基于旋量方法的高超聲速飛行器三維非線性偽最優制導律設計*

彭雙春，朱建文，湯國建，陳克俊

(國防科技大學航天科學與工程學院，湖南長沙 410073)

高超聲速飛行器采用傾側轉彎(Bank-To-Turn，BTT)方式機動飛行。相對于側滑轉彎(Skid-To-Turn，STT)機動控制方式，BTT控制方式在氣動效率、機動能力、控制性能、穩定性能、命中精度等方面具有明顯優勢［1］，但BTT飛行器通常面臨通道間運動耦合作用［2］。對于高超聲速飛行器而言，由于在末制導過程中進行的是高速及大空域飛行，通道間的運動耦合作用非常嚴重。而在大多數制導律的推導過程中，一般都假設飛行器控制系統是穩定的，即飛行器的姿控系統使得飛行器穩定、視線的俯仰和偏航通道相互解耦，卻忽略了通道耦合對制導律設計的影響［3－4］。顯然在BTT飛行器的實際作戰過程中，這種假設是不成立的。因此，需要針對高超聲速飛行器的末制導過程構建包含運動耦合信息的制導模型，設計新型三維制導律來避免這種假設的不合理性。

更進一步，在實際應用中，高超聲速飛行器制導通常需要獲得最佳的制導性能，如脫靶量最小、能量最省、時間最短等，同時，高超聲速飛行器的彈道特性對制導參數更加敏感，因此為了保證制導過程中彈道平穩、光滑，需要對制導參數進行優化。從制導的角度來看，為了保證制導信息的完整性，有些學者基于李群［5－6］、微分幾何［7－8］、球面幾何［9－10］、微分平坦［11］、矢量描述［12－13］等非線性方法進行了制導模型的構建，但這些方法雖然理論完整卻不夠簡潔，因而，制導律的形式復雜，使得對其直接進行參數優化存在很大的難度。通常的做法是在制導律設計完成后，參照基于雙平面解耦方法獲得的線性最優制導律，完成對制導參數的設定，但這實質上是一種經驗方法，缺乏必要的理論支持，不能夠從理論上保證制導律具有優良的制導性能。文獻［14］中設計了一種能夠較好地描述視線方位的飛行器－目標視線矢量的幾何旋量，并最終設計了一種考慮制導參數優化的新型三維非線性制導律。

1 制導問題分析

構建如圖1所示的飛行器對目標進行俯沖攻擊的示意圖，目標T固定于坐標系的原點O，r為彈目視線矢量，其長度為r，從目標質心T指向飛行器質心M。M'為M在xoz平面的投影。qd和qt分別為視線高低角和視線方位角，qtt為視線矢量在轉彎平面內的方向角。ec，et，ed，er，ett為單位矢量，ec與矢量 OM'同向，et與 y軸同向，er與 r同向，O－eceted構成右手直角坐標系，O－ederett構成右手直角坐標系。飛行器M速度為v，ηd為速度矢量在俯沖平面與轉彎平面的夾角，θd為速度矢量在俯沖平面內的方向角;對應地，ηt為速度矢量在轉彎平面與俯沖平面的夾角，θt為速度矢量在轉彎平面內的方向角。

圖1 制導模型示意圖Fig.1 Sketch map of guidance model

制導問題可以描述為彈目視線方位和視線角速度的控制問題:在飛行器接近目標的過程中，當無終端約束時，制導的目的是使視線轉動穩定下來，即控制視線角速度收斂至零(ω→0)，從而實現對目標的瞄準式攻擊;而當存在終端視線方位約束時，制導的目的是使視線轉動到一個確定的方向，即 qd→qdf、qd→qtf，并保持視線角速度的穩定，即ω→0。

2 視線旋量與視線旋量速度

2.1 旋量的相關定義

為了在保證制導信息完整性的同時簡化模型結構，在此參照李群旋量結構［5］，引入角度矢量、視線旋量、視線旋量速度等概念，以實現視線方位和視線角速度的控制。

定義1(角度矢量) 坐標平面內角度值與垂直于所在平面的單位矢量的乘積稱為角度矢量，單位矢量的方向由坐標平面內角度值的符號唯一確定(如圖1中，qded，qtet分別為視線高低角矢量和視線方位角矢量)。

定義2(視線旋量) 視線高低角矢量和視線方位角矢量的矢量和稱為視線旋量，記為σ。

定義3(視線旋量速度) 視線旋量的導數稱為視線旋量速度，記為~ω。

根據以上定義，視線旋量可以表達為

視線旋量速度為

視線旋量的引入能夠為設計同時滿足入射方位角和落角約束的制導律提供便利，同時，從式(1)可知，視線旋量具有明確的物理意義，便于進行制導參數的優化。

2.2 等價性分析

為了說明視線旋量、視線旋量速度控制分別與視線方位、視線角速度控制的一致性，給定如下的等價性定理及證明。

定理1(等價性定理) 視線旋量控制與視線方位控制等價;視線旋量速度控制與視線角速度控制等價。

證明:(Ⅰ)假設 σf=qdfedf+qtfetf，視線旋量控制的目標為σ→σf，則

從而視線旋量控制與視線方位控制等價。 □

(Ⅱ)根據定義3，視線旋量速度為

根據視線角速度加法定理［12，15］，飛行器－目標視線角速度矢量ω可以表示為視線高低角速度和視線方位角速度的矢量和，即

視線角速度的控制目標為ω→0，即

則視線旋量速度控制與視線角速度控制等價?！?/p>

綜上所述，定理1得證。

基于等價性定理，可以將視線方位和角速度控制問題轉化為視線旋量和旋量速度控制問題。

3 三維非線性制導模型構建

對式(4)求導可得視線旋量速度變化模型為

從式(7)可以看出，求解模型的關鍵是確定參數¨qd，¨qt，˙ed，¨ed的表達式。

1)計算¨qd。設θd＜0，則在俯沖平面內有

由圖1可得

將式(9)中第二式兩邊同時對時間求導，并將式(8)和式(9)代入，即可得

在實際飛行過程中，由于˙v/v≈0，定義Tg=－r/˙r(r＞0)，則式(10)可改寫為

2)計算¨qt。設r1，v1，θt1分別為轉彎平面內參數r、v、θt在水平面內的投影分量。同理，在轉彎平面的水平投影平面內有

由圖1可得

運用與俯沖平面相同的推導方式，可得

式(14)中，˙v1/v1≈0，r1=rcosqd，則

將式(15)代入式(14)得

3)計算˙ed，¨ed。根據圖1，有

將式(11)、式(15)、式(17)、式(18)代入式(7)，并令u，經整理可得

式(19)中，u為控制項，Ω為運動耦合項。在飛行器進行高速大空域機動制導時，Ω將具有較大的值，在制導律設計過程中不可簡單忽略。

由此，基于視線旋量和旋量速度，可得三維非線性制導模型為

從式(20)可以看出，基于視線旋量和視線旋量速度的模型描述方式較好地分離了控制量和耦合量，從而使得三維非線性制導模型結構相對簡單，便于進行后續制導參數優化。

4 三維非線性偽最優制導律設計

從式(20)可以看出:若直接求解最優制導問題，將面臨難以克服的Riccati微分方程求解困難，難以獲得解析解。引入偽控制變量［6］，將復雜的非線性微分方程轉化為線性微分方程，然后進行最優制導律的設計。定義偽控制變量~u為

則模型可以簡化為

從而，在不損失制導信息的前提下，制導模型轉化為線性形式，可以方便地基于二次型最優方法進行三維制導律設計。設計相應的二次型目標函數為

4.1 無終端約束情況

基于等價性定理，無終端約束制導問題可以等價于視線旋量速度趨于零(~ω→0)的問題。取狀態變量x=~ω，則可得狀態方程

結合目標函數式(23)，根據極大值原理，線性系統二次型性能指標的最優控制為

式中P可由逆Riccati方程求解得到:

參照參考文獻［3］的求解過程，解式(26)得

則

則無終端約束情況下的偽最優三維非線性制導律為

從式(29)可以看出，在忽略耦合補償項－TgΩ的情況下，式(29)與文獻［3］的結論是一致的。

4.2 有終端約束情況

對于有終端約束情況，除了要求視線角速度趨于零外，還要求視線方向轉移到一個指定的方位，基于等價性定理，即~ω→0且σ→σf，令

則可得到形如式(24)的狀態方程

其中:

則最優控制為

類似4.1節的推導過程，可得有終端約束情況下經過參數優化的三維非線性制導律為

在忽略耦合補償的情況下，式(33)與文獻［3］的結論亦是一致的。

5 仿真驗證

為了驗證制導律有效性，以某BTT－180型飛行器為對象進行相關驗證實驗，基本參數設置如表1所示。

表1 仿真基本參數Tab.1 Basic parameters for simulation

5.1 仿真算例1:無終端約束攻擊目標

初始速度方向設為－20°(以正北為基準，逆時針為正)進行仿真實驗，飛行器經過112.67s到達目標，彈道平穩光滑，脫靶量為1.29m，得到無終端約束情況下的仿真結果如圖2～4所示。從圖2可以看出:飛行彈道末段平直，說明在所設計制導律的作用下，飛行器能夠實現對目標的瞄準式攻擊。從圖3和圖4可以看出:攻角、傾側角在整個飛行過程中變化平穩，在飛行末段均收斂為較小值，這說明制導指令是收斂的，制導系統輸出的制導指令對通道耦合較好地進行了實時補償與控制。

圖2 無終端約束彈道(本文方法)Fig.2 Trajectory without ending constraint in the proposed method

忽略耦合項影響，采用傳統通道解耦方法［3］來進行相應對比仿真，得到仿真結果如圖5～7所示。

飛行器經過111.43s到達目標，脫靶量為10.51m。從仿真結果可以看出:在傳統制導律的作用下，飛行器仍保持了較高的制導精度，但當制導指令不對通道耦合進行實時補償時，飛行彈道末段不再嚴格收斂，攻角、傾側角在接近目標時才趨于較小值，這說明傳統制導律對彈道的調整效率相對較低，在初始射向與射面具有較大的偏差情況下，傳統方法難以實現對目標的瞄準式攻擊。

圖3 無終端約束下攻角－射程變化曲線(本文方法)Fig.3 Attack angle versus range without ending constraint in proposed method

圖4 無終端約束下傾側角－射程變化曲線(本文方法)Fig.4 Bank angle versus range without ending constraint in proposed method

圖5 無終端約束彈道(傳統方法)Fig.5 Trajectory without ending constraint in traditional method

圖6 無終端約束下攻角－射程變化曲線(傳統方法)Fig.6 Attack angle versus range without ending constraint in traditional method

圖7 無終端約束下傾側角－射程變化曲線(傳統方法)Fig.7 Bank angle versus range without ending constraint in traditional method

5.2 仿真算例2:有終端約束攻擊目標

初始條件同仿真算例1，假設目標位于山谷中，依靠山峰作為天然屏障，為了對目標實施有效攻擊，需要避開山峰的障礙、通過設置合適的入射方位角來降低對彈道落角的要求。設預定入射方位角為 －20°，預定落角為 －60°。導彈經過126.51s到達目標，脫靶量為1.33m，實際入射方位角為 － 19.58°，實際落角為 59.98°，基于式(33)所示的制導律，得到的結果如圖8～12所示。從圖8可以看出:飛行器彈道光滑，有效地避開了山峰的障礙，能夠對目標實施有效的“點穴式”打擊。從圖9、圖10可以看出:在有終端約束條件下，彈道能夠精確地調整到期望的速度傾角和方位角，從而滿足同時存在入射方位角和落角約束情況下的制導需求。從圖11、圖12可以看出:制導指令變化比較平穩，末端攻角、傾側角收斂，這說明，飛行器在本文制導方法的作用下，通道耦合得到了較好的實時補償控制，不再影響制導系統的魯棒性。

圖8 有終端約束彈道(本文方法)Fig.8 Trajectory with ending constraints in proposed method

圖9 有終端約束下入射方位角－射程變化曲線(本文方法)Fig.9 Incident azimuth angle versus range with ending constraints in proposed method

圖10 有終端約束下落角－射程變化曲線(本文方法)Fig.10 Impact angle versus range with ending constraints in proposed method

圖11 有終端約束下攻角－射程變化曲線(本文方法)Fig.11 Attack angle versus range with ending constraints in proposed method

圖12 有終端約束下傾側角－射程變化曲線(本文方法)Fig.12 Bank angle versus range with ending constraints in proposed method

在同樣背景下，采用傳統解耦方法進行對比仿真。考慮到傳統方法不具備按預定入射方位角攻擊目標的能力［3］，而為了避開山峰的障礙，設預定落角為 －85°。通過仿真，飛行器經過177.05s到達目標，脫靶量為11.53m，終端落角為－82.99°，得到的結果如圖13～16所示。

圖13 有終端約束彈道(傳統方法)Fig.13 Trajectory with ending constraints in traditional method

圖14 有終端約束下落角－射程變化曲線(傳統方法)Fig.14 Impact angle versus range with ending constraints in traditional method

圖15 有終端約束下攻角－射程變化曲線(傳統方法)Fig.15 Attack angle versus range with ending constraints in traditional method

圖16 有終端約束下傾側角－射程變化曲線(傳統方法)Fig.16 Bank angle versus range with ending constraints in traditional method

從圖15、圖16可以看出:在飛行器接近目標時，制導指令發散，這會影響到制導的穩定性，甚至可能導致脫靶。仿真結果表明:通道耦合對制導系統的影響顯著，需要對其進行實時補償。

6 結論

面向高超聲速飛行器末制導過程中的運動耦合問題，基于旋量方法進行了三維非線性偽最優制導律的設計。該制導律的設計具有以下幾點意義:

1)該制導律對通道耦合進行了補償，避免了傳統解耦方法帶來的制導信息損失，保證了制導信息的完整，在理論上具有較高的制導精度;

2)該制導律能夠適應同時存在入射方位角和落角約束的情況，降低飛行器制導對落角的控制需求，同時也可以選擇目標最薄弱部位進行有效攻擊;

3)該制導律對制導參數行了優化，保證了制導參數的“偽最優”性能，能夠提高制導性能。

需要說明的是:高超聲速飛行器在實際制導過程中，其飛控系統不可避免地受到各種擾動的影響，導引頭/慣導系統的制導信息的測量、傳輸與估計存在偏差和噪聲，目標機動也常常被看成是未知的有界擾動，在這些干擾和攝動的作用下，制導系統參數存在較大的不確定性，這將降低制導律的穩定性和魯棒性，影響高超聲速飛行器的制導效果，甚至導致飛行器失穩和脫靶。在下一步工作中，將重點針對參數擾動問題，基于魯棒控制理論，研究設計三維非線性自適應制導律，進一步提高制導系統的穩定性。

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