙曲線方程為+=1（36

3.與已知雙曲線-=1（a>0，b>0）共漸近線的雙曲線系方程為：-=k（k≠0）

例：求與雙曲線-=1有共同點(diǎn)漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-3，2）的雙曲線方程。

解：設(shè)所求雙曲線方程為-=λ（λ≠0），將點(diǎn)M（-3，2）代入上式得：λ=，故所求雙曲線方程為：-=1。

利用曲線系來(lái)解題，是解析幾何中重要的解題技巧，它充分體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的辯證思想。現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課本中沒(méi)有正面提及曲線系概念，但是在習(xí)題和復(fù)習(xí)題中均有所涉及。教師要能通過(guò)鉆研教材，洞察某些習(xí)題的背景，在教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生研討。