Bell多項式在(2+1)維Nizhnik方程組中的應用

羅天琦, 黃 欣(. 樂山師范學院 數學與信息科學學院, 四川 樂山 64000; 2. 四川財經職業學院 基礎部, 四川 成都 600)

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Bell多項式在(2+1)維Nizhnik方程組中的應用

羅天琦1, 黃 欣2*
(1. 樂山師范學院 數學與信息科學學院, 四川 樂山 614000; 2. 四川財經職業學院 基礎部, 四川 成都 610101)

將Bell多項式方法推廣到(2+1)維非線性發展方程可積性的研究.對于(2+1)維的Nizhnik方程組,構造了其雙線性形式,并得出該方程組由雙Bell多項式形式構成的雙線性B?cklund變換及相應的Lax對.

雙Bell多項式; 雙線性B?cklund變換; Lax對; (2+1)維Nizhnik方程組

可積性屬于非線性波動方程研究中的一個重要板塊,背景不同的方程是否具有可積性,除了由它自身的數學結構能體現之外,與孤立子的存在性也密切相關[1-3],而孤子的發現及其深入研究大大地促進了非線性波動方程的研究與發展[4-9].由Hirota建立的雙線性方法是研究非線性波動方程的一種非常有效的辦法,如果一個非線性系統可以寫成雙線性形式,就能構造出這個非線性系統的精確解,可積性也是其處理范圍,而這一方法與雙Bell多項式有關聯.C. Gilson等[10]擴展了由E. T. Bell[11]提出了Bell多項式的概念,將其推廣到二元,變成雙Bell多項式,使它能夠與Hirota雙線性算子聯系在一起,他們建立了一套的辦法,使我們通過Bell多項式,無需費力地尋找合適的雙線性變換,無需大量運算,就能夠直接快速找到方程的雙線性形式,整個過程只需要用到普通的微分算子,量綱分析和一些基本的組合知識.通過適當的約束條件,即可以獲得與雙線性B?cklund變換等價的系統.這個系統由一對Bell多項式的線性組合形式構成.近年來,E. G. Fan提出了超Bell多項式理論,給出超空間中超Bell多項式的定義,并成功將此理論用于超對稱雙波色子方程[12]等方程之中.

M. Boiti等[13]研究了線性譜問題

L1ψ=ψxx-ψyy-u(x,y,t)ψ=0,

(1)

其中u(x,y,t)由一個輔助算子L2來定義,L2由式子

L2ψ=ψt+F(?x,?y,u)ψ=0

(2)

給出,滿足[L1,L2]=0,其中只有平凡局部算子L2可以與L1對易.然而在文獻[14]中,Lax對條件變弱了,算子L2與L1對易只需要在譜問題

[L1,L2]ψ=0

(3)

的解的子空間里,從而得到一個三階非線性偏微分方程

ut=-(ua)xxx+(uax)xx+(uaxx)x+

(ub)yyy+(uby)yy+(ubyy)y+

(4)

其中,a(x,t)、b(y,t)、c(x,t)、d(y,t)均為任意函數.

特別地,當a=1,b=c=d=0時,可以推出(2+1)維Nizhnik方程組

(5)

文獻[15]通過用齊次平衡原則和Hirota方法求得了Nizhnik方程組的多重孤子解.在本文中,將用Bell多項式理論對(2+1)維Nizhnik方程組(5)進行討論.

1 預備知識

在本文中需要用到的Bell多項式屬于指數型的,一共分為3類,在此先回顧一些需要用到的概念和性質[10,16].

Y0(f)=1,

(6)

為一維Bell多項式,也可以將其記作Y-多項式.

根據一維Bell多項式的定義,其對應前幾項表達式如下:

(7)

在(6)式中,Ynx(f)滿足

其中和式取遍n=c1+2c2+…+ncn的所有整數分劃.

下面將列出Bell多項式的一些性質,這些性質是Bell多項式的基礎,它們使得Bell多項式和Hiota線性算子聯系在一起.

性質 1 Bell多項式(6)滿足如下遞推公式

Yn+1(f1,f2,…,fn+1)=

(?x+f1)Yn(f1,f2,…,fn),Y0=1.

(9)

性質 2

Yn[-f1,f2,…,(-1)nfn]=

(-1)nYn(f1,…,fn).

(10)

性質 3Y-多項式滿足如下加法公式

).

(11)

命題 1 對于指數函數F=ef和G=eg,其中f=f(x),g=g(x),根據雙線性算子的定義

Dx(f·g)=(?x-?x′)f(x)g(x′)|x=x′=

fxg-fgx.

可以得到

(12)

證明 由雙線性算子定義式可知

(13)

性質 4 基于加法公式(11)與恒等式(12),取

(y1,…,yn)=(f1,…,fn),

則下列等式成立

Yn(y1,…,yn)|ym=fm+(-1)mgm=

(14)

定義 2 通過變量替換

w=f+g,v=f-g,

可以得到一維雙Bell多項式:

Ynx(v,w)=Ynx(f1,f2,…,fn),

(15)

其中

(16)

其中,v=lnF/G,w=lnFG.

根據一維雙Bell多項式的定義,其對應前幾項表達式如下:

Yx(v,w)=vx,

Y5x(v,w)=v5x+10v3xw2x+5vxw4x+

(17)

利用(10)和(11)式可知

Y(v,w)=Ynx[v,v+(w-v)]=

Ynx[v,v+(w-v)]|(w-v)2j+1=0=

(18)

根據上述性質,再結合比對一維雙Bell多項式由于其奇偶階不同得到的結論不同,需要引入P-多項式的概念.

定義 3 令q=w-v,則可以將偶數階的一維Y-多項式表達成如下形式

P2nx(q)=Y2nx(0,q).

(19)

上式又稱為一維P-多項式.

根據一維P-多項式的定義,其對應前幾項表達式如下:

P0(q)=1,

P2x(q)=q2x,

(20)

將(19)式代入(18)式可以得到

(21)

由此可見Y-多項式能夠用Y-多項式和P-多項式的組合形式表達出來.

除此之外,若令q=2lnG,根據(16)和(19)式容易看出P-多項式與Hirota雙線性算子之間存在恒等式

(22)

定義 4 令f=f(x1,…,xn)是定義在C∞上的多變量函數,下面的指數多項式

Yn1x1,…,nlxl(f)≡Yn1,…,nl(fr1x1,…,rlxl)=

(23)

叫做多維Bell多項式,也可以稱為廣義Bell多項式或者多維Y-多項式.其中定義

r1=0,…,n1;…;rl=0,…,nl.

根據多維Bell多項式的定義可知,對于簡單的情形f=f(x,t)時,對應的二維Bell多項式的前幾項表達式為:

Yx,t(f)=fx,t+fxft,

Y3x,t(f)=f3x,t+3f2x,tfx+3fx,tf2x+

(24)

定義 5 假定w=f+g,v=f-g,則多維的雙Bell多項式可以被定義為如下形式

Yn1x1,…,nlxl(v,w)=Yn1x1,…,n1xl(f)=

Yn1,…,nl(fr1x1,…,rlxl),

(25)

其中

上式又稱為多維Y-多項式.根據多維雙Bell多項式的定義,可以得到其常用的低階表達式為

Yx(v,w)=vx,

Yx,t(v,w)=wxt+vxvt,

Y3x,t(v,w)=w3x,t+3v2x,tvx+3wx,tw2x+

(26)

Yn1x1,…,nlxl(v=lnF/G,w=lnFG)=

(27)

其中n1+n2+…+nl≥1.

當G=F時,通過恒等式(27),可以得出多維P-多項式的形式為

Yn1x1,…,nlxl(0,q=2lnF)=

(28)

根據多維P-多項式的定義,當q=q(x,t)時,可以推導出常用的幾項表達式如下

P0(q)=1,

P1x,1t(q)=qxt,

P3x,1t(q)=q3x,t+3qx,tq2x,

P5x,1t(q)=q5x,t+5qx,tq4x+

(29)

恒等式(27)和定義式(28)在連接非線性方程和它們對應的雙線性形式上,是特別有用的.這意味著假如一個非線性系統能夠被寫成P-多項式的線性組合,那么它就能轉化為對應的雙線性方程.此后,就可以根據雙線性形式構造給定方程的Wronskian解、孤子解、有理解、擬周期解……在得出給定方程的P-多項式線性組合之后,通過Y-多項式和P-多項式之間的關系,可以推出給定方程的一些可積性質,比如雙線性B?cklund變換、Lax對、守恒律等,這些性質對于方程的研究是非常重要的.

定理 1 多維Y-多項式可以被分離成為多維P-多項式和多維Y-多項式的組合形式

Yn1x1,…,nlxl(v,w)|v=lnF/G,w=lnFG=

Yn1x1,…,nlxl(v,v+q)|v=lnF/G,q=2lnG=

Y(n1-r1)x1,…,(nl-rl)xl(v).

(30)

其中n1+…+nl為偶數.

在Hopf-Cole變換(v=lnψ)的作用下,多維Bell多項式具有如下性質

(31)

這意味著多維雙Bell多項式Yn1x1,…,nlxl(v,v+q)能夠被線性化,

Yn1x1,…,nlxl(v,v+q)|v=lnF/G,q=2lnG=

ψ(n1-r1)x1,…,(nl-rl)xl.

(32)

這會是找到非線性方程對應Lax系統的快捷方法.

通過(5)式,Y-多項式型B?cklund變換能夠直接線性化為如下Lax對

(33)

2 (2+1)維Nizhnik方程組的雙線性形式

為找出方程(5)的可雙線性化形式,做尺度變換

x→λx,y→λky,t→λαt,

u→λβu,v→λγv,

(34)

則原方程變為

λβ-αut+λβ-3uxxx+3λβ+γ-1(uv)x=0,

λβ-1ux=λγ-kvy.

(35)

發現方程在變換

x→λx,y→λy,t→λ3t,

u→λ-2u,v→λ-2v,

(36)

之下保持不變.由此,令

u=c(t)qxy,

(37)

引入勢函數q,其中c=c(t)是關于變量t的任意函數.

將(37)式代入(5)式可得

E(q)=cqx,y,t+cq4x,y+3c2(qxyq2x)x=0. (38)

關于x積分一次

E(q)=cqy,t+cq3x,y+3c2qxyq2x=0.

(39)

如果令c(t)=1,方程(39)就能寫成P-多項式的組合形式:

E(q)=Pyt(q)+P3x,y(q).

(40)

通過變換

q=2lnF,

可得

u=qxy=2(lnF)xy.

結合P-多項式的形式和關系式(27)和(28),可以得到原方程的雙線性形式

(41)

根據這個雙線性方程,就能獲得原方程的精確解,包括多孤子解.這個結果與用Hirota方法直接做變換雙線性化的結果一致,這里不再作更多討論.

3 (2+1)維Nizhnik方程組的雙線性B?cklund變換和Lax對

定理 2 通過雙Bell多項式,可以得出原方程組(5)的雙線性B?cklund變換為

(DxDy+αDx-λ)F·G=0.

(42)

證明 假定方程(39)有2個不同的解,分別為q′和q,則(39)式對應的雙條件如下:

(q′-q)y,t+(q′-q)3x,y+

(q′+q)xy(q′-q)2x]=0.

(43)

很明顯系統(43)反映了方程(39) 2個不同解q′和q之間的聯系,若能把系統(43)在一定的約束條件下轉化成為2個使原式成立的條件,就能得到原方程的雙B?cklund變換,如何尋找到合適的約束條件也正是難點所在.為了找到這個約束條件,考慮引入2個新變量

(44)

將(44)式代入(43)式,就可以得到雙條件(43)的新形式

E(q′)-E(q)=

2(vy,t+v3x,y+3v2xwxy+3w2xvxy)=

2?y[Yt(v)+Y3x(v,w)]+R(v,w)=0,

(45)

其中

R(v,w)=6Wron[Yxy(v,w),Yx(v)].

(46)

選取約束條件

Yxy(v,w)+αYx(v)=λ,

(47)

其中,α,λ為任意常數.在條件(47)的約束之下,(45)式可以變成如下形式

?y[Yt(v)+Y3x(v,w)+3λYx]=0.

(48)

因此,得到了一個關于Y-多項式的如下耦合系統

Yt(v)+Y3x(v,w)+3λYx+ξ=0,

Yxy(v,w)+αYx(v)-λ=0,

(49)

其中ξ為任意積分常數.由此可得原方程組(5)的雙線性B?cklund變換為

(DxDy+αDx-λ)F·G=0.

證畢.在此之后,可以通過選取種子解,進而得到原方程的多孤子解,此處不再詳述.

定理 3 通過雙Bell多項式,可以得出原方程組(5)的Lax系統為

L1ψ=ψxy+uyψ+αψx-λψ,

L2ψ=ψt+ψ3x+3uxψx+3λψx.

(50)

證明 通過Hopf-Cole變換

v=lnψ,

再根據(31)式可得

(51)

將(51)式代入(4)式,可以得到線性系統

(L1-λ)ψ=(?x?y+qxy+α?x)ψ,

(?t+L2)ψ=(?t+?3x+3q2x?x+3λ?x)ψ.

(52)

進而可以得到方程的Lax系統

L1ψ=ψxy+uyψ+αψx-λψ,

L2ψ=ψt+ψ3x+3uxψx+3λψx.

(53)

根據相容性條件ψxyt=ψtxy容易驗證可積性條件

[L1,L2]ψ=0

(54)

成立,系統(53)是目標方程組的Lax對.證畢.

4 結語

本文將Bell多項式方法推廣到(2+1)維非線性發展方程可積性的研究.對于(2+1)維的Nizhnik方程,構造了其雙線性形,并得出該方程組由雙Bell多項式形式構成的雙線性B?cklund變換及相應的Lax對.目前在Bell多項式和Hirota方法結合方面的工作目前主要體現在利用Bell多項式方法研究KdV、KP、Burgers等方程的可積性質,而這些方程Lax對是已知的,并且主要局限于空間一維或二維的非線性方程.但對未知Lax對的高階非線性方程,特別是利用Bell多項式研究耦合的演化方程、非等譜方程、離散方程和超對稱方程方面的工作有待去進一步研究.

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2010 MSC：35Q53

(編輯 周 俊)

Bell Polynomial Application in (2+1)-Dimensional Nizhnik Equations

LUO Tianqi1, HUANG Xin2
(1.CollegeofMathematicsandInformationScience,LeshanNormalCollege,Leshan614000,Sichuan;2.DepartmentofBasicCourses,SichuanFinanceandEconomicsVocationalCollege,Chengdu610101,Sichuan)

In this paper, we generalize the Bell polynomial method to investigate the integrable property for the (2+1)-dimensional nonlinear evolution equations. Then using this method, we construct the bilinear form to derive the B?cklund transformations in the form of the binary Bell polynomials and the corresponding Lax pair for the (2+1)-dimensional Nizhnik equations.

binary Bell polynomial; bilinear B?cklund transformation; Lax pair; (2+1)-dimensional Nizhnik equations

2015-06-29

四川省應用基礎研究計劃項目(2013JYZ014)和四川省教育廳自然科學基金(14ZB0413)

O175.24

A

1001-8395(2015)06-0861-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.014

*通信作者簡介：黃 欣(1980—),女,講師,主要從事非線性偏微分方程的研究,E-mail:huangxinnv@163.com