對數學探究過程中學習“增值”的思考

☉江蘇省常熟市教育局教學研究室 張建良

對數學探究過程中學習“增值”的思考

☉江蘇省常熟市教育局教學研究室 張建良

一、問題提出

數學教學中通過結合具體的學習內容，設計有效的學習探究活動，可使學生經歷數學知識的發(fā)生發(fā)展過程，積累更多有效的數學活動經驗，但是有的課上雖然有活動、有探究，但從學習的過程來看，并沒有見到學習的有效“增值”.那么，如何在探究學習中獲得更大增值呢？這是一個值得關注的問題.下面以蘇科版八年級下冊“9.3平行四邊形”中“平行四邊形的性質”的教學為例予以說明.文中所的說“增值”指的是學習前與學習后的知識、能力、思維、經驗、態(tài)度等的提高部分.

二、案例呈現

蘇科版《數學》八年級下冊第三章“9.3平行四邊形”教學片斷簡述：

1.找一找

學習了中心對稱的有關知識，圖1、圖2是用兩個全等的三角形通過運動變換得到的.哪個圖形是中心對稱圖形？為什么？你能說說中心對稱圖形的定義嗎？

圖1

圖2

圖3

2.畫一畫

如圖3，BO是△ABC邊AC上的中線，畫出△ABC關于點O的對稱圖形.

3.說一說

你所畫出的四邊形是一個平行四邊形嗎？為什么？

4.轉一轉

請同桌的兩個同學把學案上所畫的平行四邊形圖形重疊，并選疊在上面的圖形繞對角線的交點旋轉180°，你能發(fā)現什么？

5.寫一寫

用幾何語言表達平行四邊形ABCD的性質.

已知：平行四邊形ABCD，對角線AC、BD相交于點O.

結論：（邊）AB=CD，AD=BC；

（角）∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA；

（對角線）OA=OC，OB=OD.

6.證一證

以上結論是通過操作、觀察、歸納，經合情推理所得，那么你能推證嗎？……

三、案例分析

以上教學片斷共設置了6個環(huán)節(jié)，下表是對本階段中各教學環(huán)節(jié)的統(tǒng)計：

通過對該課探究環(huán)節(jié)中的實際教學狀況分析，將其中三個環(huán)節(jié)的學習增值描述為“一般”，其“一般”是指學生的學習能力和思維能力提升不大.

當學生在“找一找”中找出圖1中的中心對稱圖形，則說明學生已經掌握其概念和判斷的方法，另外，教師所提問題“哪個圖形是中心對稱圖形？為什么？”指向也特別明確，暗示圖1、2中存在著中心對稱圖形，可能演化為學生去猜測答案.問題可改為“有中心對稱圖形嗎？”另在后面“畫一畫”中畫出的一個四邊形剛好與“找一找”中出現的四邊形“長相”一樣，接著用新畫出的四邊形再讓學生“轉一轉”驗證是不是中心對稱圖形，這樣的教學中，學生容易將上一步中獲取的經驗和結論直接遷移到新畫出的四邊形中，也就造成學生用“轉一轉”驗證該圖形是不是中心對稱圖形時思維變得無挑戰(zhàn)性（在實際教學中可以看到不少學生的操作沒做到位）.這里面不難看出前面的找一找經歷著“看看—想想”，用大腦思維操作多；后面轉一轉經歷著“做做—看看”，動手直觀操作多，這樣一前一后兩個環(huán)節(jié)中出現了先抽象再具象的教學，學生的學習思維經歷了由高到低的過程，由此可以認為“轉一轉”在這里出現是不恰當的，原因是這一環(huán)節(jié)是將學生的學習倒回“找一找”的階段，再一次去確認四邊形是否為中心對稱圖形.整個活動過程看似讓學生通過直觀操作去探究數學新知，但由于探究學習過程中信息流動過長，信息量呈現過多，造成在這樣一個教學過程中學生發(fā)現問題、合情推理的能力并沒有實現大的增值.

四、反思與改進

1.反思

教師為什么會有這樣的教學設計呢？其原因之一就是上課教師想通過學生動手操作展示過程性教學目標和自主探究學習，但大家知道動手操作只是學習的一種外在表現，有效的探究學習應該是通過活動促進學生捕捉有用信息和對信息進行有序檢索加工能力的提升，讓學生的知識水平、思維能力和活動經驗等都有較大的增值.

回顧以上教學環(huán)節(jié)，看到在探究過程中學生既要識別中心對稱圖形，又要回答中心對稱圖形概念，還要根據條件畫出中心對稱圖形，然后動手轉動中心對稱圖形比較，由此造成信息流動環(huán)節(jié)多，分散了學生對核心內容的關注和思考.同樣，當探究環(huán)節(jié)過多時，課堂上析出的無關信息就會增多，從而也降低了對主干問題的思考.那么，本案例中如何設計讓探究過程更具有學習增值的效果呢？

首先，從課標中看“平行四邊形”的學習軌跡和要求：1~3學段能辨認平行四邊形.說明學生已經儲存了平行四邊形的圖像，可識圖.4~6學段通過觀察、操作，認識平行四邊形；探索并測量掌握平行四邊形的面積公式.說明學生知道平行四邊形的概念，且會畫平行四邊形，也積累了轉化及等積變換解決問題的經驗.7~9學段探索并證明平行四邊形的性質定理及判定定理.在第3學段學習中要用符號語言去進行演繹推理平行四邊形的性質和判斷.明確了課標中對學習平行四邊形的路徑和要求，也就奠定了“增值”的基點.

其次，從教材內容安排來看，先學習圖形的旋轉和中心對稱、中心對稱圖形，再學習平行四邊形，理解教材內容的編排也就找到了學習增值的起點.

2.改進

做好以上兩個方面的分析后，再對平行四變形性質的教學設計進行改進.

問題1：用兩個全等三角形紙片拼成一個四邊形，問：拼成的四邊形是中心對稱圖形嗎？如果是，找出對稱中心，并說明理由.

教學中，首先，讓學生拿出從學案紙上剪下的兩個全等三角形紙片進行拼圖——拼成一個四邊形，如圖4~圖9所示（拼成后用膠帶粘住，便于在下一步的操作中使用）.其次，請同桌的兩個同學一起操作驗證中心對稱圖形，并讓學生代表在實物投影展臺上匯報演示，最后由教師利用幾何畫板操作驗證.其中圖4~圖6不是中心對稱圖形；圖7~圖9是中心對稱圖形.

通過課件完美演示180°旋轉，將有“誤差”的學生操作實驗過渡到“準確”的多媒體直觀示范，進一步驗證學生猜想的結論和操作的結果是否正確.讓學生在對比學習中校正中心對稱圖形這一概念表征，然后進行說理.（說理時選用圖9，并標注字母）

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

連接AC交BD于點O.因為△ABD≌△CDB，可推得△AOD≌△COB，得OA=OC，OB=OD.所以點O即為對稱中心，得四邊形ABCD是一個中心對稱圖形.通過“拼—猜—驗—證”這四個步驟進行本環(huán)節(jié)的探究學習.

問題2：四邊形ABCD是一個平行四邊形嗎？為什么？

因為△ABD≌△CDB，所以∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠CBD，所以AB∥DC，AD∥CB.得四邊形ABCD是平行四邊形，實現從看出到證出的提升.

問題3：探究平行四邊形ABCD還能獲得哪些結論？

至此，學生可以用問題1中“繞點O旋轉180°的操作方法或用問題2中的推理方法繼續(xù)研究，引導學生分別從邊、角、對角線三個方面去探究平行四邊形的相關性質及結論.

通過重新設計，學習從兩個全等三角形過渡到一個平行四邊形的探究，是對已知信息的再加工，用三個問題進行遞進式探究學習增加了探究學習的思維含量，讓探究學習的信息更具條理性，信息傳輸路徑精準，減少了學生的認知搜索，在有序有限的學習時間內實現學習增值.

五、教學啟示

1.探究學習過程中要控制好信息傳輸流量

在教學中不能片面地從過去“重結果輕過程”滑向現在的“重過程輕結果”，過程與結果應保持一個平衡關系.過程教學設計要精細化，前后知識的邏輯關系要理順，操作活動的層次要清晰，特別要關注課堂教學過程中信息傳輸、流量的監(jiān)控.特別地，當傳輸途徑增多時，無關或相關的信息量就會出現，當出現多余信息時，就會對學習和理解數學造成消極的效應，學生認知負荷就會加大.因為信息要進入長時記憶都必須要在工作記憶中加工后才能得以實現，而工作記憶所接收的容量是有限的，這時如果學習者所要加工的信息容量超過學習者所具備的工作記憶所能加工的信息容量，那么就會加重認知負荷.所以信息不要過多在“彎道”上傳輸，應該是按照鄰近原則呈現教學材料，減少注意分散和表征保存.在上面案例中只是將探究“動作”進行了簡單累加，造成信息傳輸中流量偏大，“探”得長，“究”得少.

建議多一點對教材內容的研究，思考設計這個學生探究活動的目的是什么？如果實施探究，那么其探究有幾步？每一步探究過程中觀察到什么樣的信息？通過問題串指引每一步的操作和思維，控制好信息傳輸途徑和流量，實現信息內化到學生已有的認知結構中.

2.探究學習過程中要選擇好信息轉化方式

探究學習過程是讓學生思維成長的過程，其探究心理過程是內化、理解、推理與反省的過程.內化是個體將外部信息轉化為內部信息的過程，主要包括對信息的選擇和編碼、語言互譯.其中信息轉化方式在目前的初中數學探究學習過程中一般表現為以下方式：（1）通過折（轉、剪）紙轉化出直觀信息后再探究背后的原由；（2）用電子表格處理數據轉化出有規(guī)律信息后再去推理論證；（3）用幾何畫板轉化出“跳動”的數據或點的不同位置信息再探究變化中所含事實；（4）利用思維導圖轉化出問題中的有效信息后確定探究方向.在案例中雖然采用了三種操作方式“找一找”、“畫一畫”、“轉一轉”，但是最后轉化和獲取的信息都指向一個概念——中心對稱圖形.這樣三個探究環(huán)節(jié)處在同一層面上，知識、思維等并沒有實質性的提升.那么，如何提高探究學習的質量？就要清楚探究的學習起點和目標、轉化方式、推進速度、思維層次等，更要明確探究過程中有哪些方面會出現低效？這樣思考以后可以更有效地控制探究過程，讓學習探究的行為都要圍繞數學思維這一核心任務，避免重形式輕思考.

建議多一點關注外在操作和內在思維這兩條主線，對架設這兩條線的高度、長度給予充分預設，讓轉化出的有效信息在這兩條主線上出現.通過選擇適當的探究方式實現學習增值.

總之，知識的掌握需要有探究學習的過程，在探究過程中完成信息的輸入、加工、提煉、直到最后結論的輸出.輸入和輸出之間必須是一次有效的“增值”過程.當實現學習增值以后，那么學生在整個學習過程中都會享受到它帶來的“利息”.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.喻平.數學教學心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2010.

3.R.M.加涅.學習的條件和教學論［M］.上海：華東師范大學出版社，2007.

4.錢德春.探究內隱于題：一種本真的命題指向［J］.中學數學（下），2014（12）.