通過求相貫線培養學生的解題能力

摘 要：要想使學生面對復雜問題能得心應手，就必須培養他們的解題能力。然而，教師在教學中如何更好地引導學生解答問題，不斷提高學生的解題能力是一項長期的工作。解題能力標志著一個人的數學水平。教師能否培養并提高學生的解題能力，不僅直接關系到學生學習數學的成功與否，而且是衡量教師數學教學業務水平高低的重要標尺之一。那么，如何培養學生的解題能力呢？本文此問題談一談幾點想法。

關鍵詞：相貫線；解題能力；機械制圖

在機器設備及其零部件上，經常遇到兩基本體相交的情況，這種組合方式叫相貫，在他們表面相交處所產生的交線，稱為相貫線。它通常是一條閉合的空間曲線。解題時需要學生具有較豐富的空間思維能力，同時還要較熟練地掌握幾何元素的投影原理和正確的作圖方法。在以前的教學中，教師對解題方法只強調“多做多練，孰能生巧”，結果使學生缺乏正確的解題思路，不善于運用幾何元素的基本投影規律，導致學生的獨立解題能力差，一直停留在既不“熟”，也不“巧”的水平。

實踐證明，為了使學生在解題時逐步做到“熟”與“巧”，在教學活動中要充分發揮教師的主導作用，不能局限于書本上的文字和圖例，備課的重點應放在組織內容的系統性，確定教授方法，選擇合適的圖例。

學生解題無從下手的重要原因是不能掌握解題的思維方法，造成思路混亂。在講課時要抓住這個主要矛盾，教給學生在解題中保持準確而清晰的思路。

例如：解兩立體表面交線時（圖1），可用以下的程序啟發學生簡歷正確的思路。

第一，引導學生正確理解題目的已知條件。學生不會作相貫類型的題，首先是對已知條件分析不清，要先從對幾何體投影再鞏固的角度，利用“對線條”方法講清圓柱和圓錐三面投影狀態。接著交代兩者的位置關系，應注意同時講清各自對投影面的位置以及圓柱和圓錐的相對位置。

第二，利用體形和面形分析原理，研究交線的空間形狀。在左視圖上運用體形分析得出該相貫體是圓柱穿透圓錐，一進一出形成兩條獨立的相貫線。再由面形分析看出是圓柱面與圓錐面相交，其交線不是直線和圓，而是形狀相同、左右對稱的兩條封閉空間曲線。

第三，根據相貫線的空間形狀，分析它的投影狀態。首先解決問題的重點，即應用立體表面投影的積聚型原理，搞清相貫線在三面投影圖中的已知和未知投影。圓柱與圓柱相交，有兩面投影已知，圓柱與圓錐相交，有一面投影已知，但球與圓錐相交，由于兩個立體的表面在三面投影圖中均無積聚性，因此相貫線的三面投影均屬未知。圖1左視圖圓柱表面投影有積聚性，所以它的側面投影已知，再分析相貫線未知投影的大體形狀。通過對相貫線投影狀態的分析，相當一部分習題可以充分利用已知投影求未知投影，學生概念清楚，作圖簡捷。

第四，研究如何選擇未知合理的輔助切平面。它是解題中的一個難點。先闡明為什么一般都選用投影面平行面的輔助切平面，再交代輔助切平面的選擇原則是：截割兩個回轉體，各自得到的截交線均應是圓或直線。最后得出結論：兩回轉體相交時，切平面要垂直于立體的回轉軸線，并平行于某一投影面。用此結論可以解釋圖1為什么只能選水平面為切平面。

第五，講清作圖原理。這一步只講兩立體表面共有點的作圖原理，把結論落實到表面點的投影求法上。教師可根據學生水平，也可以在講此原理之前對求立體表面點投影進行簡單的再鞏固。

第六，分析具體作圖步驟。影響作圖精確性的主要因素有：相貫線投影圖權限范圍的確定；相貫線上求出一般點分布的均勻性；相貫線轉向處應是圓角或尖角以及可見與不可見的正確處理。為得到較準確的相貫線投影圖，應以這三點為中心講解作圖步驟。先講如何判斷并畫出特殊點三面投影以解決及轉向位置問題，再講利用輔助切平面求出適量分布較均勻的一般點投影，最后再連結各點同面投影。求相貫線投影時，要重點抓住轉向處轉角形狀和可見性的處理。

第七，相貫線畫法的特殊情況。兩回轉體相交，在一般情況下相貫線是空間曲線，但在特殊情況下相貫線也可能是平面曲線或直線。下面介紹幾種常見的情況：（1）同軸的兩回轉體相交，相貫線是垂直于軸線的圓；（2）切于同一球面的兩回轉體相交（圓柱與圓柱、圓柱與圓錐、圓錐與圓錐），其相貫線為兩個相交的垂直于公共對稱面的橢圓；（3）軸線相互平行的兩圓柱相交，兩圓柱面上的相貫線是兩條平行于軸線的直線。

有效地使學生掌握知識和技能，是每一位教師責無旁貸的追求。面對學生解題無從下手的狀態，教師應嘗試不同的教學方法，力求在有限的課堂上收獲最大的教學成果。通過以求相貫線為例，證明只有正確引導學生明白解題的原理，才能激發學生形成獨立的解題思維。因此，教師應在今后的教學過程中有意識地培養學生的解題能力，使學生擺脫解題時既不“熟”也不“巧”的狀態，從根本上提高專業技術水平。