基于QMC的齒輪測量中心測量不確定度評定方法

韓連福+付長鳳+王軍+等

摘要： 為評定齒輪測量中心測量不確定度，提出了一種基于擬蒙特卡羅法（quasi MonteCarlo method，QMC）的齒輪測量不確定度評定方法。研究了齒輪測量中心的幾何誤差源，應用坐標變換法建立了齒輪測量中心精密測量模型，采用擬蒙特卡羅仿真法對齒輪測量中心測量不確定度進行了評定，并分析了評定的穩定性。評定實驗表明，該方法可準確評定齒輪測量中心測量不確定度，評定結果最大偏差為2.35%，評定方法穩定。

關鍵詞： 齒輪測量中心； 擬蒙特卡羅法； 測量不確定度

中圖分類號： TP 391.4文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2015.02.005

Evaluation on uncertainty of gear center measurement

based on quasi MonteCarlo method

HAN Lianfu1，2， FU Changfeng1， WANG Jun2， TANG Wenyan1

（1.Institute of Precision Instrument， Harbin Institute of Technology， Harbin 151400， China；

2.College of Electronic Science， Northeast Petroleum University， Daqing 163318， China）

Abstract： To evaluate the uncertainty of gear center measurement， evaluation method on uncertainty of gear center measurement based on quasi MonteCarlo method （QMC） is proposed. The geometric errors are confirmed. The gear measurement model based on gear center measuremnt is established by coordinate transformation. The uncertainty of gear center measurement is evaluated by QMC， and the stability of this method is studied. The experiment shows that the evaluation proposed in this paper can accurately evaluate uncertainty of gear center measurement. The maximum deviation is 2.35%， so the method is stable.

Keywords： gear measuring center； quasi MonteCarlo method（QMC）； measurement uncertainty

引言齒輪測量中心是一種高精密齒輪測量儀，適應了齒輪測量向高精度、多功能、自動化發展的趨勢，已成為齒輪測量領域的主導設備[1]。測量不確定度是衡量齒輪測量中心性能的主要技術指標[2]。目前，國外從事齒輪測量中心測量不確定度評定技術研究的主要有德國國家計量院、日本的國家計量院和京都大學[3]。國內從事該評定技術研究的主要有大連理工大學、西安工業大學、北京工業大學和哈爾濱工業大學[46]。國內主要采用分析各項誤差源，然后合成測量不確定度的方法，但由于齒輪測量中心測量項目眾多，更換評定項目時需重新計算一次，計算復雜。國外將齒輪測量中心誤差歸為6類，并采用蒙特卡羅法評定測量不確定度，但蒙特卡羅法使用偽隨機數，造成評定收斂速度慢、計算結果不穩定。為克服上述方法存在的問題，本文分析了齒輪測量中心的誤差，建立了誤差條件下齒輪測量模型，并采用擬蒙特卡羅法（quasi MonteCarlo method，QMC）評定了齒輪測量中心測量不確定度。圖1齒輪測量中心誤差

Fig.1Error of gear center measurement1齒輪測量中心誤差齒輪測量中心實質上是一個四軸四坐標測量機，其機械結構和控制結構復雜，任何機械和控制系統的誤差都會影響測量不確定度，為方便分析，將其等效為圖1所示6種偏差：光學儀器第37卷

第2期韓連福，等：基于QMC的齒輪測量中心測量不確定度評定方法

（1）上頂尖偏差矢量Ru，包含機械加工偏差、裝配偏差、幾何跳動偏差和形變偏差；（2）下頂尖偏差矢量Rd，包含下頂尖偏離轉臺的位置偏差、下頂尖裝置的機械加工偏差；（3）主軸旋轉偏差θr，包含主軸旋轉控制偏差θrc和圓光柵計量偏差θrg；（4）測頭定位偏差pp（Δp（x），Δp（y），Δp（z）），包含了各軸的控制偏差和各軸機械結構偏差引起的運行偏差；（5）測頭傳感器位移偏差Gerr（Gx，Gy，Gz）；（6）測頭形狀與半徑偏差Rp，包含測球半徑與形狀偏差ref和運動等效半徑偏差rev。2基于齒輪測量中心的齒輪測量模型齒輪測量中心測量工件時，測頭與工件表面接觸，齒輪測量中心通過定位測頭接觸點來獲得測量數據。理想測量狀態下，測球球心的位置pidea=[xNC，yNC，zNC]T（1）式中（xNC，yNC，zNC）為測球球心在儀器坐標系中的坐標。在實際測量中，測頭存在定位誤差，其定位誤差表達式為pp=（Δp（x），Δp（y），Δp（z））（2）式中（Δp（x），Δp（y），Δp（z））為測頭在空間中的定位誤差，是空間位置p的函數，分布規律為[4]Δp（x）

Δp（y）

Δp（z）=k1k1k1

k1k1k1

k1k1k1xNC

yNC

zNC+k2k2k2

k2k2k2

k2k2k2sin（rad）

sin（ylenyNC+rad）

sin（zlenzNC+rad）+k3

k3

k3（3）式中：k1、k2、k3均為定位誤差與空間位置關系因子；ylen、zlen分別為y軸與z軸移動位移；rad為旋轉軸轉過的角度。齒輪測量中心測量理想工件時，測頭傳感器形變表示的位移變化為d=（dx（1+Gx），dy（1+Gy），dz（1+Gz））（4）式中dx、dy、dz分別為測頭在x、y、z方向上的位移變化。由式（1）、（2）和（4）可知，實際測量過程中測球球心相對齒輪測量中心的位置向量pptc=pp+pidea+d（5）不同測量狀態下，測球的等效半徑r=r0+（ref+rev）（6）式中r0為測球物理半徑。齒輪測量中心測頭與工件的接觸點的向量p=[r0+（ref+rev）]sinφ1cosφ2

sinφ1sinφ2

cosφ1+pp+pidea+d（7）式中φ1、φ2分別為測球球心在球坐標系中的水平角和垂直角。由于齒輪測量中心上、下頂尖都存在偏差，齒輪偏移矢量e和正交傾斜矩陣T表達式分別為e=（Ru+Rd）l1l（8）

T=Ru-RdRu-Rd0

0

1-1（9）式中：l1為齒輪中心到測量平面中心距離；l為齒輪測量中心上、下頂尖距離；Ru、Rd分別為上、下頂尖偏離理想位置矢量，Ru和Rd均服從正態分布，Ru的矢量角ω（Ru）與Rd的矢量角ω（Rd）均在（-π，π）服從均勻分布。理想工件裝卡在理想齒輪測量中心上，其工件表面的表達式為f（u，v，w），其裝卡在傾斜齒輪測量中心上的表達式fT（u，v，w）為fT（u，v，w）=e+Tf（u，v，w）（10）測量工件裝卡在齒輪測量中心上，工件跟隨齒輪測量中心旋轉，旋轉后的工件表面方程為fR（u，v，w）=cos（θ+θrc+θrg）-sin（θ+θrc+θrg）0

sin（θ+θrc+θrg）cos（θ+θrc+θrg）0

001fT（u，v，w）（11）式中θrc、θrg均服從正態分布。齒輪測量中心測量工件時，測球與工件表面接觸，測量點滿足齒輪測量模型，即n（fR（u，v，w））+n（p）=0

fR（u，v，w）=p（12）式中n（p）、n（fR（u，v，w））分別為測量點測球表面和工件表面的法矢量。3基于擬蒙特卡羅法的測量不確定度評定方法蒙特卡羅法評定測量不確定度過程中使用偽隨機數，而偽隨機數的隨機性和均勻性都不強，這造成了蒙圖2擬蒙特卡羅法評定齒輪測量不確定度

Fig.2Uncertainty evaluation of the gear by

quasi MonteCarlo method特卡羅法收斂速度慢、計算結果不穩定。低偏差序列比隨機數具有更強的均勻性，采用低偏差序列替代偽隨機數序列的蒙特卡羅法稱為擬蒙特卡羅法[79]。如圖2所示，采用擬蒙特卡羅法生成齒輪測量中心的各項誤差并將其加載到虛擬齒輪測量中心上，采用該虛擬齒輪測量中心測量理想工件獲得含有誤差的仿真信號，最后按照評定標準對漸開線偏差、螺旋線偏差和齒距偏差進行不確定度評定。4模擬實驗與分析以齒廓總偏差測量不確定度評定為例，對齒輪測量中心測量不確定度進行評定，理想齒輪參數有：齒數為36個，模數為8個，壓力角為20°，螺旋角為0°，分度圓直徑為288 mm。齒輪測量中心各誤差分布如下：（1）上、下頂尖偏差分別為Ru～[AmcosAφ，AmsinAφ，d]Rd～[AmcosAφ，AmsinAφ，0]其中Am服從N（0，0.5）分布，Aφ服從U（-π，π）分布。（2）主軸旋轉偏差、測頭定位偏差和測頭傳感器位移偏差分別為θr～U（-4.85×10-8，4.85×10-8）Rp～N（0，0.1）Gx、Gy、Gz～N（0，0.005）（3）測頭定位偏差計算測頭定位偏差需要確定的參數如式（3），各參數值分別為k1～N（0，0.3）k2～N（0，0.3）k3～N（0，1）rad～U（-π，π）ylen=9.29×10-5zlen=0.25采用基于擬蒙特卡羅法評定齒輪測量中心齒廓總偏差測量不確定度，評定結果如圖3所示。圖中，U95表示可信度為95%的測量不確定度，n為U95齒廓測量不確定度時的運行次數。

圖3齒廓總偏差評定結果

Fig.3Evaluation results of total deviation for the tooth profile

圖4評定結果穩定性

Fig.4Stability of evaluation results由仿真結果可知：測量不確定度U954 500次運行結果為1.26 μm；30 000次運行結果為1.31 μm；50 000次運行結果為1.29 μm。4 500次、30 000次和50 000次的測量結果基本一致，也就是4 500次收斂情況與30 000次、50 000次一樣，而采用蒙特卡羅法需要十幾萬次運行才能達到同樣效果，故擬蒙特卡羅法收斂速度遠高于蒙特卡羅法。在樣本容量為4 500次的條件下，重復計算20次，評定結果和平均值如圖4所示。由圖4可知，評定結果的最大值為1.31 μm，最小值為1.25 μm，平均值為1.28 μm。將評定結果的平均值ua作為評定結果的理論值[10]，則評定結果最大偏差umax為0.03 μm，其最大相對偏差為：er=umax-uaua×100%=0.031.28×100%=2.35%（13）由式（13）可知，齒廓測量不確定度評定結果的最大相對偏差為2.35%，故基于擬蒙特卡羅法的齒輪測量中心不確定度評定結果穩定。為避免評定的偶然性，采用不同參數的齒輪多次重復上述實驗。多次實驗結果均表明本文提出的方法收斂速度快、結果穩定。5結論通過對齒輪測量中心幾何結構與控制系統的分析，將其幾何誤差和控制誤差等效成6項誤差，在分析誤差對測量不確定度影響的基礎上，采用坐標變換法建立了齒輪測量中心齒輪測量模型，以齒廓測量不確定度為例，采用擬蒙特卡羅法評定了齒輪測量中心測量不確定度，并分析了評定方法的穩定性。實驗表明，本文提出的方法可準確評定齒輪中心測量不確定度，評定結果最大偏差為2.35%，評定方法穩定。參考文獻：

[1]HAN L F，TANG W Y，WANG J，et al.Measurement of involute profile with small clamping eccentricity in a gear measuring center[J].Strojniki VestnikJournal of Mechanical Engineering，2013，59（4）：269278.

[2]LAZOPOULOS A.Error estimates in Monte Carlo and QuasiMonte Carlo integration[J].Acta Physica Polonica Series B，2004，35（11）：26172632.

[3]TAKEOKA F，KOMORI M，TAKAHASHI M，et al.Gear checker analysis and evaluation using a virtual gear checker[J].Measurement Science & Technology，2009，20（4）：112.

[4]孫光宇，李平.CNC齒輪測量中心標準中齒廓傾斜偏差測量不確定度參數的確定[J].工具技術，2009，43（9）：9799.

[5]王闊，馬勇.改進后的CNC齒輪測量中心Mahr891E螺旋線偏差測量系統測量不確定度評定[J].工具技術，2008，42（6）：9194.

[6]石照耀.復雜螺旋曲面特征線測量的理論與技術研究[D].合肥：合肥工業大學，2001.

[7]潘建根，丁鵬飛，沈海平，等.LED在線測試中的PLF測量不確定度分析[J].光學儀器，2008，30（3）：812.

[8]黃美發，景暉，匡兵，等.基于擬蒙特卡羅方法的測量不確定度評定[J].儀器儀表學報，2009，30（1）：120125.

[9]邵明省.基于蒙特卡羅方法的LED燈光子運動研究[J].光學儀器，2010，32（1）：5962.

[10]石照耀，張宇，張白.三坐標機測量齒輪齒廓的不確定度評價[J].光學 精密工程，2012，20（4）：766771.

（編輯：程愛婕）