在生成過程中獲取真知
——正比例函數的圖像和性質的教學設計與點評

☉重慶市教育科學研究院 張曉斌

☉重慶市璧山中學王偉

在生成過程中獲取真知
——正比例函數的圖像和性質的教學設計與點評

☉重慶市教育科學研究院 張曉斌

☉重慶市璧山中學王偉

一、寫在前面

由正比例函數的解析式畫出函數圖像，再由正比例函數的圖像歸納出正比例函數的性質，是研究特殊函數的途徑，對以后研究其他一般函數都有積極的意義.由于是學生初次研究一種特殊函數的圖像及其性質，教學中要特別注意處理好以下問題.

1.處理好為什么正比例函數的圖像是一條直線

圖像是研究函數性質的基礎，尤其是畫第一個函數y=2x的圖像時，人教版八年級下冊教材只選取了（-3，-6）、（-2，-4）、（-1，-2）、（0，0）、（1，2）、（2，4）、（3，6）等這樣的7個整數點的坐標，通過觀察這幾個點的坐標位置，判斷正比例函數的圖像是一條直線.但作為初學者是否會產生這樣的疑問：這些整數點之間是否是曲線連接的呢？為此，可在點（0，0）與（1，2）之間的一段采用“逐步細化”的方法：（1）在（0，0）與（1，2）之間找出10等分點，畫出y= 2x的圖像的一段；（2）在（0，0）與（1，2）之間找出20等分點，畫出y=2x的圖像的一段；依次類推，乃至100等分點、1000等分點、…，從而說明點（0，0）與（1，2）之間是直線連接起來的.在這個過程中，由具體一段函數圖像的變化研究，讓學生體驗，隨著點數的不斷增加，讓學生體會正比例函數的圖像是如何由曲線變成直線的，進而說明y=2x的圖像是一條直線.如果沒有這樣的“逐步細化”的過程，是很難說明正比例函數的圖像是一條直線的.

2.處理好“數形結合”思想方法的滲透

“數形結合”思想方法是研究函數的一般方法，提出如下問題供學生思考，一是從數看形：（1）在畫函數圖像時，使函數圖像位置發生變化的量是x、y、k中的哪個量？（2）這個量是如何影響正比例函數值的變化和正比例函數圖像的呢？（3）為什么k＞0時，圖像經過一、三象限？為什么k＜0時，經過二、四象限？二是從形看數：當圖像經過一、三象限時，你能獲得哪些信息？經過二、四象限呢？這個過程中要使學生充分發表意見，最好采取小組交流、合作討論的形式，盡可能得出更多的結論，這樣學生對正比例函數的認識才是全面的、深刻的.

二、教學目標

（1）了解正比例函數的圖像是一條直線，理解正比例系數與圖像之間的關系，掌握由兩點法畫正比例函數圖像的方法，能運用正比例函數的性質解決有關問題.

（2）經歷畫正比例函數圖像的過程，體會由“數”到“形”的數學思想，通過歸納正比例函數的性質，體會由“形”到“數”的數學思想.

（3）從數和形的角度理解正比例函數，體會“數形結合”解決問題的思想方法.

（4）培養學生嚴謹的思考態度，仔細觀察、抽象的能力和合作交流的意識，多角度認識性質的思考方法.

三、教學重點和難點

重點：通過畫出正比例函數圖像的過程，從“數”和“形”的角度理解正比例函數的性質.

難點：在正比例函數圖像生成中，理解為什么正比例函數的圖像是一條直線.

四、教學準備

多媒體課件，多張帶網格的平面直角坐標系紙（保證學生畫出圖像的一致性）.

五、教學設計

活動1：創設情境

（1）在下列函數中，哪些是正比例函數？正比例系數分別是多少？

（2）畫函數的圖像需要經歷哪些步驟？

（3）你們能依據這些步驟畫出以上正比例函數的圖像嗎？

師生行為：在學生回答問題（1）和（2）時，教師要關注學生學習本課的基礎是否扎實，若有問題及時彌補.

設計意圖：通過問題（1）識別正比例函數的意義及其系數；問題（2）是畫函數圖像步驟的復習，都是本課學習的基礎，是正比例函數的圖像及其性質得以繼續研究的保證；問題（3）主要是過渡語，能夠過渡到本課即將學習的內容.

活動2：畫函數圖像

（1）正比例函數y=2x的自變量的取值范圍是什么？你們能取完自變量x的所有值嗎？

（2）如果不能，你們認為在列出的表格中自變量x取哪些值合適？

（3）填表1：

表1

（4）請你們在準備的直角坐標系中描出這些點，觀察這些點擺放有何規律.

（5）你們能保證以上兩點之間一定是直線連接的嗎？以點（0，0）與（1，2）之間為例，說明為什么是直線連接的.

（6）要解決問題（5），我們進行如下研究：

①讓學生在（0，0）與（1，2）之間描出10等分點（如表2），畫出y=2x的圖像的一段；

表2

②讓學生在（0，0）與（1，2）之間結合表2描出20等分點（如表3），畫出y=2x的圖像的一段；

表3

③如果我們不斷找下去，找100等分點呢？1000等分點呢？可以發現（0，0）與（1，2）之間是靠什么線連接的？那么其他兩個整數點之間又是靠什么線連接的呢？

④通過以上探究，你們發現正比例函數y=2x的圖像是什么？

（7）請你們通過描出適當的點，在上面的直角坐標系中畫出正比例函數y=x的圖像，觀察它的圖像是什么.

（8）請你們再次通過描出適當的點，在另一個直角坐標系中畫出正比例函數y=-x和y=-2x的圖像，觀察它的圖像是什么.

師生行為：在解決問題（1）至問題（5）的過程中，學生描點時，教師要提醒學生描點要準確、細致，以便于得到初步的結論——這幾個整數點在同一條直線上.解決問題（6）時，特別注意學生通過在（0，0）與（1，2）之間逐步細化描點，體會到正比例函數的圖像是直線.解決問題（7）和問題（8）時，讓學生獨立畫圖，自己驗證這些結論，同時感受正比例系數的變化對函數圖像的影響，以利于性質的總結.

設計意圖：（1）通過先描出表1中的整數點，用直尺比劃，可以得出一個初步感知——正比例函數的圖像是直線，再通過（0，0）與（1，2）之間的一段逐步細化的方法，讓學生確定結論——正比例函數的圖像是一條直線.

（2）通過問題（7）和問題（8）的驗證，加深理解“正比例函數的圖像是一條直線”這一結論，同時發現隨著正比例系數的變化，函數圖像的變化特點，以利于全面總結正比例函數的性質.

活動3：總結性質

（1）正比例函數的圖像都是經過_________點的直線，那么你們畫正比例函數的圖像有什么簡便方法？為什么？你們一般選取哪些點畫它的圖像呢？

（2）在畫正比例函數的圖像時，使函數圖像位置發生變化的量是x、y、k中的哪個量？

（3）這個量是如何影響正比例函數的函數值的變化的？又是如何影響正比例函數圖像的呢？請你們分情況具體說一說.

（4）為什么k＞0時，圖像經過一、三象限，而k＜0時，圖像卻經過二、四象限？

（5）當正比例函數圖像經過一、三象限時，你們能獲得哪些信息？經過二、四象限呢？

師生行為：教師要重點關注：（1）回答問題（1）時，關注畫圖過程的基本活動經驗的積累；（2）回答問題（2）-（4）時，要看學生是否準確表述正比例系數k對函數圖像有何影響；（3）回答問題（5）時，讓學生充分思考和交流，盡可能得出更多的信息（如k＞0時，k越大，直線與x軸正半軸的夾角就越大等）.

設計意圖：問題（2）-（4），是從“數”看形，問題（5）是從“形”看“數”，即從”數形結合”的角度看正比例函數，有利于學生全面掌握和認識正比例函數，為后面的練習打下基礎.

師生行為：教師重點觀察在畫圖過程中學生能否用最簡單的方法正確畫出函數的圖像.

設計意圖：用兩點法畫正比例函數的圖像是研究函數的基礎，體會簡便方法對畫正比例函數的圖像的好處.

活動5：鞏固練習

（1）若正比例函數y=（k-3）x滿足下列條件，求出k的取值范圍.

①y隨x的增大而增大；

②圖像經過一、三象限；

③圖像如圖1所示.

圖1

（2）下列圖像中是函數y=-1.2x的大致圖像的是（）.

活動4：初步練習

用你們認為最簡單的方法畫出下列函數的圖像：

圖2

參考答案：（1）①k＞3；②k＞3；③k＜3.（2）D

師生行為：教師要關注學生對語言描述、數學符號和圖像信息之間的轉化能力，最好請學生解釋其中的原因，教師加以點評.

設計意圖：鞏固正比例函數的性質，問題（1）在于強化語言描述、數學符號和圖像信息之間的轉化能力，問題（2）在于理解函數圖像及其性質.

活動6：課堂小結與作業布置

課堂小結：（1）從數看：若正比例函數為y=kx（常數k≠0），k對函數值的變化有何影響呢？對函數圖像又有何影響呢？

（2）從形看：若正比例函數y=kx（常數k≠0）的圖像經過一、三象限，那么你們可以得出什么信息？若經過二、四象限呢？

作業布置：教材習題.

補充：

（1）已知y關于x的正比例函數y=（2-k）x的圖像經過一、三象限，則下面說法不正確的是（）.

A.圖像是經過原點的直線

B.y隨x的增大而減小

C.圖像經過二、四象限

D.圖像從左到右呈上升趨勢

（2）已知y關于x的正比例函數y=（k+3）x|k|-4，且y隨x的增大而減小，那么k=________.

（3）若y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的圖像如圖3所示，則下列不等關系正確的是（）

A.k1＜k2＜k3＜k4

B.k2＜k1＜k4＜k3

C.k4＜k2＜k1＜k3

D.k4＜k2＜k3＜k1

圖3

參考答案：（1）D（2）-5（3）C

師生行為：總結本課所學內容時，教師要看學生從數和形兩個角度去總結正比例函數的圖像及其性質.

設計意圖：總結是為了進一步培養學生的數形結合的意識，補充習題則是更全面理解所學知識，靈活解決問題.

六、本課點評

本課是學生真正意義上第一次研究函數圖像及其性質，其研究方法與途徑對以后學習和研究其他函數圖像和性質提供了基礎.從本課教學來說，其本質是從數和形的角度研究正比例函數，重點是正比例函數的性質，難點是畫出正比例函數的圖像，作者在設計本課時的一些做法值得廣大讀者思考.

1.為什么正比例函數的圖像是直線的思考

正比例函數的圖像是直線，它是用直線把一些特殊的點連接起來，這是正比例函數的難點，至于為什么只能用直線連接起來，而不是用曲線連接，教材中沒有給出合理的解釋.而本課的教學中，教師讓學生從正比例函數的一段圖像入手，經歷由較少點連接到用較多點連接的過程，讓學生慢慢體會、領悟正比例函數的圖像由“曲”變直的過程，這對初學畫正比例函數圖像的學生來說十分重要，這才是真正意義上對函數圖像的學習！這種逐步細化的方法，對畫一次函數、雙曲線和拋物線等函數圖像都提出了理性的思考，對培養學生思維的嚴密性是十分必要的.

2.正比例函數的圖像為什么分布在一、三或二、四象限的思考

這個問題我們調查過一些學生，學生回答的結果如下：①在一、三象限，y隨x的增大而增大，在二、四象限，y隨x的增大而減小；②圖像在一、三象限k＞0，圖像在二、四象限k＜0；③從圖像上看出來的.這些說法都是從圖像上去看的，都不是問題的本質，圖像只是一個結果的展示而已，即在圖像生成之后去分析，很少去思考“從解析式的角度研究函數圖像的性質”.而本課教學中，教師就解決了這個問題的根本原因——決定x、y的符號的是k，比如k＞0時，若x取正數，則y也一定是正數，故圖像在第一象限；若x=0，則y=0，故直線經過原點；若x取負數，則y也一定是負數，故圖像在第三象限.這樣就不難說明“為什么k＞0時，圖像經過一、三象限，而k＜0時，圖像卻經過二、四象限”的真正原因了.這種對函數圖像的研究，既從數到形，又從形到數，從兩方面進行研究，有利于全面認識正比例函數的本質.

3.一般函數圖像與正比例函數圖像之間遷移關系的思考

從19.1節中畫一般函數圖像的途徑，到畫正比例函數的圖像是正遷移，這種遷移能讓學生理解描點法是畫一般函數圖像的一般方法，進而理解用兩點法畫正比例函數的圖像，再通過解析式和圖像理解正比例函數的性質，這對后面即將研究一次函數都有很大的幫助.但是涉及19.1節中一般函數的圖像是用平滑的曲線把一些特殊點連接起來的，這樣造成了畫圖的負遷移.造成負遷移并不一定是壞事，只要教師及時加以引導，找到產生錯誤的原因，反而可加深對知識的理解和認識，這就是作者花了大量時間講清為什么正比例函數的圖像是直線的原因，相信會給學生留下深刻的印象，這又將對一次函數的學習產生正遷移.

總之，正比例函數的圖像是學生第一次真正意義上接觸直線形式的函數圖像，學生對它的學習會產生很多的疑問，如果能在這些疑問處下足功夫，對學生今后學習其他函數問題是非常重要的.

1.林群.義務教育教科書·數學（八年級下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.張曉斌，王偉.人教版正比例函數概念的教學設計與點評［J］.中學數學（下），2014（5）.