一組判定非奇異H-矩陣的含參數(shù)充分條件

肖麗霞, 高會雙, 韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 通遼 028000)

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一組判定非奇異H-矩陣的含參數(shù)充分條件

肖麗霞, 高會雙, 韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 通遼 028000)

非奇異H-矩陣在很多應(yīng)用方面發(fā)揮著重要作用。給出了一些判別非奇異H-矩陣的充分條件，推廣和改進了已有的相關(guān)結(jié)果, 并用數(shù)值算例說明結(jié)果的有效性。

非奇異H-矩陣;α-對角占優(yōu)矩陣; 不可約; 非零元素鏈

1 符號與引理

非奇異H-矩陣在計算數(shù)學(xué)、矩陣理論、控制論等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。例如，線性方程組Ax=b，若系數(shù)矩陣A是非奇異H-矩陣，許多經(jīng)典的迭代法都具有收斂性。但是，對非奇異H-矩陣的判別是非常困難的，本文在文獻[1]的基礎(chǔ)上，利用α-對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)，得到一組判定非奇異H-矩陣的新條件。

用Cn×n表示n×n階復(fù)(實)矩陣的集合。設(shè)A=(aij)∈Cn×n，α∈[0,1]，N={1,2,…,n}。 記

k∈N1,

j∈N2

其中, 若N1={k}或N1=，令；同理若N2={j}或N2=，令

引理1[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D(α)，α∈[0,1]，則A∈D*。

引理2[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D*(α)，α∈[0,1]，則A∈D*。

引理3[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D0(α)，α∈[0,1]，A不可約且N2≠，則A∈D*。

引理4[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若A∈D0(α)，α∈[0,1]，且對任意i∈N3，都有非零元素鏈aik1,ak2k3,…,akpj，使得j∈N2，則A∈D*。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若滿足：

1)N1,N2≠；

2)αkβj>1,?k∈N1,?j∈N2。

則A為非奇異H-矩陣。

di=ri(?i∈N1),di=δ(?i∈N2)．

對?i∈N2, 可得

定理2 設(shè)不可約矩陣A=(aij)∈Cn×n，若滿足：

1)N1,N2≠；

2)αkβj≥1,?k∈N1,?j∈N2。

且上式至少有一個嚴格不等式成立，則A為非奇異H-矩陣。

di=ri(?i∈N1),di=δ(?i∈N2)

定理3 設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，若滿足：

1)N1,N2≠；

2)αkβj≥1,?k∈N1,?j∈N2；

di=ri(?i∈N1),di=δ(?i∈N2),

3 數(shù)值算法

輸入:矩陣A=(aij)∈Cn×n，參數(shù)α∈[0,1]。

1)若aii=0(?i∈N)，則A不是非奇異H-矩陣，停止，否則繼續(xù)2)；

2)計算

3)計算

k∈N1；

4)計算

5)若αkβj>1,?k∈N1,?j∈N2，則輸出A是非奇異H-矩陣，停止。

4 數(shù)值算例

α2β1=1.3950>1,α3β1=1.1225>1,

所以矩陣A滿足定理1的條件，為非奇異H-矩陣。因為

故不滿足文獻[1]中定理2的條件，無法用文獻[1]中定理2判定。

[1] 黃廷祝. 非奇H-矩陣的簡捷判據(jù)[J]. 計算數(shù)學(xué), 1993, 15(03):318-328.

[2] 孫玉祥. 廣義對角占優(yōu)矩陣的充分條件[J] . 高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報, 1997, 19(03):216-223.

[3] 謝清明. 判定廣義對角占優(yōu)矩陣的幾個充分條件[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報, 2006, 23(04):757-760.

[4] Li L, Niki H, Sasanabe M. A non-parameter criterion for generalized diagonally dominant matrices[J]. Int.J.Comput Math, 1999, 71:267-275.

[5] Gao Y, WangX. Criteria for generalized diagonally dominant matrices[J]. Linear Algebra Appl,1992,169:257-268.

[6] 周偉偉, 徐 仲, 陸 全, 等.非奇H-矩陣的迭代判定準則[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報, 2013, 30(5): 715-720.

[7] 高慧敏, 陸 全, 徐 仲, 等. 非奇H-矩陣的一組細分迭代判定條件[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2013, 33(02): 329-337.

[責(zé)任編校： 張 眾]

A Set of Sufficient Conditions with Parameter for Nonsingular H-Matrices

XIAO Lixia, GAO Huishuang, HAN Guichun

(SchoolofMathematics,InnerMongoliaUniv.fortheNationalities,Tongliao028000,China)

NonsingularH-matrices play an important role in many applications. In this paper, some sufficient conditions were proposed for identifying H-matrices. Some related results were improved. Effectiveness was illustrated by numerical examples.

nonsingularH-matrix;α-diagonally dominant matrix; irreducibility; non-zero-element chain

2014-09-09

內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金資助項目(NMDYB1438)

肖麗霞(1980-)， 女， 內(nèi)蒙古人，理學(xué)碩士，內(nèi)蒙古民族大學(xué)講師,研究方向為矩陣理論及應(yīng)用

1003-4684(2015)01-0118-03

O151.21

A