基于熵算法的股票指數高頻數據復雜度測算與評價

溫博慧+袁銘+侯笠

摘要 在日內高頻環境下檢驗基于兼容法的柯爾莫哥洛夫熵、樣本熵和模糊熵等復雜度測算方法對我國滬深300股票指數的測算效率，并運用篩選后的有效算法分階段研究和比較了序列復雜度的變化過程與變化幅度.結果表明，模糊熵算法是一種更適用于我國滬深300股票指數的有效復雜度測算方法，其對相似容忍度的敏感性更低，測度值連續性更好.隨時間推移，我國滬深300股票指數復雜度整體呈上升趨勢，而相較于發達市場甚至周邊新興市場其復雜度偏低.

關鍵詞 滬深300股票指數；復雜度；kolmogorov熵；樣本熵；模糊熵

中圖分類號 F830 文獻標識碼 A

AbstractThis paper studied the high frequency data of the CSI 300 index， and examined the efficiency of complexity measures such as Kolmogorov entropy， sample entropy and fuzzy entropy in high frequency environment. By using the effective measurement， it compared the changing process and range of the complexity both before and after the subprime crisis. The results show that， compared with the Kolmogorov entropy based on the compatible method and sample entropy， fuzzy entropy is more suitable for measuring the CSI300 index's complexity， which has the lower sensitivity to the similar tolerance and the better continuity of measure value. The CSI 300 index's complexity is rising during the sample interval. However， the complexity during the crisis is far more less than the two other stages， and the complexity after the crisis is higher than that before the crisis. Compared with the developed markets and even some emerging markets， the CSI 300 index's complexity is much lower.

Key wordsthe CSI 300 index； complexity； Kolmogorov entropy； sample entropy； fuzzy entropy

1問題提出與相關文獻回顧

根據混沌理論，復雜度被定義為非線性動力系統或序列的復雜性程度[1].其大動態范圍、短平穩性和小數據量的特征被認為是最適于分析非線性系統的動力學特征參數，也是非線性動力系統研究的重要方面[2].滬深300股票指數是聯系我國股票現貨市場與股指期貨市場之間的重要橋梁，金融機構往往需在日內動態調整資產頭寸并關注風險管理，因此，滬深300股票指數高頻數據的復雜性程度對于風險管理和交易策略實施均具有重要意義.在我國市場環境下，有效地復雜度測算方法是什么？與成熟市場和周邊的新興市場相比，我國滬深300股票指數的復雜度如何？圍繞次貸危機的影響，不同時間階段其復雜度的變化幅度與變化過程如何？既有研究尚未對上述系列重要問題做出較為全面地解答，同時學術界和實務界對采用何種方法來進行復雜度測算亦尚未達成共識.

早期文獻表明，關于混沌序列復雜度的研究始于20世紀60年代.西方學者提出了各種相關測度指標與方法，但成果主要集中于工程計算領域.隨著金融市場非線性動力學行為與混沌效應的存在性逐漸得到實證，關于股價波動復雜度的測算研究成為熱點，但方法局限于圍繞分形維數的測算，研究結論也在多重分形錯覺方面存在較大爭議[3，4].

近年來，學者們運用不同類型的熵模型展開了復雜度測算研究，主要包括柯爾莫哥洛夫熵（kolmogorov）、近似熵（ApEn）、樣本熵（SampEn）和模糊熵（FuzzyEn）算法.kolmogorov（1965）將復雜度界定為能夠產生某一（0，1）序列所需的最短程序的比特數，并形成Kolmogorov熵算法.Lempel和Ziv（1976）給出了其在計算機中實現的具體算法.對此，肖輝，吳沖鋒，吳文峰，等（2002）將之應用于中國股票市場檢測，計算了滬市綜合指數與深市成份指數的復雜度[5].盡管該算法有著嚴格的數學理論基礎和依據，但因需將給定時間序列轉換成符號序列，使得轉換方法成為該算法在股價波動復雜度測算應用時的關鍵.然而，均值法、極值法和遺傳密碼法三種主要轉換方法均未考慮序列整體性質，亦不能區分弱混沌與周期序列，以及強混沌與隨機序列（Abuasad， ect.， 2012）[6].綜合法（He，Xu，2000）為解決上述問題，按不同時間序列分別應用均值法和極值法，但受限于需事先明確知道時間序列性質（趙波等，2014）.對此，王福來和達慶利（2007）提出了基于兼容法的Kolmogorov熵算法并應用于上證綜合指數日收盤價序列復雜度測算[7]，為Kolmogorov熵算法缺陷問題的解決提供了新視角.

由于近似熵算法（Pincus，1995）采用Heaviside函數進行相似性量度，敏感于閥值和相空間維數，從而參數選取會使其計算精度帶有經驗性（蔡覺平，李贊，宋文濤，2003）.樣本熵算法通過不計算自身匹配的統計量，對其形成了改進，但在無模板匹配的情況下可能出現ln0的無意義結果（賀少波，尹林子，阿地力·多力坤，2012）.對此，學術界相繼提出了多種改進方法.肖方紅，閻桂榮和韓宇航（2004）將混沌偽隨機序列看成符號序列，提出符號熵算法.雖然該算法不涉及參數的選取，計算比近似熵算法更為簡單，但符號熵算法需預先知道符號空間，且只針對偽隨機序列，應用范圍局限性較大.Chen（2011）在對樣本熵（SampEn）進行改進基礎上提出模糊熵（FuzzyEn）算法，并基于TDERCS系統成功檢驗了其有效性（賀少波，尹林子，阿地力·多力坤，2012）[8].模擬顯示，基于模糊熵的復雜度測算方法可能在對參數依賴的敏感性方面更低，測度值的連續性更好，從而獲得更高的測度效率（李鵬，等，2013）[9].

文章的創新之處在于：1）不僅較為全面的對比了各種基于熵算法的復雜度模型測算效率，而且進行了小樣本修正，以期為滬深300股票指數復雜度測算提供可靠的實證依據與分析結論.2）圍繞次貸危機的影響分階段研究和比較了危機前、中、后期序列復雜度的變化過程與變化幅度，并與發達市場乃至周邊新興市場股指期貨標的指數的復雜度相較，得到我國滬深300股票指數復雜度的演化規律與獨特性質.

2代表性熵算法、有限樣本修正

與測算效率評價標準

通過對相關研究成果的梳理可知，對既有測算效率形成一定改進后的代表性熵算法主要集中為基于兼容法的Kolmogorov熵、樣本熵和模糊熵.重構相空間維數m、相似容限度r和序列長度N是測算過程中的共同關鍵變量.如模糊熵：

當時間長度足夠長時，MFDFA方法計算得到的h（q）是較準確的，但在實際應用中，序列長度很難滿足要求，此時有限樣本會使h（q）的計算產生偏誤，進而也會使關聯維數以及熵計算中的相空間維數m產生偏誤，因此需要對MFDFA中的有限樣本效應進行修正，以提升測算和評價結果的準確性.修正方法基本思路為：利用Liu（2007）和吳栩等（2014）對馬爾科夫轉換多重分形模型（MSM）的解析，構造能夠盡可能反映原始股指序列多重分形特征的模擬序列，該模擬序列的長度應該足夠的長，從而可以消除MFDFA計算中的有限樣本效應.

在測算復雜度的過程中，對模型效率的評價標準主要集中于算法本身的穩定性和結果對模型參數的依賴程度，即，算法魯棒性，對相空間維數、相似容限度和時間序列長度的敏感性和依賴性，以及測度結果的連續性[11].由于是對我國滬深300股票指數運動的復雜度進行測算，而復雜度的標準值尚未知，不同于在某些性質既定和已知正確結果的復雜系統下對研究方法的評價，因此，通過算法魯棒性來評價模型效率的路徑尚不能行通.在熵算法模型中股指序列長度N既定，相空間維數m通過計算獲得，測度值對參數的敏感性和依賴性，以及結果的連續性主要與相似容限度r密切相關[12].因此可以認為，當在相似容限度的經驗取值范圍內，某一算法未出現錯誤度量值，其測度結果趨于穩定且圖像相對平滑，則該算法對相似容限度的敏感性和依賴性較低，測度效率相對較高.

3數據說明與采樣頻率篩選

以2005年5月9日至2013年12月31日滬深300股票指數1分鐘、5分鐘、10分鐘、15分鐘和60分鐘高頻數據

選擇了相關研究中主要出現的若干種高頻頻率作為篩選對象.作為基礎研究樣本.數據來源為Reset數據庫.雖然我國滬深300股票指數于2005年4月8日上市，但考慮到上市之初，市場各方對該指數存在熟悉過程[13]，為準確起見，在數據選取時剔除掉了2005年4月的交易數據.

直接采用股票指數而未如傳統證券市場定量分析采用收益率數據 在有關證券市場的定量分析中通常使用收益率樣本而不是指數本身，主要是考慮到價格序列的相關性違反以高斯假設和正態分布為基礎的線性分析框架原則.，主要緣于文章的復雜性研究視角，避免收益率變量可能對系統非線性相依結構所形成的破壞.

滬深300股票指數1分鐘、5分鐘、10分鐘、15分鐘和60分鐘高頻數據的描述性統計結果如表1所示， 其中IF1、IF5、IF10、IF15和IF60依次對應不同采樣頻率.統計結果顯示，各種不同采樣頻率的高頻數據都表現出有偏和尖峰厚尾的統計特征，且明顯超出了正態分布假定的范圍（JarqueBera統計量顯著） .因此，可以認為各序列明顯具有非線性特質.

鑒于不同采樣頻率可能會帶來不同檢驗結果，在進行復雜度測算之前需要進行有效采樣頻率甄別.由既有熵測算方法可知，相空間維數是各熵算法中的關鍵變量.較窄的多重分形度置信區間對應較精確的維數.因此，遵從多重分形度置信區間計算方法，以對多重分形度置信區間寬度的比較篩選有效高頻采樣頻率，比較結果如表2所示.

根據表2結果可知：各采樣頻率下經有限樣本效應修正后的多重分形度均仍接近于1，我國滬深300股票指數運行具有多重分形特征；置信區間寬度隨采樣間隔的增加而變化，其中當間隔為5分鐘時寬度最窄.從而，滬深300股票指數5分鐘高頻數據為進行復雜度測算的有效采樣頻率數據.

為方便與發達市場和周邊新興市場的股指期貨標的指數復雜度的對比，文章還選擇了標準普爾500指數、日經225指數和韓國指數2005年5月9日至2013年12月31日的5分鐘高頻數據，作為第四部分對比分析中的研究數據.

4滬深300股票指數高頻數據復雜度的

熵測算實證結果與分析

由于涉及了三種熵算法模型，且模型中至少涉及了三種關鍵參數，為了清晰起見，此處不逐一報告參數的估計結果，而是直接展示對應熵算法下的復雜度結果，及其隨關鍵參數值改變而變化的過程，并進一步進行模型測算效率評價.

4.1關鍵參數值的確定

由熵算法步驟可知，重構相空間維數m、相似容限度r和序列長度N是測算過程中的關鍵變量，需要對其進行準確數值確定.

在上述三變量中，時間序列長度N由給定樣本區間決定.經篩選，研究中的基礎樣本為2005年5月9日至2013年12月31日的滬深300股票指數5分鐘高頻數據，時間序列總長度N= 689 330.

相似容限度r屬于熵算法模型中的閥值變量，其值過小會增加結果對噪聲的敏感性，過大則會導致信息丟失，根據Chen（2009）的模擬建議，r的取值一般可在[0.3，0.35]中選取.

對相空間維數m的選取，相關研究通常使用經驗值.由于盡管較大的m能細致重構系統的動態演化過程，但亦會陡增運算量，m取值通常為2、3、4、5和6.為了更為準確衡量指數復雜度，可以基于所提出的有限樣本修正方法計算獲取合理m值.依第二部分中的修正算法得到測算后的適宜m值為3

鑒于篇幅有限，小樣本修正的計算步驟在此不作列示，僅給出最后結果.有興趣的讀者可與作者聯系..

4.2全樣本區間內的測算結果與模型測算效

率比較

基于兼容法的Kolmogorov熵算法的計算結果顯示，全樣本區間內我國滬深300股票指數的復雜度為1.057 1，超出了該算法復雜度值的（0，1）值域.考慮到全樣本區間可能因數據存在結構突變而導致虛假統計結果，運用計算程序每次取其連續的1 000個數據在有限樣本效應修正下進行分析，然后取其均值作為序列平均復雜度.結果顯示，平均復雜度為1.049 9，依然超出了Kolmogorov熵算法復雜度的值域范圍.說明基于兼容法的Kolmogorov熵算法并不適用于對我國滬深300股票指數復雜度的測算

其原因可能緣于該算法在序列復雜度接近于1時分辨率不高.但整體結果與分段后均值結果均超出了值域范圍，已經說明該方法失效.文章并不旨在分析該方法失效的原因，因此不再對此進行深入說明..

圖1（a）、（b）依次顯示的是樣本熵和模糊熵兩種算法對復雜度的估計結果.雖然相似容限度r的經驗值取范圍為[0.3，0.35]，但為了更便于分析研究方法的效率，在編寫程序過程中令r從0到0.5以0.001等間距變化

以0.001的間距變化趨近連續變化.，并對應計算復雜度值，以觀察結果的連續性及其對參數變化的敏感程度.從圖1（a）（b）中可以看出，樣本熵和模糊熵算法均測出了復雜度計算結果，且計算結果整體比較接近.復雜度值均隨r的增大而減小，當r取值為[0.3，0.35]時，其所估計的滬深300股票指數復雜度值相對其他區間內的復雜度值平穩，數值在0.55到0.43之間（如圖1（a）和（b）中的虛線區域部分）.

相似容限度（a）樣本熵算法下滬深300股票指數復雜度的估計結果

相似容限度（b）模糊熵算法下滬深300股票指數復雜度的估計結果

在測度結果的連續性與對參數的敏感性方面，樣本熵測度結果在r的整個取值范圍[0，0.5]內出現多個跳躍點，且在[0.3，0.35]范圍內的跳躍點明顯多于模糊熵（如圖1（a）中的虛線區域部分），說明模糊熵算法相對于樣本熵算法對相似容忍度的敏感性更低，測度值的連續性更高.有限樣本效應修正后，當r取[0.3，0.35]時，模糊熵算法下的復雜度均值為0.494 9.

4.3不同時段滬深300股票指數復雜度結果

比較

為進一步刻畫我國滬深300股票指數復雜度，在對測算方法評估后，本部分基于模糊熵算法，對全樣本區間內不同時段復雜度進行測算比較.

從2005年5月9日至2013年12月31日的全樣本區間可劃分為2005年5月9日到2007年9月30日的指數高速攀升階段，2007年10月8日到2009年3月31日的危機階段和2009年4月1日到2013年12月31日的后危機階段（其涵蓋了我國股指期貨從2010年4月16日推出并運行至今的階段）三個階段.各階段復雜度值如表3所示.

雖然各階段時間序列長度不盡相同，但由于模糊熵算法優于樣本熵和Kolmogorov熵復雜度算法，且當N值在10 000左右時，模糊熵算法本身具有對時間序列長度較高的一致性，經有限樣本效應修正后此種一致性效果會進一步增強.因此，分階段后時間序列長度的不一致并不會對分階段研究的計算結果形成顯著影響.

如表3所示，各階段復雜度測算結果表明，在危機前中國股市的集中上漲時段，指數復雜度為0.462 3；指數受危機沖擊而大幅下挫階段的復雜度為0.427 1；后危機時代的指數復雜度為0.510 2.其說明我國滬深300股票指數復雜度以后危機時代階段為最高，受危機沖擊階段為最低.

美國次貸危機前我國股票指數運行表現為整體性快速上漲，受危機影響階段表現為指數整體大幅下挫，兩階段股指運行均呈現出較強規律性，其市場投資者行為較單一，符合規律性序列復雜度較低的復雜度數值性質.而指數下跌階段復雜度低于上漲階段復雜度，則提示出滬深300股票指數在下跌階段趨勢性更強.這一點與股指波動非對稱性（陳浪南，黃杰鯤，2002；陸賢偉，董大勇，紀春霞，2009；顧鋒娟，金德環2013）特征一致.指數在后危機時代復雜度得到提升，說明危機沖擊及相關股市政策改革后，我國滬深300股票指數運行的單一趨勢性有所轉化，投資者行為多樣性得到補充；同時，在后危機階段我國股指期貨正式推出運行，也說明股指期貨的推出對打破股票市場運行單一趨勢性與修正波動時間一定程度上發揮了作用.

4.4不同市場股指期貨標的指數復雜度比較

為了便于與發達市場和周邊新興市場的股指期貨標的指數復雜度進行對比，此處選擇了標準普爾500指數、日經225指數和韓國指數2005年5月9日至2013年12月31日的5分鐘高頻數據作為對比樣本.基于模糊熵算法，全樣本區間內發達市場和周邊新興市場的股指期貨標的指數復雜度測算結果如表4所示；2009年4月1日到2013年12月1日的后危機階段的復雜度測算結果如表5所示.

通過對比各個不同股票市場的復雜度，不難發現，無論是全樣本區間還是后危機階段，發達股票市場的復雜度均大于我國股票市場的復雜度；其中，我國滬深300股票指數復雜度以與標準普爾500指數復雜度差距為最大，與韓國指數復雜度最為接近；而在后危機階段，我國滬深300股票指數運行的復雜度較其他國家股指期貨標的指數復雜度的差距均有所減小.說明，我國滬深300股票指數相對于代表性發達市場和周邊新興市場股指期貨標的指數的可預測性更明顯，潛在的市場投機性更大；而隨著我國股票市場相關監督和運作體系的完善以及股指期貨的推出，市場逐漸成熟，可預測性有所降低，投機性正在逐漸被削減.

5結論

文章對我國滬深300股票指數高頻數據復雜度測算方法及復雜度特征進行了研究.通過運用3種新興主流熵算法以及有限樣本效應的修正，研究了3種算法對滬深300股票指數復雜度測算適用性以及不同時段和不同市場對比下我國滬深300股票指數復雜度變化和差異.

主要實證結果顯示： 第一，在日內高頻數據環境下，與基于兼容法的kolmogorov熵和樣本熵算法相比，模糊熵算法是一種更適用于研究我國滬深300股票指數的有效的復雜度測算方法.其對相似容忍度參數的敏感性更低，測度結果的連續性更好.第二，隨著時間的推移，我國滬深300股票指數序列復雜度整體呈上升趨勢.但危機中階段指數序列的復雜度遠小于危機前后兩階段的復雜度，后危機階段復雜度高于危機前階段復雜度；相較于危機中階段，后危機階段復雜度的上升速度較快.第三，相較于發達市場甚至周邊新興市場股指期貨標的指數，我國滬深300股票指數的復雜度呈現偏低結果.

針對實證研究的政策建議如下：

第一，鑒于雖然在后危機階段（包括股指期貨的推出）我國滬深300股票指數復雜度得到了快速上升，但與其他市場股指期貨標的指數運行情況相比仍然偏低.而比較公認的觀點是，偏低的復雜度對應市場投資者行為多樣性不足，市場運行的不可預測性較弱.因此，為了穩定滬深300股票指數運動，減少較多一致性投機行為，增加機構投資者參與數量，提高預測難度.

第二，由于多種類型機構投資者可以豐富不同環境下期貨與現貨指數市場的投資行為，并對市場穩定起到積極作用從而提升市場復雜度（魏宇，賴曉東，余江，2013），目前我國還需轉變機構投資者投資策略，避免一致性追漲殺跌，引導機構投資者端正投資理念，發揮其在股票市場中的穩定作用.

第三，由于實證結果表明，在日內高頻環境下，模糊熵算法具有更好的適用性.因此，在監測滬深300股票指數復雜度時可采用該方法進行測算，以便獲得更為準確的結果.基于兼容法的kolmogorov熵算法雖然較基礎性kolmogorov熵算法形成了改進，但分析結果也表明了其對我國滬深300股票指數的不適用性.雖然在研究過程中還可對其形成進一步改進，但其計算過程相較于模糊熵算法的繁瑣性也是明顯的.因此，如果考慮到運算成本和使用難度等問題，模糊熵算法是監測我國滬深300股票指數復雜度的不錯選擇.

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