算籌：一場別開生面的數學競賽

填下烏賊

如果問：“金庸小說中誰是‘數學達人？”想必很多人會不假思索地回答“神算子”瑛姑，她因為扎實的數學功底，所以獲得了和梁山好漢蔣敬一模一樣的外號，令人印象深刻。

中國數學（或者說“算術”）歷史非常悠久，遠遠超出一般人的想象。早在原始社會末期，隨著私有制和物物交換方式的產生，原始算術開始萌芽，距今6000多年前的仰韶文化、半坡文化遺址中，就已經出現了數字符號和幾何圖形。

夏商時期，中國出現了世界上最早的十進制計數法，這是一個了不起的發明，一直影響至今。十進制或許是因為雙手共有十指的原因，但當統計數字超過十，手指不夠用了，古人就有必要借助于其他的計數工具。故而，從西周開始，算籌這種計數工具就出現了。在小說《射雕英雄傳》里，這也是瑛姑的武器——用來點穴。

算籌又稱為算、籌、策、算子等，是一種由竹、木、骨、鐵等材質制造的扁平薄片，在算盤發明之前，它統治了中國近兩千年的計算歲月。小說中，郭靖和黃蓉第一次看到瑛姑時，她正趴在地上擺算籌，計算55225的平方根。

小說中寫道：“那些算子排成商、實、法、借算四行。”這些專有名詞，在北宋賈憲的增乘開方法（求高次冪的正根法）和南宋秦九韶的正負開方術（高效次方程數值求解法）里，都曾出現。

黃蓉輕易地口算出55225的平方根是235、34012224的立方根是324，數學水平可比瑛姑高多了，估計比同時代的秦九韶還要強上幾分。瑛姑不服氣，用“天元之術”向黃蓉發起挑戰。

天元術是宋元時期發展起來的設未知數列方程的方法，南宋李冶在《敬齋古今黈》中記載了天元術早期發展的一些情況：早先東平有一種關于建立方程的方法算經，以仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼等19個漢字表示未知數的各次冪，正冪在上，負冪在下，以“人”作為常數項。《射雕英雄傳》忠實地還原了這個典故。

瑛姑出的題目是“四元術”，出現了天元、地元、人元、物元等專有名詞。其實這些名詞來自元代數學家朱世杰的《四元玉鑒》，所謂“四元術”就是今日的多元高次方程列式與消元解法，雖然也很奇妙，但離9次方的“仙”、負9次方的“鬼”還差得很遠，所以根本不會給黃蓉造成什么麻煩。

惱羞成怒的瑛姑竟然用九宮圖來刁難黃蓉——九宮圖是中國最早的縱橫圖，亦稱幻方，據說是從黃帝和大禹時期的河圖洛書里發現的。西漢末期的《周易·乾鑿度》記載：“故太一取其數，以行九宮，四正四維皆合于十五。”換句話說，1～9這9個數字放在九宮格里，不論橫豎斜排列，數字相加都是15。

這道題目非常簡單，我在小學三年級的暑假作業里就遇到過，也經常在各種小學奧數班的習題里見到。但是，瑛姑竟然不知道！

黃蓉背出了九宮格的口訣（也就是答案）：“九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”這個口訣的出處是北朝甄鸞的《數術記遺注》，該書描述說：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。”一口氣解開了這個三階縱橫圖的小秘密。

瑛姑面如死灰，黃蓉適時“補刀”，又列出了四四圖、五五圖、百子圖，這些都是縱橫圖。黃蓉口述了四四圖的口訣：“以十六字依次作四行排列，先以外四角對換，一換十六，四換十三，后以內四角對換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四。”這段文字一字不差地記載在南宋楊輝的《續古摘奇算法》之“易換術”中，這是解開四階縱橫圖的不二法門。

雖然縱橫圖早在《周易》時代就已問世，但楊輝是世界上最早對幻方進行系統研究的數學家。他把縱橫圖從單一的方形擴展到圓形、梅花形、雪花形、九宮八卦形乃至連環形，楊輝的奇異形縱橫圖因其多樣性和對稱性，創造了縱橫圖研究的一個巔峰。《中國科學技術史》的作者李約瑟對此深表欽佩。

在小說中，黃蓉又顯擺了九宮八卦圖的奧秘，說：“那九宮每宮又可化為一個八卦，八九七十二數，以從一至七十二之數，環繞九宮成圈，每圈八字，交界之處又有四圈，一共一十三圈，每圈數字相加，均為二百九十二。”

金庸小說中的“九宮八卦圖”就是楊輝創造的“連環圖”，由9個小圈三三組合，一共構成13個小圈，每個小圈上的數字相加總值衡為292。

為了反擊瑛姑，黃蓉也布下了三道難題，分別是：包括日、月、水、火、木、金、土、羅睺、計都的“七曜九執天竺筆算”，“立方招兵支銀給米題”和“鬼谷算題”。有熱心的讀者表示，前面兩道題分別講的是不定積分和等差數列，而最后一題據我考證，出自東晉末期的《孫子算經》，答案是23。

這么看來，瑛姑的算術水平確實不如黃蓉，比之黃藥師更是天差地別，她要破解桃花島的迷宮救出老頑童，難度確實不小。

中國古代數學是世界科技、文化寶庫中一顆璀璨的明珠，在四大文明古國的數學史上，中國數學持續繁榮的時間最長，所取得的成績也最為光彩奪目。中國古代數學先后歷經了兩漢、魏晉南北朝和宋元三個發展高峰，并在明清之交與西方數學展開了積極的交流與合作。

作為基礎學科，中國數學在古代還是頗受重視的：《伏羲女媧圖》上，伏羲手持矩、女媧手持規，代表“天圓地方”；周代的貴族教育體系，稱之為“六藝”，指的是禮、樂、射、御、書、數，其中的“數”就是算數（算術、數學）；《周髀算經》和《九章算術》開創了中國數學的先河；隋唐兩宋，都有專門的國家算術研究機構，還有專門針對算術的科舉考試項目……然而，明清以后，隨著八股文壟斷科舉，中國數學走向了沒落。反觀西方，歐洲逐步邁進資本主義社會，近代數學受生產力的刺激快速發展。這一進一退之間，中國和西方國家數學水平的差距越拉越大。

金庸小說中，“數學”元素并不多見，無非瑛姑的算籌、黃蓉的試題、黃真的算盤。黃真是明末清初人物，彼時算盤已經徹底取代了算籌，被應用于中國人的日常生活中，但黃真的算術水平可能非常一般，他手上的那把算盤是兵器而不是計算器，說起來也是相當可惜的。