基本圖形

朱清偉

摘 要：數學綜合題好比一座大山，一堵高墻，讓學生束手無策，如果能找到“登山攀墻”的扶梯，那么再復雜的問題也可以簡化。這就要求教師在復習課教學中，利用一些有意義的例題，讓學生解一題，會一類，通一片。例如在幾何教學中，挖掘一批有意義的基本圖形授予學生，那么對于同一類型的題目，學生就能做到駕輕就熟。

關鍵詞：數學解題；基本圖形；扶梯；架梯

波利亞有一句名言：“掌握數學就是意味著解題。”而在數學掌握的過程中，綜合題好比一座難以逾越的山，一堵高不可攀的墻，讓學生望而生畏。因而在數學復習教學中，教師除了梳理基本知識體系外，不能緊接著低效的泛泛解題，應善于以一些不太復雜而又有意義的題目為載體，挖掘其精華進行歸納授予學生，讓學生達到學會一例，駕馭一批，如此便為學生找到了“登山攀墻”的扶梯。如在幾何的教學中，總結出一批具有廣泛的代表性和典型性的圖形，我們稱之為基本圖形。學生若能掌握這些基本圖形的本質，就會在解決一些較復雜的題中，辨認或構造該圖，并擇取有用的信息，迅速找到解題思路和方法，達到高效解題。下面筆者以“三垂足共線圖”為例，淺淡它在數學解題中的扶梯之用。

一、扶梯原型

如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，直角頂點C在DE上，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，根據同角的余角相等，易證△ADC≌△CEB，繼而得到全等三角形的對應邊相等。

若去掉條件中的“AC=BC”，則可得△ADC∽△CEB，繼而得到相似三角形的對應邊成比例。

該圖的基本特征為點D、點C、點E這三個垂足在同一直線上，即“三垂足共線”時，可推得直角三角形全等或相似，繼而得出對應線段的數量關系。筆者把它作為一個基本圖形，作為我們解決一些數學問題時的一架扶梯，那么即便是綜合性較強的數學問題，我們也能直接扶此梯或間接架此梯而上。

二、扶梯直上

例1（2010·南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）。聯結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BF=y。

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）若y=，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？

點撥：（1）由AB⊥CB，DC⊥BC，FE⊥ED，根據點B、E、C三垂足共線，清晰辨認基本圖形，由△FBE∽△ECD，得到=，代入即可得到y=。

（2）要使△DEF為等腰三角形只需DE=EF，此時△BEF≌△CDE，則BE=CD=m，此時m=8-x，又根據=，解方程即可得m的值。

點評：本題存在的“三垂足共線圖”這架扶梯較為明顯，因為三個垂足同時存在且共線，因此結合條件仔細觀察圖形就能快速辨認，從而根據線段間的數量關系，使問題得以快速解決。可見解決這一類題目，一旦能識圖并分離出基本圖形，則扶梯直上不是問題。

三、架梯而上

1.淺處架梯

然而，在絕大多數的數學問題中，“三垂足共線圖”的存在并非直接，具體往往表現在條件中三垂足的不完整，于是我們需要添一足或添兩足成三垂足（添加的輔助線文中用虛線表示），如此架起基本圖形這一扶梯，便可使結論得以應用。

例2 （2013·成都）如圖，點B在線段AC上，點D、E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC。

（1）求證：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作，交直線于點Q，當點P與A、B兩點不重合時，求的值。

點撥：（1）直接存在的A、B、C三垂足共線，證明△ABD≌△CEB可得AB=CE，AD=BC，將已知等式AC=AB+BC等量代換即可；

（2）如圖，過Q作QH⊥BC于點H，則△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，

∴=，=；設AP=x，QH=y，則有=

∴BH=，PH=+5-x∴=，即（x-5）（3y-5x）=0

又∵P不與A、B重合，∴3y-5x=0∴===

兩次應用相似三角形的對應邊成比例是解決題（2）的關鍵，而第二次相似正是通過作垂線添一足成三垂足共線。

例3 （2013·浙江·舟山）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=（x-m）2-m2+m的頂點為A，與y軸的交點為B，聯結AB，AC⊥AB，

交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，聯結BD。

作AE∥x軸，DE∥y軸，求DE的長。

點撥：易證△AFC≌△AED得AF=AE，通過延長EA交y軸于點F，構造F、A、E三垂足共線，由△ABF∽△DAE得=，根據拋物線的解析式，用含字母的代數式表示比例式中的線段，代入化簡即可求得DE=4。

例4 （2013·山東·威海）如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函數y1=的圖象經過點A，反比例函數y2=的圖象經過點B，則下列關于m，n的關系正確的是（ ）

A.m=-3n B.m=-n

C.m=-n D.m=n

點撥：過點B作BE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，添加垂足E、F則使E、O、F三垂足共線，由△BOE∽△OAF得，設點B的坐標為（a，），點A的坐標為（b，），結合兩點坐標得出線段OE、BE、OF、AF的長度表達式，代入上述比例式即可求出m=-3n。

本題是反比例函數的綜合，構造基本圖形得出相似三角形的性質不可或缺。

點評：例2～例4這些背景下的“三垂足共線圖”隱藏得并不深，大部分學生能夠想到作垂線讓完整的基本圖形得以顯現。盡管在例5的解題中需要添加兩個垂足，但在平面直角坐標系中，向坐標軸作垂線學生很容易想到，因此扶梯的架起并不困難。

2.深處架梯

“三垂足共線圖”不完整存在的例子比比皆是，而有些的存在卻是極不明顯的，需要我們搜索腦中已有的基本圖形，并結合已知條件的特征摸索著去架梯，由此及彼使得結論得以活用。

例5 如圖，以△ABC的AB、AC為邊向外作正方形ABDE及ACGF，作AN⊥BC于點N，延長NA交EF于M點，求證：EM=MF。

點撥：若從結論出發采用分析法，基本毫無頭緒，采用綜合法從條件出發，試圖探索其中的基本圖形，不難發現在直線MN的左右兩側各有“三垂足共線”中的雙垂足，因此我們可在兩側各添一足，如圖作垂線便得到了兩個基本圖形，可得EP=AN=FQ，于是把條件靠向了△EPM和△FQM，再證這兩個三角形全等即可。

例6 （2011·寧波）如圖，正方形A1B1P1P2的頂點P1、P2在反比例函數y=（x>0）的圖象上，頂點A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數y=（x>0）的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，則點P3的坐標為________.

點撥：如圖虛線添加輔助線，根據基本圖形及方程思想先求P2坐標，再用類似方法求得P3坐標。本題難度較大，關鍵在于三次對基本圖形的構造再應用，為求曲線上的點坐標提供了線段相等的數量關系，從而可以列方程求解。通過對基本圖形的特征研究，形成把函數問題轉化為方程問題的思路，建立起了幾何與代數的聯系。

點評：例5～例6的難點在于需要多次架梯——對基本圖形的結論一用再用，因此輔助線的添加較為復雜。然而善于觀察，仔細剖析已知圖形，就能確定添加輔助線的方向。只要明確已知條件是什么，確定解決問題還需要哪些，缺什么則補什么，如此便可柳暗花明。

盡管上述案例有些是熟題，但我們仍然能在2013年各地的中考題中追尋到它的影子，可見“三垂足共線圖”這一扶梯在幾何及代數解題中的重要性，倘若學生能將它“吃”透，那么再高不可攀的題型也能輕松架梯快速得以解決。

四、總評扶梯

1.扶梯的形成

“三垂足共線圖”——三個直角頂點位于一線，如此簡單的組合，構成了本文的扶梯。平時，學生熟悉的最基本的圖形有點、線、角、三角形、四邊形、扇形、圓等，而以此為基礎，進行組合、變形、引申就會有一批新的具有代表性的基本圖形出現。教學中，教師應有意識地進行歸類總結，將一些重要的、常用的一般圖形化為基本圖形，并讓學生歷經基本圖形的形成、證明以及應用。

2.扶梯的積累

把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在整個數學教學、學習的始終，有意識地強化對基本圖形的巧用，不斷地運用這些基本圖形去分析問題，解決問題，這也是數學教學中所關注的目標。學生數學能力的培養，是一個長期的，不斷積累經驗與深化的過程，教學中教師也可嘗試作一次次關于基本圖形的旅程，讓簡單的圖形豐富起來，而又不至于難以攀登。積累基本圖形解決數學問題，猶如寫作文前積累好詞好句。

3.扶梯的意義

解決數學綜合題的基本策略就是把它分解為一系列的基礎題，從復雜的背景圖中分解出一系列的基本圖形，將問題易化。所以說，基本圖形的應用貫穿于初中幾何教學的各部分，也建立起幾何與代數的聯系，它可以成為解題教學中的易化通道。如果學生腦中有豐富的待用基本圖形，那么只要輕松做參考，輕松做移植，解題思路便會豁然開朗，即便是新的“陌生情景”，我們也有了解決它的邏輯起點與推理目標，依然可以順利進入思路探求。

波利亞曾這樣寫道：“去設計并解出一個合適的輔助問題，從而用它求得一條通向一個表面上看來很難接近的問題的通道，這是一個最富有特色的一類智力活動。”而基本圖形就起到了這種通道、扶梯的妙用。

參考文獻：

1.史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012，94-95.

2.蔡榮.淺談基本圖形在初中幾何教學中的重要應用.2009.

3.錢衛華.基本圖形在競賽中的應用[J].中等數學，2011（06）.

（作者單位：浙江省江山市城北中學）