圓弧相似及應用

摘要：指出什么是圓弧相似，剖析兩圓弧相似應滿足的條件；通過一個具體實例——帶電粒子在磁場中運動規律的求解，說明圓弧相似在物理解題中的應用。

關鍵詞：圓弧 相似 帶電粒子 勻強磁場 運動軌跡

所有的圓都是相似圖形。等圓能夠相互重合，是全等形，當然相似；大小不同的兩圓，將小圓放大一定倍數之后，可以和大圓變得相同而成為等圓，也相似。但不同的圓弧卻未必相似，比如，一段優弧與一段劣弧相比，它們一定不相似，因為若兩弧等長，則它們的曲率半徑不同，即使一樣長，也不會重合，一樣長卻不能重合的兩段圓弧肯定不會相似的；若兩弧不等長，將短弧放大一定倍數而與長弧長度相等之后，曲率半徑仍不等，所以，它們也不相似。

可以證明，度數相等的兩圓弧，不論半徑是否相等，都相似。

例1.如圖1，圓弧AB和圓弧CD度數相等.求證：圓弧AB∽圓弧CD

證明：如圖2，圓弧AB保持不動，平移圓弧CD，使兩圓弧所在的圓共面，且圓心重合（不妨設為點O），使過兩弧端點A和C的兩半徑OA、OC共線，因為兩圓弧的度數相等，所以，過兩圓弧另一端點的兩半徑OB、OD也共線，設 ，則將扇形OCD擴大到原來的k倍之后（擴大后所得的圖形與原圖形相似），C與A重合，D與B重合，因此，擴大后的圓弧CD將與圓弧AB重合。故，圖2中，圓弧AB∽圓弧CD

我們看圓弧相似的一個應用。

例2.如圖3所示，在x>0，y>0的空間有恒定的勻強磁場，磁感應強度方向垂直于平面向里，大小為B，現有一質量為m、電量為q的帶正電粒子，從x軸上的某點P沿著與x軸成300角的PQ方向射入磁場。不計重力的影響，求帶電粒子在磁場中運動的時間范圍。

分析：不考慮重力影響時，受洛倫茲力的作用，由P點進入磁場帶正電粒子的運動軌跡，是與PQ切于P點的圓弧，隨著粒子速度的改變，粒子運行軌跡圓弧的半徑也在改變。由等式 可知，在粒子質量m、電量q及運動粒子所在空間磁感應強度B一定時，粒子運行軌跡圓的半徑r與其運行速度v成正比。

圖4是同一帶電粒子以不同速度由P點進入勻強磁場時的運行軌跡（指第一象限內的實線部分，帶電粒子一旦離開第一象限，也就離開了磁場，因不再受力，粒子的運行軌跡也不再是圓弧，而是變成了直線。隨著速度的不同，應該能夠畫出無數個圓弧形軌跡，我們只在圖4中畫出了有代表性的幾個）。

這些圓弧軌跡所在圓的共同特征是，與過點P、與x軸成30°角的直線PQ切于同一點P，所以，這些圓的圓心都在過點P并與PQ垂直的直線PE上，PQ是這些圓的公切線，由于弦切角的度數等于它所夾弧度數的一半，因此，圖4中的這些過P點的所有圓，x軸下面的劣弧度數都是60°，所以，x軸上方的優弧，度數均為300°（即 rad）。當帶電粒子的速度不是很大時，其運行軌跡是與y軸不相交的圓弧——第一象限橫軸上方弧度為 的優弧，所以，它們是一組相似圖形。因為相似圓弧的弧長與其半徑成正比，而圓弧的半徑與粒子的速度成正比，所以，各圓弧弧長與對應的粒子運動速度的比值相同。這就是說，在粒子速度不大，粒子運行軌跡與y軸不相交時，不論粒子的速度大還是小，粒子在磁場中的運行時間 始終相同：

當帶電粒子的速度較大時，其運行軌跡與y軸相交（比如圖4中的⊙O4、⊙O5、⊙O6），各圓弧在第一象限內的度數隨粒子速度的增加而減小，不用說，粒子在磁場中的運行時間也將隨粒子運動速度的增加而減小，當粒子的速度趨向于無窮大時（這僅僅從數學的角度考慮，實際上，所有物體的運動速度都有一個極限值3×108m/s，不可能變得無窮大），粒子運行軌跡圓弧的半徑也變得無窮大，跟無窮大的軌跡半徑相比，粒子的初始位置P與坐標原點O間的距離變得相對很小，可認為是零，如圖5，此時，粒子運行軌跡——第一象限內的圓弧，度數趨向于120°（即 rad），所以，粒子在磁場中的運行時間趨向于：