全國高考數學學科命題趨勢及2015年備考策略

黎福慶

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，高中數學課程要體現基礎性、應用性，強調對數學本質的認識，注重提高學生的數學思維能力，體現數學的文化價值。這是設計高三總復習的思想基礎。

一、《2015年普通高等學校招生全國統一考試大綱（文科/理科）》及《2015年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（文科/理科）》（以下總體簡稱考綱）解讀

依據考綱，2015年高考數學學科的命題指導思想是堅持“有助于高校科學公正地選拔人才，有助于推進普通高中課程改革，實施素質教育”的原則，在命題中體現普通高中課程標準的基本理念，以能力立意，將知識、能力和素質融為一體，以全面檢測考生的數學素養，發揮數學作為主要基礎學科的作用，考查考生對中學數學的基礎知識、基本技能的掌握程度，考查考生對數學思想方法和數學本質的理解水平以及進入高等學校繼續學習的潛能。

今年高考，我區將第一次使用高考課標卷，依據《考綱》，今年的課標卷與往年我區使用的大綱卷相比，有諸多不同：①考點改變較大，例如概率統計部分及導數部分（文科）明顯增多。②考試內容排序及要求改變。③更重視過程與方法，更注重理論與實踐相結合。④題型及難度改變：文理科相同試題減少，如立體幾何、概率統計解答題的選材文理科均有不同要求;三角函數部分難度降低;增加了選考題;數列、立體幾何和解析幾何難度下降;等等。

鑒于以上情況，總體建議：已降低要求的內容，教師在復習時不要再拔高;已刪除的內容，教師不要再增補。下面，我們對新舊教材的內容做個大盤點，以便于教師準確把握《考綱》對各部分內容和要求的具體變化。

二、明確試卷結構，分析近年主干知識命題特點及備考策略

（一）依據考綱，解析2015年的考試內容及試卷結構

2015年的數學高考仍采用閉卷、筆試形式，有第Ⅰ、第Ⅱ卷，滿分150分，考試時間為120分鐘。第Ⅰ卷為必考內容，含12道選擇題。第Ⅱ卷含必考和選考兩部分，皆為非選擇題：必考部分有4道填空題、5道解答題;選考部分從選修系列4中的“幾何證明選講”“坐標系與參數方程”“不等式選講”3個內容中各命制1道解答題，考生從3題中任選1題作答，多做則按所做的第一題給分。

綜觀全卷，共有選擇題、填空題和解答題3種題型，其中：選擇題是四選一型單項選擇題;填空題只需填寫結果，不必寫出計算或推證過程。三種題型分值分布：選擇題40%左右，填空題10%左右，解答題50%左右。以上試題，按其難度分為容易題、中等難度題和難題，總體難度適中。

（二）高考數學卷的命題規律及2015年備考策略

根據全國課標卷近幾年主干知識的考點分布特點，我們可大體分析出數學卷的命題規律，并對2015年的考點作出簡單預測。

（1）函數、導數與不等式

通常對這部分內容的考查包括2道客觀題、1道主觀題，分值為22分。題目將不僅對函數知識自身進行顯性考查，而且會將函數知識與其它主干知識（數列、不等式、解析幾何、導數等）結合起來進行隱性考查。命題的熱點包括函數的表示、函數值域與最值、函數的圖象與性質，利用導數研究函數的切線、單調性、極值最值問題以及導數在實際問題中的應用，線性規劃、不等式恒成立求參數的取值范圍、函數不等式、數列不等式的證明等。

預測2015年的函數與導數試題仍將是兩小一大，客觀題考查函數的圖象、性質以及導數的幾何意義、零點等。建議特別關注姊妹不等式ex≥x+1與ln（x+1）≤x及其變式應用。

（2）三角函數和解三角形

以三角函數圖象和性質為基礎，掌握三角函數的性質及圖象的平移、伸縮變換;以誘導公式、同角關系及和、差、倍角公式等為基礎，掌握化簡、求值及三角恒等變換的方法技巧;以正弦定理、余弦定理、面積公式為基礎，掌握解三角形時邊、角的求值及其綜合應用。

備考建議：①高考對三角恒等變換能力要求較高。解答三角函數考題的關鍵是進行必要的三角恒等變形，其解題通法如下：從角度、函數、運算入手發現已知和未知的差異，通過套用、變用、活用公式來尋找聯系并合理轉化。解題技巧包括項的分拆與角的配湊、化弦（切）法、降次與升次、輔助角公式等。②《考綱》中不作考查要求的內容不要隨意添加，如萬能公式、和差化積、積化和差公式等。

預測三角函數每年必考，一般為1大1小或3小，分值在17分左右，難度在容易和中等難度之間。考題考查角度是從基礎到能力。另外，三角函數的定義域、值域、解析式、圖象與性質、三角函數的概念及同角三角函數關系式，一般難度不大，主要是考查基礎知識和基本技能，這種趨勢在今年高考中預計仍將繼續;而三角函數的圖象和性質、三角恒等變換的內容在主客觀題中都有可能出現。解三角形問題在教材中的地位和考試中的地位都有很大幅度提升，必須引起足夠重視。

（3）數列

課標卷對數列的考查有所降低，主要是等差、等比數列。考查方式包括2道客觀題或1道主觀題，分值一般為10—12分。從考查的知識點看，重點是兩類數列（等差與等比數列）、數列求和（裂項求和法、錯位相減求和法等）和兩類綜合（與函數、不等式的綜合），整體難度中等，個別試題屬于壓軸題。從命題思路看，雖然也有綜合型問題和探索型問題，但仍以基礎知識、基本方法為主，而且更加注重知識的基礎性和應用性。

備考策略：①切實掌握等差、等比數列的概念、性質、通項公式及前n項和公式。②靈活應用通項與前n項和的關系以及數列的遞推關系來解決相應問題。③注重基礎，強化落實，切實提高運算求解能力。掌握常用的求和的基本方法：分組法、錯位相減法、倒序相加法、裂項法、累乘法、累和法等;掌握常用的簡單遞推式的變換技巧。

預測會有1—2道客觀題或1道主觀題，以等差、等比或簡單的遞推關系為考查方向，也可和函數知識結合起來考查數列不等式。

（4）概率統計

通常這部分的考查為1道客觀題、1道主觀題，分值一般為17分。

從知識點上看：算法中主要包括兩類，一是求程序框圖的執行結果，二是確定條件結構中的條件與循環結構中的控制變量;統計中主要考查隨機抽樣中的系統抽樣與分層抽樣，樣本的平均數、頻率、中位數、眾數、方差，頻率分布直方圖、莖葉圖，變量間的相關關系中的線性回歸分析及獨立性檢驗的基本思想及其初步應用;概率中主要考查兩個計數原理、二項式定理、古典概型、幾何概型、條件概率、離散型隨機變量的分布及其均值方差等。

從命題思路上看：在算法方面，條件結構與分段函數相聯系，循環結構與數列、統計等知識相聯系;在統計方面，分層抽樣中的計算，相關系數中回歸方程的應用，頻率分布直方圖、獨立性檢驗與概率相結合;在概率方面，注重知識的基礎性和應用性。這幾年試題難度中等，試題背景新穎，選材變化較大，主要考查考生運用數學知識解決實際問題的能力。

備考策略：掌握用樣本估計總體的方法，會閱讀或制作圖表;關注統計與隨機變量相結合的題目，對于獨立性檢驗也要引起重視;重視幾何概型題。

預測選擇、填空題有2題10分，內容包括排列組合與概率、二項式定理、抽樣、回歸方程、相關關系、正態分布等。解答題以應用題形式出現，共12分，內容包括期望與方差、直方圖、莖葉圖、數字特征、線性回歸等。命題趨勢：二項式定理必考，解答題部分出現形式是與統計、直方圖相結合，概率與分布列、期望、方差、回歸方程為獨立性檢驗。

（5）立體幾何

考查的重點和熱點是簡單幾何體的三視圖、表面積與體積的計算，空間的位置關系證明、空間角的計算以及空間向量在立體幾何中的應用。

考查一般為2道客觀題、1道主觀題，屬中等難度題。客觀題中，三視圖為必考內容，球與幾何體關系中涉及面積、體積的計算也是常考的題目;主觀題常以錐體、三棱柱為載體，考查垂直、二面角、線面角，難度適中。文科涉及體積、距離的運算;理科突出向量方法解決，對構建空間直角坐標系及利用空間向量解題提出了一定的要求。在“綜合法”與“向量法”的平衡中，理科有“向量法”漸強的趨勢，文科不學向量法。

備考策略與預測：把基礎知識、基本技能、基本方法的試題練習到位，解題步驟以高考評分標準為依據加以規范。預測會有2道客觀題、1道主觀題，共22分。三視圖的考查難度加大，可能以組合體形式出現。主觀題仍注重空間位置關系的證明、空間角與距離的計算以及空間向量在立體幾何中的應用。

（6）解析幾何

一般考查1—2道客觀題、1道主觀題，分值在17—22分之間。圓、橢圓、雙曲線、拋物線四種曲線至少考兩種。客觀題突出考查圓錐曲線的概念、方程與性質的應用，解答題突出考查直線與圓、橢圓、拋物線的位置關系的綜合應用。客觀題難度中等，主觀題文科側重橢圓與圓的綜合題;理科側重橢圓、拋物線與圓、雙曲線問題中的最值及性質中的定點、定值等相關結論探究。預計2015年高考主觀題仍然以橢圓為主進行考查。

從命題思路看，仍以基礎知識和基本方法為主，包括直線、圓錐曲線的有關概念、方程及性質，重點是靈活運用圓錐曲線的知識和解析法探究定值、定點、最值以及存在性等問題的思想與方法。

備考策略：掌握以下重點問題的解決方法——中點弦問題，常用設而不求法（點差法）;焦點三角形問題，常用圓錐曲線的定義及正、余弦定理解題;直線與圓錐曲線的位置關系問題，基本方法是解方程組，在轉化為一元二次方程后再利用判別式、韋達定理、弦長公式、不等式等知識解決問題;圓錐曲線中的有關范圍（最值）問題，常用代數法和幾何法解決，如有明顯的幾何關系可用圖形的性質來解決，否則用函數求最值或范圍，在已知曲線類型求曲線方程或軌跡問題時可用待定系數法，未知曲線類型時可用求曲線方程的常見方法，如直接法、定義法、相關點法、參數法、幾何法、交軌法等。

三、總體備考攻略

（一）明確各輪復習的側重點

（1）第一輪復習策略是立足“三基”（基本技能、基本知識、基本思想和方法），夯實基礎，弄清每一個知識點的來龍去脈，完善知識體系。例如在等差數列an中，若m+n=p+q，則必有am+an=ap+aq;數列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差數列。像這樣的基本知識和基本技能都很重要，但教師不能將這些知識和技能直接告訴學生，而應安排一定的時間（課內或課外）給學生自己證明，讓學生弄清它的來龍去脈，同時將這些內容在復習時納入等差數列的知識體系。

（2）第二輪復習策略是培養提高能力，避免題海戰術。專題復習要突出對專題的重要思想方法的培養：通過解一定量的綜合題，使學生由對單一知識的認識上升到對知識交匯處的重點知識的認識;可以選取課標卷真題或者模擬卷典型例題進行教學。①（2014年高考全國課標Ⅱ卷理科數學17題）已知數列an滿足a1=1，an+1=3an+1（I）證明an

+是等比數列，并求an的通項公式;（II）證明++……+<本題考查等比數列定義、求數列通項公式以及不等式的證明等綜合問題，難度適中，屬于常規問題。解題思路：第一問直接配湊一個等比數列，利用定義法證明;第二問可從第一問計算出的結果中看出數列的通項公式為等比數列與常數之和，這樣的通項不能取倒數求和，這種情況下只能采用放縮成等比數列后再求和、放縮后裂項相消求和或通過放縮直接證明不等式。本題的解法較多，體現在數列求和與不等式證明綜合，考查的是考生的分析問題和解決問題能力。②三角函數專題中的經典題求函數y=sinx+cosx+2sinxcosx的最值。其解題思路是設t=sinx+cosx，則t∈[-，]，且有sinxcosx=，化為求二次函數y=t2+t-1（t∈[-，]）的最值問題。本題考查三角函數的圖像和性質、二次函數在閉區間上求最值的基本知識和基本技能，突出對運算求解能力以及換元和轉化思想的考查，是在三角函數和二次函數的知識交匯點設計試題。

（3）第三輪復習策略是加強綜合訓練與考前模擬，全真模擬訓練，重點是查漏補缺，加強教學診斷。可重點選取使用課標卷省份的名校模擬試題，最好是使用自編的試題。年級統測之前務必安排兩名教師先把試卷認真做一遍，確保試題的科學性，考完即公布答案;教師要及時批改，爭取第二天便予講評。試卷講評課的重點是抓住典型問題集中剖析。

（4）第四輪復習策略是回歸課本基礎，個別心理疏導。考前10天左右，讓學生認真看看以前做過的試卷，糾正做錯的題目，或者閱讀教材。教師每天可自編課本上一些簡單題目，以一節課能完成的題量為標準;另外安排每三天利用一個下午完成一套完整試卷，練完馬上公布答案，不用講評。

（二）明確主觀題評分標準，指導學生規范答題

在第二、第三輪復習中，教師要引導學生規范解題的過程與方法，讓學生知道試題評分的標準，提高學生的搶分意識。以2013年高考數學（理）全國大綱卷18題第Ⅰ問為例：設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，（a+b+c）（a-b+c）=ac（I）求B;（II）若sinAsinC=，求C該題的解題過程及評分標準如下：

解：（I）解法1 ∵（a+b+c）（a-b+c）=ac，∴a2+c2-b2=-ac2（2分）

由余弦定理得cosB=2（4分）

=-1（5分），

∴B=120°1（6分）

解法2 由正弦定理得（sinA+sinB+sinC）（sinA-sinB+sinC）=sinAsinC

sin2A-sin2B+sin2C+sinAsinC=02（2分）

∵sinC=sin（A+B）≠0且sin2A-sin2B=（sinA+sinB）（sinA-sinB）=sin（A+B）sin（A-B）

∴sin（A-B）+sin（A+B）+sinA=0，

2sinAcosB+sinA=0.

∵0<A<p ∴sinA≠02（4分），

cosB=-1（5分），

B=120°1（6分）

根據我區近年來的高考閱卷方法，計算題的給分慣例如下：①準確寫出必要的公式，一般可得2分，如上題中寫出余弦定理cosB=即可得2分。高考試題中常考的公式還有等差、等比數列的基本公式，數學期望公式，立體幾何中向量法求角時的法向量夾角公式，求導公式等。②有一定的化簡過程即可得1分。③計算結果正確得1分。幾何題的給分，通常是做好圖，得1分;寫出必要的推理論證過程，得2分;計算過程及結果，得2分。鑒于存在以上給分慣例，在完全不懂如何答題的情況下，答題區域最好還是不要留空：如是立體幾何考題，可以在圖中作出一條連線并用文字予以說明;如是計算題，可以正確寫出一條有關的公式。總之，考生要樹立拿分意識，對真題的評分標準要了然于胸。

（三）關于選考題，重點突破坐標系與參數方程題型

平面幾何需要添加輔助線，不等式絕對值的題目需要分類討論，不等式證明題需要構造法，這些對學生來說都有一定的難度。相比之下，坐標系與參數方程題更容易獲得解題思路，所以建議考生重點突破該題型。

坐標系與參數方程題的特點是“方法多樣性，優勢互補”。如極坐標方程應用的例子（繞極點旋轉問題）：已知曲線C1的參數方程是x=2cos?

y=3sin?（?為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為2

，求點A，B，C，D的直角坐標。

解：A

2cos，

2sin，

B2cos

+

，2sin

+

，

C2cos

+π，2sin

+π，

D2cos

+

，2sin

+

，

則A1

，，B-

，1，

C-1，

-，D

，-1.

又如連線過極點問題的距離的例子：在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x=2cosα

y=2+2sinα（α為參數），曲線C2的參數方程為x=4cosα

y=4+4sinα（α為參數），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ=與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.

解：曲線C1的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ=8sinθ射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin，射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8sin所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.

直線參數方程應用的例子：在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x

=6+t

y

=t（t為參數）;在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為ρ=10cosθ，曲線C1與C2交于A，B兩點，求|AB|.

解：在ρ=10cosθ的兩邊同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，則曲線C2的直角坐標方程為x2+y2=10x;將曲線C1的參數方程代入上式，得6+

t2+t2=106+

t，整理，得t2+t-24=0.

設這個方程的兩根為t1，t2，

則t1+t2=-，t1t2=-24，

∴|AB|=|t2-t1|==3.

其余問題都轉化為普通方程，用熟練的解析幾何方法解決。因此，重點是熟練掌握各種方程的相互轉化。

口訣：極化直、參化普，其實都是老朋友，畫出圖形老辦法;線上距離用直參，最值問題用參數;旋轉中心是極點，ρ不變來θ加減，兩點連線過極點，距離可用ρ加減。

（四）分層備考，有效指導五種類型的學困生

下面以2015年南寧市第一次模擬考學生答題情況為例說明。

（1）基礎薄弱類型

這類學生因基礎知識沒掌握好，導致平時記憶及解題錯誤率較高。圖1為某文科考生17題的部分答卷。顯然，該考生對于二倍角余弦公式和正弦定理的推論已經忘記，這里明顯是亂用公式。這類學生應強化基礎訓練和基本技能，多做一些課本上的習題，力爭小步快跑有效學習。

（2）缺少思路類型

這類學生看到題目往往不知從哪里下手，想不出命題者的思路，審題過程與知識嚴重脫節，缺乏解題技巧。圖2為某文科考生21題的部分答卷。方程組雖然列對了，但運算思路混亂。這類考生應多建“母”題，強化審題意識，培養發散思維能力。

（3）粗心大意類型

這類考生知識結構和解題思路比較成熟，能找到解題要領和方式，但往往因偷工減料導致丟分。圖3為某理科考生21題部分答卷：因為簡單的一元一次不等式解錯，導致嚴重丟分。這類考生應強化答題規范訓練，規范答題，養成良好的答題習慣。

（4）知識生疏類型

主要表現為學習時間不夠或不熟悉各章知識點。圖4為某文科考生21題的部分答卷：該考生對橢圓的離心率公式已經很生疏了，導致解題無法進行。這類考生應多背多練、重獲自信。

（5）一做就錯類型

因對容易題掉以輕心，漏題丟分;對中檔題分析不清楚，似是而非;對復雜題缺乏分析能力，知識結構和解題技巧不到位。圖5為某文科考生20題的部分答卷：該生因忽略了函數的定義域，且解一元二次不等式的技能不熟練，導致大面積丟分。這類考生應加強解題模塊構建，多做相似題型，仔細做題，觸類旁通。

總之，要有效應對我區高中課改后的第一次高考，我們的備考原則是在抓好“三基”的同時培養學生的解題能力，在落實常規的同時抓好學生的分層輔導，在強化訓練的同時精選試題，在關注整體推進的同時特別關注臨界生成績的提高。我們應該以更加寬廣的視野，在重點內容、方法和思想相對穩定的前提下，注意調整試題考查的方式和角度，使選材更加多樣化。另外，各校應加強對年級組與備課組的統一領導，充分發揚團隊合作精神，在備課組統一行動的同時適當展示班級個性。后面的100天時間，備課組要統一命制試題，每周安排晚上50分鐘的時間統一訓練16道小題或3道解答題，隔周安排2小時統測一套卷子，并形成制度，以更好地激發學生的斗志，形成良好的備考氛圍。

[本文系廣西教育科學“十二五”規劃2014年度廣西考試招生研究專項課題“廣西高中生數學學業水平等第劃分標準的研究”（立項編號：2014ZKS006）的部分研究成果。]

參考文獻

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[2]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統一考試大綱（理科）[M].北京：高等教育出版社

[3]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統一考試大綱（文科）[M].北京：高等教育出版社

[4]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統一考試大綱的說明（理科）[M].北京：高等教育出版社

[5]教育部考試中心.2015年普通高校招生全國統一考試大綱的說明（文科）[M].北京：高等教育出版社

[6]李成祥，楊萬舒.在新課標下高考數學復習的幾點思考[J].課程教育研究，2014，（2）

[7]蔡芙蓉，2015年海南數學高考備考研究[J].考試研究，2014，（23）

（責編 白聰敏）