正態(tài)分布下材料低水平應(yīng)力的測定

石永雷， 戴怡

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，天津 300222）

0 引言

隨著經(jīng)濟和工業(yè)的發(fā)展，各種各樣的材料已進入工業(yè)生產(chǎn)的各個行業(yè)，所以對于測定材料疲勞S-N曲線有很大的實際工程意義和發(fā)展意義。也一直受到國內(nèi)外的高度重視，測定疲勞極限通常采用高鎮(zhèn)同［1］的升降法并通過加權(quán)平均值求出，在試驗樣本比較少的情況下可能會產(chǎn)生較大誤差，本文通過假定疲勞極限服從正態(tài)分布情況下通過合理轉(zhuǎn)換，通過對前人改進提出一種測定疲勞極限的方法。

1 疲勞曲線常數(shù)的確定

疲勞極限是S-N曲線的水平部分，通常在一定應(yīng)力下若材料經(jīng)107循環(huán)沒有破壞，則認(rèn)為該應(yīng)力為材料的疲勞極限，但沒有理由認(rèn)為疲勞曲線的拐點就在107，很多文獻已經(jīng)表明疲勞曲線的拐點是在107壽命附近，通常假設(shè)疲勞極限服從正態(tài)分布。利用疲勞曲線傾斜部分的數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合出曲線方程的材料常數(shù)。我們利用曲線兩參數(shù)應(yīng)力壽命模型為

令Y=lgN，A=lgC，B=-m，X=lgS，則式（2）可表示為 Y=A+BX從而得到

在循環(huán)特性取R=-1情況下加載，傾斜部分取8根試樣分別在 600 MPa、500 MPa、450 MPa、400 MPa 應(yīng)力下加載，每個應(yīng)力下取2根試樣實驗數(shù)據(jù)如下所示：8根試樣在 600 MPa、500 MPa、450 MPa、400 MPa 下的壽命分別為40 520、24 410、90 450、65 600、173 780、263 110、55 270、922 910。

根據(jù)以上方程和實驗數(shù)據(jù)計算，由此得到 Xˉ=2.69，Yˉ=5.14，從而由最小二乘法原理算出材料常數(shù)m和lgC分別為7.96和26.05.

2 低應(yīng)力水平升降法實驗

降低應(yīng)力水平，對材料做循環(huán)加載實驗，當(dāng)材料加載次數(shù)N>107還沒有破壞時，表示材料越出指定的循環(huán)加載次數(shù)。用升降法原理做疲勞試驗，取應(yīng)力增量為10 MPa，用6根試樣，應(yīng)力水平由高到低為 395 MPa、385MPa、375MPa、365 MPa，實驗如圖1所示。

圖1 升降法

3 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

假設(shè)疲勞曲線轉(zhuǎn)折點壽命N=106把傾斜部分應(yīng)力轉(zhuǎn)化為N對應(yīng)的應(yīng)力：

其中：Si為轉(zhuǎn)化后的應(yīng)力；Nc為轉(zhuǎn)折點疲勞壽命；m為疲勞曲線常數(shù)。但是通過轉(zhuǎn)換發(fā)現(xiàn)在假定107為依據(jù)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)差距較大，并不符合正態(tài)分布而且換值偏小，因此我們采用其他文獻建議取106，發(fā)現(xiàn)較為合理。其中，升降法中3根破斷試樣應(yīng)力不用轉(zhuǎn)換在表格最后3行，其中轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)：在 600 MPa，500 MPa，450 MPa，400 MPa，395 MPa，385 MPa，375 MPa下轉(zhuǎn)換后的應(yīng)力分別為376.08 MPa，400.98MPa，354.9MPa，369.57MPa，361.08MPa，380.42MPa，380.5 MPa，405.88 MPa ，395 MPa，385 MPa，375MPa。

假定疲勞極限服從正態(tài)分布，則概率密度函數(shù)為：

為求似然函數(shù)極值，分別對u和σ求偏導(dǎo)，得：

其中xi為轉(zhuǎn)換后的一系列的壽命值，帶入以上數(shù)值得到密度函數(shù)的u=379.58 MPa和σ=15.66。其中u即為50%可靠度下疲勞極限的中值估計值，且標(biāo)準(zhǔn)差也在合理范圍之內(nèi)。

4 結(jié)論

1）本文提供了一種在假設(shè)疲勞極限服從正態(tài)分布情況下通過轉(zhuǎn)換的方法求取疲勞極限的途徑，通過比較證明其合理有效。

2）疲勞曲線的拐點并不一定是嚴(yán)格在壽命為107出現(xiàn)拐點而是在其附近，107只是我們大體上假設(shè)的一個較大的數(shù)據(jù)，而且證明假設(shè)疲勞極限服從對數(shù)正態(tài)分布是可靠的。

［1］ 高鎮(zhèn)同.疲勞應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1986.

［2］ 魯陽，施明澤.用統(tǒng)計法確定材料的最低疲勞強度［J］.浙江大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1996，30（5）：522-566.

［3］ 陳玲，郭悅虹，周俊.疲勞極限升降法中應(yīng)力增量選取的討論［J］.天津理工學(xué)院學(xué)報，1995，15（3）：55-58.

［4］ 張繼旺.疲勞極限的小樣本評估方法［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2010（3）：336-339.

［5］ 趙永翔，王金諾，高慶.估計三種常用疲勞應(yīng)力-壽命模型P-SN曲線的統(tǒng)一經(jīng)典極大似然方法［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2001，18（1）：83-89.