最小二乘支持向量機在堆芯功率分布重構中的應用

彭星杰，李天涯，李 慶，王 侃

(1.清華大學 工程物理系，北京 100084；2.中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術重點實驗室，四川 成都 610041)

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最小二乘支持向量機在堆芯功率分布重構中的應用

彭星杰1,2，李天涯2，李 慶2，王 侃1

(1.清華大學 工程物理系，北京 100084；2.中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術重點實驗室，四川 成都 610041)

應用最小二乘支持向量機(LS-SVM)進行了堆芯軸向功率分布重構的研究，通過6節堆內中子探測器的信號重構出堆芯軸向18個節塊的功率。使用ACP-100模塊式小堆的7 740套軸向功率分布對LS-SVM重構算法進行了驗證，實驗結果表明：LS-SVM算法的重構精度遠優于交替條件期望(ACE)算法，且LS-SVM算法具有良好的魯棒性。

最小二乘支持向量機；功率分布重構；魯棒性

堆芯功率分布在線監測對保證反應堆的安全運行起到了至關重要的作用，大部分的反應堆都安裝有堆內中子探測器或堆外中子探測器來進行堆芯功率分布監測。在線監測系統的核心技術之一是堆芯功率分布重構算法，即如何通過探測器信息重構出堆芯功率分布，國內外學者對于這一問題進行了大量工作。基于堆內中子探測器的COLSS系統采用傅里葉擬合算法[1]進行堆芯軸向功率分布的重構，當軸向功率分布為馬鞍狀或功率分布偏移到堆芯頂端或底端時，傅里葉擬合算法的重構精度較差。傅里葉擬合算法的重構精度強烈依賴于探測器數，而探測器的軸向布置數通常限制在6節以內。為提高軸向功率分布重構精度，Lee等[1]使用交替條件期望(ACE)算法進行了重構方法研究，通過5節堆內中子探測器的讀數重構出堆芯軸向20個節塊的功率。研究結果表明，ACE算法遠優于常規使用的傅里葉擬合算法，ACE算法重構的均方根誤差平均值僅為傅里葉擬合算法的35%。

ACE算法屬于非線性回歸算法的范疇，其他類型的非線性回歸算法在核工程領域也得到了應用，其中包括支持向量機(SVM)算法[2-5]。SVM是由Vapnik[6]在統計學習理論的基礎上建立起來的一種非線性回歸方法，具有自組織、自學習和聯想記憶功能。最小二乘支持向量機(LS-SVM)是標準SVM的一個改進，它將SVM中的不等式約束改為等式約束，且將誤差平方和損失函數作為訓練集的經驗損失，提高了求解問題的速度和收斂精度。

本文研究LS-SVM在堆芯軸向功率分布重構中的應用，并將LS-SVM算法與ACE算法進行比較。

1 LS-SVM算法

(1)

其中：φ(x)為輸入空間到特征空間的映射；w和b分別為系數向量和偏差項，均為待求量。

未知量通過最優化問題來確定：

(2)

其拉格朗日函數為：

(3)

其中：ei為經驗風險因子；αi(i=1,2,…,l)為拉格朗日乘子。

式(3)的Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件為：

(4)

消去式(4)的w和e，可得到：

(5)

其中：y=[y1,y2,…,yl]T；α=[α1,α2,…,αl]T；J=[1,…,1]T；Z=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xl)]T；I為單位矩陣。

解這個線性方程組求得b和α，進而求得LS-SVM回歸函數：

(6)

使用輸入空間的一個核函數k(x,xi)等效高維空間的內積形式，從而回歸函數為：

(7)

任意滿足Mercer核條件的對稱函數均可作為核函數，本文選擇徑向基核函數作為核函數：

(8)

正則化參數γ和核函數寬度σ在很大程度上決定了LS-SVM的學習和泛化能力。γ影響LS-SVM模型的推廣性能，σ影響支持向量數。尋找合適的γ和σ的組合，可使LS-SVM有最好的預測性能。考慮如下的優化問題。

(9)

可以使用優化算法求解最小化問題(式(9))得到最優化的γ和σ。

2 ACE算法

ACE算法[1]是一種估算最佳變換的多元非線性回歸方法，其變換結果是使一個隨機因變量和多個隨機自變量之間具有最大相關系數。對數據列{(yi,x1i,x2i,…,xpi),i=1,…,N}的多元非線性回歸問題，ACE算法為：

(10)

(11)

式中：E為數學期望；θ(y)、φj(xj)分別為對變量y、xj所作的變換。

如果對變換后的因變量和自變量總和進行回歸分析，則產生誤差：

(12)

式(10)和式(11)中的θ(y)、φj(xj)變換是相互耦合的，可令式(13)為最小而進行迭代求解，即求得：

(13)

3 回歸數據集

利用LS-SVM算法或ACE算法進行軸向功率分布重構，即建立探測器讀數Di(i=1,…,M)與節塊功率Pj(j=1,…,N)之間的關系，其中M為沿軸向布置的探測器數，N為堆芯沿軸向劃分的節塊數，在本文中M和N分別設定為6和18。由于LS-SVM算法和ACE算法均為單輸出，因而由M個探測器讀數估計每一節塊功率時，需要訓練N個LS-SVM以及迭代得到N套ACE變換。在不影響算法流程與正確性的前提下，為方便起見，本文研究堆芯平均軸向功率分布重構，不針對單一組件。探測器讀數由節塊功率模擬得到，即從18個節塊的功率中均勻地選取6個作為探測器讀數。

在進行回歸分析，即建立探測器讀數與節塊功率之間的關系時，可通過堆芯功率能力分析獲取大量不同工況下的功率分布。堆芯功率能力分析是研究在確定的反應堆運行模式下堆芯功率分布的控制，以滿足核電廠在正常運行工況(Ⅰ類工況)下的電廠機動性要求和非正常工況(Ⅱ類工況)下的安全性要求，本文只考慮Ⅰ類工況。Ⅰ類工況功率能力分析主要驗證以下兩方面內容：1) 驗證由運行圖確定的所有Ⅰ類工況狀態點均滿足LOCA限值要求；2) 驗證用于事故分析的參考軸向功率分布包絡所有Ⅰ類工況的軸向功率分布。

在進行功率能力分析時，需產生大量覆蓋Ⅰ類工況運行圖的狀態點與相應的全堆功率分布。堆芯的功率分布受到很多因素的影響，在嚴格遵守技術規格書的限值下，通過改變下列參數可產生大量的堆芯三維功率分布：1) 堆芯功率水平；2) 控制棒組棒位；3) 氙濃度和分布；4) 堆芯燃耗狀態。

采用LS-SVM算法和ACE算法時，將功率能力分析產生的樣本集數據分為兩組，一組為訓練集，另一組為驗證集。其中訓練集從所有樣本集中按照堆芯軸向功率上下比均勻抽樣，堆芯軸向功率上下比的定義為：

R=PT/PB

(14)

其中，PT、PB分別為堆芯上、下部功率。

本文以ACP-100模塊式小型反應堆為例進行算法研究，采用SCIENCE程序包中的堆芯擴散計算程序SMART進行功率能力分析，生成7 740套不同工況下的功率分布。

4 數值結果

使用LS-SVM算法和ACE算法時，均采用1 105套功率分布及模擬探測器信號作為訓練集，進行回歸分析，剩下的6 635套則作為驗證集。將兩種算法重構的功率分布與SMART程序計算得到的功率分布進行對比。對LS-SVM算法和ACE算法的重構效果定義4個評價量：

Avg.RMS=

(15)

Max.RMS=

(16)

(17)

(18)

表1列出LS-SVM算法與ACE算法在功率分布整體重構精度上的對比，其中T代表訓練集，V代表驗證集。

表1 LS-SVM算法與ACE算法的功率分布重構精度對比Table 1 Comparison of power distribution reconstruction accuracy between LS-SVM and ACE

為了給出具體節塊的重構精度對比，使用式(17)、(18)分別計算節塊功率重構的均方根誤差及最大誤差。圖1示出LS-SVM算法的均方根誤差和最大誤差，圖2示出ACE算法的均方根誤差和最大誤差。

由圖1、2和表1可看出：1) LS-SVM算法的均方根誤差與最大誤差均在可接受范圍內，重構精度明顯優于ACE算法，LS-SVM重構得到的功率分布更接近SMART計算得到的功率分布；2) ACE算法的均方根誤差在合理可接受范圍內，但其重構中可能出現的最大誤差過大。

圖1 LS-SVM算法的節塊功率重構均方根誤差和最大誤差Fig.1 Node power reconstruction RMS error and maximum error of LS-SVM

圖2 ACE算法的節塊功率重構均方根誤差和最大誤差Fig.2 Node power reconstruction RMS error and maximum error of ACE

在實際的探測器測量時，其測量值總是帶有一定程度的噪聲，假設探測器的讀數測量值Dmeasure與理論值Dtheoretic之間有關系如下：

(19)

其中：ε為隨機數，ε服從均值為0、標準差為1的正態分布；δ為噪聲水平，在進行功率重構算法研究時，通常設定為1%。

為衡量LS-SVM算法的抗噪聲能力，對每個節塊定義節塊功率重構效果的評價量如下：

(20)

圖3示出不同噪聲水平時LS-SVM算法的功率分布重構效果。由圖3可知：1) 基于LS-SVM的功率重構方法的均方根誤差與探測器測量噪聲水平近似有一正比例關系；2) 在典型堆內探測器噪聲水平下，基于LS-SVM的功率重構算法的重構精度符合要求，具有良好的抗探測器噪聲干擾能力。

5 結論

準確的軸向功率分布對于反應堆的安全性有著極其重要的作用，本文實現了LS-SVM在堆芯軸向功率分布中的應用，利用ACP-100模塊式小堆第1循環不同工況下的7 740套功率分布進行了算法的驗證，并得到如下結論：1) LS-SVM算法的重構精度遠優于ACE算法，在不考慮探測器噪聲的情況下，ACE算法的功率分布最大重構誤差可達到110%，而LS-SVM算法的功率分布最大重構誤差僅為0.23%左右；2) 在考慮噪聲的情況下，LS-SVM算法具有良好的抗噪聲干擾能力，重構誤差與探測器噪聲水平呈正比關系。

圖3 LS-SVM算法帶噪聲的節塊功率重構均方根誤差Fig.3 Node power reconstruction RMS error of LS-SVM with noise

本文僅考慮了ACP-100模塊式小堆單一循環下的軸向功率分布重構，下一步工作主要集中在以下兩點：1) 使用ACP-100模塊式小堆其他循環下更多工況的功率分布進行LS-SVM算法的驗證，以保證LS-SVM算法在整個反應堆的運行歷史中均能進行精確的功率分布重構；2) 在實際的反應堆在線監測應用中，能夠直接獲取三維堆內探測器測量數據。將本文提出的算法與徑向功率分布重構算法(如耦合系數法)相結合，可進行全堆三維功率分布的重構計算。

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Application of Least Square Support Vector Machine in Core Power Distribution Reconstruction

PENG Xing-jie1,2, LI Tian-ya2, LI Qing2, WANG Kan1

(1.DepartmentofEngineeringPhysics,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China; 2.ScienceandTechnologyonReactorSystemDesignTechnologyLaboratory,NuclearPowerInstituteofChina,Chengdu610041,China)

The application of the least square support vector machine (LS-SVM) to core axial power distribution reconstruction was researched, and 18-node powers were reconstructed from six-level in-core detector signals. Axial power distributions of 7 740 cases of ACP-100 modular reactor were used to verify the accuracy of the LS-SVM reconstruction method. The results show that the LS-SVM method performs much better than the alternating conditional expectation (ACE) method and the LS-SVM method has good robustness.

least square support vector machine; power distribution reconstruction; robustness

2014-01-22;

2014-10-08

彭星杰(1991—)，男，湖南懷化人，博士研究生，核科學與技術專業

TL362

A

1000-6931(2015)06-1026-06

10.7538/yzk.2015.49.06.1026